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2015年11月

2015年11月30日 (月)

色部分の面積は?(2015年 学習院女子中等科)

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下の半円と直線でできている図の、色部分の面積は何c㎡ですか。

円周率は3.14とします。

11301

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Oは小さな半円の中心、O’は大きな半円の中心とします。

求める面積は、

大きな半円から緑部分と、ピンク部分を引いて求めます。

11302

大きな半円の面積=6×6×3.14×1/2=18×3.14

緑部分=6×6×3.14×1/4-6×6×1/2=9×3.14-18

ピンク部分=10×10×1/2×1/2=25

18×3.14-(9×3.14-18)-25=

9×3.14-7=21.26c㎡

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2015年11月29日 (日)

速さと時間と距離(2015年 雙葉中学)

兄と弟が同時にA地点を出発し、5.8km先のB地点に向かいます。

兄は時速4kmで休まずに歩きます。

弟は、時速6kmで11分間走り7分間止まって休むことを、くり返します。

(1)2人がB地点に着くのは、A地点を出発してからそれぞれ何時間何分後ですか。

(2)兄が弟を最後に追いぬくのは、A地点から何kmのところですか。

720

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(1)兄は、5.8÷4=1.45時間=1時間27分

弟が休まず走れば、5.8÷6=58/60時間=58分でBに着きますが、

休みの回数は、58÷11=5あまり、3なので、→5回

したがって、Bに着くまでに、

11×5+7×5+3=93分=1時間33分 かかります。

(2)弟は1分間に、6000÷60=100m進み、

兄は1分間に、4000÷60=200/3m進みます。

弟が100m×11分=1100m進んだ地点に兄が追いつくのは、

1100÷200/3=16.5分かかります。

11291

図でわかるように、弟はその地点で、11分間走ったあと、5.5分休んでいます。

つまり、弟が11分走り、5.5分休む16.5分間で兄は弟に追いつくことになります。

2回目は、弟が、1.5+4=5.5分休み11分走った地点、

3回目は、弟が、3+2.5=5.5分休み11分走った地点、

4回目は、弟が、4.5+1=5.5分休み11分走った地点、

ここで、弟は兄に追いつかれた跡、6分休んでしまうので、

もう兄には追いつくことができません。

したがって、最後に兄に追いつかれたのは、スタートしてから、

11×4+5.5×4=66分後で、

A地点から、200/3×66=4400m=4.4kmのところです。

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2015年11月28日 (土)

斜線部分の面積は?(渋谷教育学園渋谷中学 2012年 改題)

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下の図は1辺が1cmの正三角形を組み合わせた後、

周囲を曲線で囲んだものです。

曲線は円周の一部を組み合わせたもので、

その中心はすべて正三角形の頂点で、

その半径は正三角形の1辺と同じか、または2倍になっています。

斜線部の面積は何c㎡ですか。円周率は3.14とします。

1

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図のように黄色部分を緑部分に移動すると、

半径が1辺で中心角60゜のおうぎ形が6個

半径が2辺で中心角60゜のおうぎ形が3個

の合計になります。

2

1×1×3.14×360/360+

2×1×2×1×3.14×180/360

=1×1×3.14+2×1×1×3.14

=(1×1×3.14)×(1+2)

=1×1×3.14×3

=9.42c㎡

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整数は全部で何個できる?(サレジオ学院中学 2012年)

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下のように、数の書かれた9枚のカードがあります。

この中の2枚を使って 2けたの整数をつくります。

11281


(1)整数は全部で何個できますか。

(2)十の位の数と一の位の数の積が3の倍数となるような整数は

   全部で何個できますか。

(3)十の位の数と一の位の数の積が9の倍数となるような整数は

   全部で何個できますか。

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(1)十の位は9通り、一の位は8通りなので、9×8=72通り

(2)

十の位が1で積が3の倍数になるのは、一の位が3、6、9 の3通り、

十の位が2で積が3の倍数になるのは、一の位が3、6、9 の3通り、

十の位が3で積が3の倍数になるのは、一の位が3以外の8通り、

十の位が4で積が3の倍数になるのは、一の位が3、6、9 の3通り、

十の位が5で積が3の倍数になるのは、一の位が3、6、9 の3通り、

十の位が6で積が3の倍数になるのは、一の位が6以外の8通り、

十の位が7で積が3の倍数になるのは、一の位が3、6、9 の3通り、

十の位が8で積が3の倍数になるのは、一の位が3、6、9 の3通り、

十の位が9で積が3の倍数になるのは、一の位が9以外の8通り、

合計、3×6+8×3=42通り

(3)

