カード取りの論理は？（暁星中学 2011年）

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カードを何枚か用意し積み重ねます。

次の約束のもとで２人が交互にカードを取っていき勝敗を決定します。

①　１回に２枚以上５枚以下のカードを取る

②　一番下のカードを取った人を負けとする

③　２枚以上カードがあるときは必ず①の約束通りにカードを取る

④　１枚だけカードが残った場合は次にカードを取る人が負け

このとき、次の問に答えなさい。

（１）カードが全部で８枚のとき、

先手、後手のどちらかがカードをうまく取ると必ず勝つ方法があります。

先手、後手どちらが勝ちますか。その理由は？

（２）カードが全部で５４枚のとき、

先手がカードをうまく取ると必ず勝つ方法があります。その方法は？

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（１）勝つ方法は、最後に１枚残す、または最後に２枚残すという方法があります。

（２枚残っている場合、次の人は２枚以上取らなければならないので、

その人が最後のカードを取ることになる。約束の③より）

先手が最初に取れるカードは２枚以上５枚以下なので、

それぞれの場合にどうなるか考えます。

先手が最初に２枚取ると、

　　　　 後手が次に４枚または５枚取れば後手の勝ち

先手が最初に３枚取ると、

　　　　 後手が次に３枚または４枚取れば後手の勝ち

先手が最初に４枚取ると、

　　　　 後手が次に２枚または３枚取れば後手の勝ち

先手が最初に５枚取ると、

　　　　 後手が次に１枚または２枚取れば後手の勝ち

以上のように、最初に先手が何枚のカードを取ろうとも、

後手が最後の１枚または２枚を残すようにカードを取れば、

必ず 後手が勝ちます。

（２）２人で１回に２枚以上５枚以下のカードを取ることをくり返すと

２人合計で ２枚＋５枚＝【７枚】 にすることが可能です。

最後の１枚または２枚を先手が残せば先手の勝ちになるので、

逆から考えると、

【最後の１枚または２枚】＋【７枚】×７回

　　　　　　　　　　　　　　　　  ＋【最初の４枚または３枚】＝５４枚

となるので、先手が必ず勝つには、

［　最初に３枚、または４枚を取り、それ以降は

　　　【後手の枚数】＋【先手の枚数】＝７枚

　　　となるようにカードを取り続ける　］

という方法をとればよいことになります。

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