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2015年12月 7日 (月)

 見えない部分の面積は?(渋谷教育学園幕張中学 2013年)

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1辺が 6m の正方形の形をしたシートを教室の床の上に平らに広げ、

シートの上に幅 1m の板を 2枚、シートに垂直になるように立てました。

下の図は、このシートを上から見た図です。

   Pic_3503q

上の図のように正方形の各頂点をA,B,C,D として、

辺ABのまん中の点をP,辺BC 上のBから 1m の点をQ とします。

Pに真一君が立ち、Qに和子さんが立って、それぞれシートを見るとき、

次の問に答えなさい。

ただし、板の高さは真一君と和子さんの身長よりも高く、板の厚さは考えません。

(1)真一君が見ることができないシートの部分の面積は何㎡ですか。

(2)真一君も和子さんも、

ともに見ることができないシートの部分の面積は何㎡ ですか。

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 (1)真一君が見ることができない部分は下の図1の青い部分で

   Pic_3504a

 (三角形DEP-三角形PRS) + (三角形CFP-三角形PTU)

=(3×3÷2-1×2÷2) + (1×6÷2-1×1÷2)

6㎡

です。

(2)真一君も和子さんも、ともに見ることができない部分は、

下の図2の黄色い部分になります。

   Pic_3505a

まず、上の黄色い三角形について考えます。下の図3のように、

点QからABと平行な線を、点PからADと平行な線を引きます。

   Pic_3506a

図3において、三角形QTV、三角形QXW、三角形QGHは相似で、

   QV=2m、TV=1m、QW=3m、QH=6m なので、

   XW=1.5m、HG=3m です。

よって、DG=2m、XP=2.5m です。

DG と XP が平行なので、三角形DGY と三角形PXY は相似で、

     DG : XP = 2 : 2.5 = 4 : 5

より、 三角形DGY を底辺をDG としたときの高さは、AP を

4:5にわけて、4/3m です。

ゆえに、三角形DGY の面積は、2×4/3÷2=4/3㎡ です。

次に、図2の下の黄色い三角形について考えます。

下の図4のように、S からHQに垂線を下ろし、交点をZ とすると、

点Z は EP上にあることがわかります。

   Pic_3507a

三角形QSZ と三角形QIH は相似で、QZ=4m、QH=6m、

SZ=1m なので、HI=1.5m とわかります。

よって、E I =0.5m で、E I :SZ=1:2 より、

三角形JSZ は、SZ を底辺としたときの高さが、HZ の2/3 で

4/3m となります。

ゆえに、求める三角形JSRの面積は、三角形JSZ から

三角形SRZを除けばよく、

  1×4/3÷2 - 1×1÷2 = 1/6㎡

とわかります。

よって、真一君も和子さんも、ともに見ることができないシートの部分の面積は、

三角形DGY + 三角形JSR = 4/3 + 1/6 = 1.5㎡

です。

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