十の位が1で積が9の倍数になるのは、一の位が9 の1通り、

十の位が2で積が9の倍数になるのは、一の位が9 の1通り、

十の位が3で積が9の倍数になるのは、一の位が6、9 の2通り、

十の位が4で積が9の倍数になるのは、一の位が9 の1通り、

十の位が5で積が9の倍数になるのは、一の位が9 の1通り、

十の位が6で積が9の倍数になるのは、一の位が3、9 の2通り、

十の位が7で積が9の倍数になるのは、一の位が9 の1通り、

十の位が8で積が9の倍数になるのは、一の位が9 の1通り、

十の位が9で積が9の倍数になるのは、一の位が9以外 の8通り、

合計、1×6+2×2+8=18通り

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2015年11月27日 (金)

金メダルの数は何個?(立教女学院中学 2013年)

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ある年の夏のオリンピックで、

J国は金、銀、銅の3種類のメダルの獲得数の合 計が、42個でした。

銀メダルの数が最も多く、

金メダルと銅メダルの数の差と銀メ ダルと銅メダルの数の差は同じでした。

また、金メダルと銀メダルの差は銅メダルの数と同じでした。

このとき、金メダルの数は何個でしたか?

Ilm06_ca01008s

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銀と銅の差=金と銅の差 より、

銀>銅>金 がわかります。

和と差の関係は図のようになるので、

11271

○1つ分は、42÷6=7個 になるので、

金メダルは7個です。

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円の回転移動と角度(2015年 東大寺学園中学)

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【図1】のようなA、B、Cを中心とする、

小、中、大3つの円板(ア)、(イ)、(ウ)があります。

(ア)、(イ)の半径はそれぞ れ2cm、3cmです。

また、P、Q、Rはそれぞれの周上の点です。

これらを【図2】のように、3点P、Q、Rがすべて重なる ようにおき、

(ア)は(ウ)の内側を、(イ)は(ウ)の外側を、離れることもすべることもなく、

それぞれ【図2】の矢印の向きに回 転させながら、

(ウ)の周に沿ってちょうど一周だけ動かします。

ただし、3つの中心C、A、Bが常に1つの直線上に並ぶよう に動かすものとします。

Bandicam_20151127_081533407

Bandicam_20151127_081541452
【図3】のように3点C、A、Bを通る直線と2点C、Rを通る直線 とでできる角が

30°になるまで(ア)、(イ)を動かしたとき、APとBQが平行になりました。

①【図3】の角aと角 bの大きさの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

②円板(ウ)の半径を求めなさい。

Bandicam_20151127_081602826

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PとQがRから回転した長さは等しくなります。

2×2×3.14×a/360=3×2×3.14×b/360 となるので、

4×a=6×b

a:b=6:4=3:2

APとBQが平行なので、a+b=180°より、

a=180×3/5=108°

b=180×2/5=72°

ウの中心角30°のおうぎ形の弧の長さは、P、Qが回転した長さに等しいので、

ウの半径を□とすると、

□×2×3.14×30/360=3×2×3.14×72/360

□×2×30=6×72

□=7.2cm

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2015年11月26日 (木)

正方形の面積は?(浦和明の星女子中学 2006年) 

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図の三角形ABCは、辺AB=辺ACの二等辺三角形で、

その中に正方形 があります。

三角形ABCの底辺BCの長さは10cmで、高さは15cmです。

このとき、正方形の面積は何c㎡ですか?

11261

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図のように、AからBCに垂線をおろすと、

△ABHと△黄は相似で、AH:BH=15:5=3:1 なので、

BC=①×2+③=⑤なので、

正方形の1辺の長さは、10×③/⑤=6cm になります。

正方形の面積=6×6=36c㎡

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斜線部分の周りの長さは?(桜蔭中学 2006年)

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4枚の半円の形をした紙A、B、C、Dがあります。

この4枚の半円の直径はA、B、C、Dの順に大きくなっています。

Aの直径の4/3倍がBの直径で、

Bの直径の4/3倍がCの直径で、

Cの直径の4/3倍がDの直径で、Dの直径は25.6cmです。

A、B、C、Dを図のように4枚重ねました。

斜線の引いてある2つの図形の周りの長さは何cmですか。

Bandicam_20151126_080322229

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A、B、Cの直径を計算した方が早そうです。

C=25.6×3/4=19.2cm

B=19.2×3/4=14.4cm

A=14.4×3/4=10.8cm

曲線部分=(25.6+19.2+14.4+10.8)×3.14÷2=109.9cm

直線部分=(25.6-19.2)+(14.4-10.8)=10cm

合計=109.9+10=119.9cm

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2015年11月25日 (水)

小さな直方体は何個?表面積の合計は?(麻布中学 2008年)

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たて3cm、横4cm、高さ5cmの図のような直方体があります。

