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2015年11月27日 (金)

円の回転移動と角度(2015年 東大寺学園中学)

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【図1】のようなA、B、Cを中心とする、

小、中、大3つの円板(ア)、(イ)、(ウ)があります。

(ア)、(イ)の半径はそれぞ れ2cm、3cmです。

また、P、Q、Rはそれぞれの周上の点です。

これらを【図2】のように、3点P、Q、Rがすべて重なる ようにおき、

(ア)は(ウ)の内側を、(イ)は(ウ)の外側を、離れることもすべることもなく、

それぞれ【図2】の矢印の向きに回 転させながら、

(ウ)の周に沿ってちょうど一周だけ動かします。

ただし、3つの中心C、A、Bが常に1つの直線上に並ぶよう に動かすものとします。

Bandicam_20151127_081533407

Bandicam_20151127_081541452
【図3】のように3点C、A、Bを通る直線と2点C、Rを通る直線 とでできる角が

30°になるまで(ア)、(イ)を動かしたとき、APとBQが平行になりました。

①【図3】の角aと角 bの大きさの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

②円板(ウ)の半径を求めなさい。

Bandicam_20151127_081602826

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PとQがRから回転した長さは等しくなります。

2×2×3.14×a/360=3×2×3.14×b/360 となるので、

4×a=6×b

a:b=6:4=3:2

APとBQが平行なので、a+b=180°より、

a=180×3/5=108°

b=180×2/5=72°

ウの中心角30°のおうぎ形の弧の長さは、P、Qが回転した長さに等しいので、

ウの半径を□とすると、

□×2×3.14×30/360=3×2×3.14×72/360

□×2×30=6×72

□=7.2cm

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