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2015年12月29日 (火)

カード取りの論理は?(暁星中学 2011年)

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カードを何枚か用意し積み重ねます。

次の約束のもとで2人が交互にカードを取っていき勝敗を決定します。

① 1回に2枚以上5枚以下のカードを取る

② 一番下のカードを取った人を負けとする

③ 2枚以上カードがあるときは必ず①の約束通りにカードを取る

④ 1枚だけカードが残った場合は次にカードを取る人が負け

このとき、次の問に答えなさい。

(1)カードが全部で8枚のとき、

先手、後手のどちらかがカードをうまく取ると必ず勝つ方法があります。

先手、後手どちらが勝ちますか。その理由は?

(2)カードが全部で54枚のとき、

先手がカードをうまく取ると必ず勝つ方法があります。その方法は?

Smbl148sSmbl152s

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(1)勝つ方法は、最後に1枚残す、または最後に2枚残すという方法があります。

(2枚残っている場合、次の人は2枚以上取らなければならないので、

その人が最後のカードを取ることになる。約束の③より)

先手が最初に取れるカードは2枚以上5枚以下なので、

それぞれの場合にどうなるか考えます。

先手が最初に2枚取ると、

     後手が次に4枚または5枚取れば後手の勝ち

先手が最初に3枚取ると、

     後手が次に3枚または4枚取れば後手の勝ち

先手が最初に4枚取ると、

     後手が次に2枚または3枚取れば後手の勝ち

先手が最初に5枚取ると、

     後手が次に1枚または2枚取れば後手の勝ち

以上のように、最初に先手が何枚のカードを取ろうとも、

後手が最後の1枚または2枚を残すようにカードを取れば、

必ず 後手が勝ちます。

 

(2)2人で1回に2枚以上5枚以下のカードを取ることをくり返すと

2人合計で 2枚+5枚=【7枚】 にすることが可能です。

最後の1枚または2枚を先手が残せば先手の勝ちになるので、

逆から考えると、

【最後の1枚または2枚】+【7枚】×7回

                  +【最初の4枚または3枚】=54枚

となるので、先手が必ず勝つには、

[ 最初に3枚、または4枚を取り、それ以降は

   【後手の枚数】+【先手の枚数】=7枚

   となるようにカードを取り続ける ]

という方法をとればよいことになります。

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