この直方体の面のうち、2辺の長さが3cmと4cmの長方形の面を面A、

4cmと5cmの長方形の面を面B、5cmと3cmの長方形の面を面C とします。

この直方体を面A、面B、面Cに平行な面で、それぞれ1回、1回、2回切って、

小さな直方体をつくります。 小さな直方体は何個できますか。

これらの小さな直方体の表面積の合計は何c㎡になりますか。

Bandicam_20151125_083551618

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面に平行にN回切ると、(N+1)個の直方体に分割されます。

A面に平行に1回ですから、1+1=2個に分割され、

B面に平行に1回ですから、(1+1)×2=4個に分割され、

C面に平行に2回ですから、(1+2)×4=12個に分割されます。

A面に平行な面は、1×2=2面増え、2+2=4面なので、

3×4×4=48c㎡、

B面に平行な面は、1×2=2面増え、2+2=4面なので、

4×5×4=80c㎡、

C面に平行な面は、2×2=4面増え、4+2=6面なので、

3×5×6=90c㎡、

合計、48+80+90=218c㎡

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2015年11月24日 (火)

PQの長さは何cm?(中央大学附属横浜中学 2014年)

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下の図において、台形ABCDはADの長さが4cm、BCの長さが28cmです。

PQはAD と平行で台形ABCDの面積を二等分しています。

このとき、PQの長さは何cmですか?

P11241

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図のように、ABとDCの延長線上にOをとると、

△赤と△黄と△(黄+緑)は相似になります。

P11242

△赤と△黄の面積比は、28×28 :4×4=784:16

台形緑の面積比は、(784-16)÷2=384

△(黄+緑)の面積比は、384+16=400 なので、

400=20×20 より、

PQ=20cm

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正方形の面積は三角形の面積の何倍?(2015年 渋谷教育学園幕張中学)

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図のような直角三角形ABCの辺AB上に2点G、Hをとり、

さらに 辺BC、辺CA上にそれぞれ点I、 点Jをとって、正方形GHIJをつく ります。

正方形GHIJの面積は三角形JICの面積の何倍ですか。

11242

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△緑は△ABCと相似なので、IC:JC=5:3

図のように、△緑と合同な△水色を正方形内に4つとります。

11244

ICの長さを5、JCの長さを3とすると、

赤い正方形の1辺は5-3=2 なので、面積は、2×2=4になります。

正方形GHIJの面積は、5×3÷2×4+4=34

△JICの面積は、5×3÷2=7.5 なので、

34÷7.5=4と8/15 倍です。

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2015年11月23日 (月)

影がついた部分の面積は?(早稲田中学 2013年)

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一辺の長さが75cmの正方形の紙を折ったところ、図のようになりました。

紙が重なっている影がついた部分の面積は何c㎡ですか。

Bandicam_20151123_080247637

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図の色のついた直角三角形は、みな相似になります。

黄色の直角三角形は、

短い辺:長い辺:斜辺=15:36:39=5:12:13なので、

各直角三角形の辺の長さが図のようにわかります。

11231

赤い四角形は台形なので、

求める面積=(39+24)×75÷2-10×24÷2=

2362.5-120=

2242.5c㎡

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2015年11月22日 (日)

Eの隣は誰と誰?(東京農業大学第一中等部 2010年)

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円形のテーブルにA、B、Cの男性3人とD、E、Fの女性3人が等間隔に座りました。

着席したときの位置関係が(ア)〜(エ)のようになっているとき、

Eの隣に座っている のは誰と誰ですか。

(ア) Aの両隣りは女子である。

(イ) BとDは隣りどうしである。

(ウ)CとBは隣りどうしである。

(エ)FはCの正面に座っている。

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確実に単独優勝するには?(慶應義塾中等部 2008年)

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A、B、C、Dの4人が、カルタとりをしています。

札は全部で100枚あり、

Aは20枚、Bは15枚、Cは10枚、Dは13枚の札をすでにとっています。

Aが確実に単独で優勝するには、最低あと何枚札をとらなくてはいけませんか。

Karuta

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残りの枚数は、100-(20+15+10+13)=42枚

2位のBとは5枚差ですから、42-5=37枚の過半数をとれば勝ちます。

37÷2=18.5なので、

19枚とれば単独優勝できます。

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2015年11月21日 (土)

平行四辺形はいくつできる?(工学院大学附属中学 2014年)

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図のように、縦横それぞれ1cmの間かくに合計9つの点を並べました。

今この9つの点の中から4つの点を選んで直線で結び、

平行四辺形を作ること にします。いくつできるでしょうか?

ただし、その中で正方形または長方形になるものはのぞきます。

1121p1

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図のように、Aを1辺とする平行四辺形は2つ、

同様に、Bを1辺とする平行四辺形も2つできます。

1121p2

一方、Cを1辺とする平行四辺形も2つですが、Bと1つ重なるので、1つです。

Dを1辺とする平行四辺形もAと1つ重なるので、1つ。

ABCDを使う平行四辺形は、2+2+1+1=6個

EFGHを使う平行四辺形も6個なので、

全部で、12個できます。

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残った立体の体積は?(2015年 青山学院中等部)

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図1のように1辺6cmの立方体から、

各面に垂直に、三角柱、四角柱、円柱をくりぬきました。

図2は各面から見た図です。

のとき、残った立体の体積は何立方cmですか。

11211

11212

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真ん中の3つの図形が重なった部分は、

正方形の中に円も三角形も含まれるので、

円柱も三角柱も四角柱に含まれてしまいます。

したがって、求める体積は、

6×6×6-(2×2×6+1×1×3.14×4+2×2÷2×4)=

216-(24+12.56+8)=

171.44立方cm

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2015年11月20日 (金)

二番目に短いひもの長さは?(広島学院中学 2014年)

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半径21cmの円形のひもがあります。

図のようにひもを3等分する印○と、4等分する印●をつけ、

その7か所を 切って7本に分けました。

一番短いひもの長さが4.5cm のとき、

二番目に短いひもの長さは何cmですか。ただし、円周率は3.14とします。

3

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どこが一番短いのかわかりませんが、

とりあえず、A=4.5cmとして、計算してみましょう。

11202

円周は、21×2×3.14=131.88cm

白○間は、131.88÷3=43.96cm

黒●間は、131.88÷4=32.97cm

B=32.97-4.5=28.47

C=43.96-28.47=15.49

D=32.97-15.49=17.48

E=43.96-17.48=26.48

F=32.97-26.48=6.49

以上より、2番目に短いひもは、6.49cm です。

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2015年11月19日 (木)

長方形が回転してできた軌跡の面積は?(立教新座中学 2014年)

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図のような長方形ABCDがあり、対角線の長さは10cmです。

この長方形を、図のように頂点Cを中心に30°回転させました。

色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

11191

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全体から白い部分の長方形と、

半径8cm、中心角30°のおうぎ形を引けばいいのですが、

図のように、緑と水色部分を引いても同じことです。

何が残るかというと、

半径10cm、中心角30°のおうぎ形から、

半径8cm、中心角30°のおうぎ形を引いた部分が残ります。

11192

求める面積は、

10×10×3.14×30/360-8×8×3.14×30/360=

36×3.14×1/12=

9.42c㎡

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図形が動いた跡の面積の求め方

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何m後ろからスタートすれば?(2015年 明治大学付属明治中学)

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A君とB君が300m競走をしたところ、

B君がA君に50mの差をつけて 先にゴールしました。

2人がそれぞれ一 定の速さで走るとき、同時にゴールするには、

B君はスタート地点より 何m後ろからスタートすればよいですか?

720

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300-250=50m と答えると間違いですね!

同じ時間で、B君は300m、A君は250m走るので、

速さの比は、B:A=300:250=6:5

今度はA君が300m走る時間でB君が何m走るかを考えます。

B:A=6:5=B君の走る距離:300

B君の走る距離=(6×300)/5=360m なので、

スタート地点より60m後ろです。

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2015年11月18日 (水)

△ABCと△PQRの面積比は?(豊島岡女子学園中学 2012年)

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下の図の点線は、同じ大きさの正三角形をすきまなく並べたものです。

この正三角形の頂点を結んで、

下の図のような三角形ABCと三角形PQRを作りました。

このとき、(三角形ABCの面積):(三角形PQRの面積)を求めなさい。

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真上から見た図はどれ?(東京農業大学第一中等部 2009年)

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大きさがAからEの順に大きい5つの円すいがあります。

下の図1と図2は、これら の円すいを真横から見た図ですが、

それぞれの図がどの方向から見たものかはわかりま せん。

このとき、真上から見た図として正しいものは、

次のア〜オの中のどれでしょう?

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2015年11月17日 (火)

サイコロの展開図は?(成蹊中学 2014年)

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それぞれの面に1から6までの数字が書かれたサイコロがあります。

ただし,向かい合う面の数字はたがいに逆さまに書かれていて,

それらの和は7です。

図2はこのサイコロの展開図です。

「あ」、「い」の面に数字の向きが正しくなるように,数字を入れてください。

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展開図から立方体の頂点を見つける方法」

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四捨五入の場合の数(開成中学 2013年)

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ある装置Aに0でない整数を入力すると、その整数の一の位から順にみて

初めて0でない数字が現れる位で四捨五入した整数が出力されます。

例えばAに95を入力すると100が出力され、

320を入力すると300が出力され、

2000を入力するとOが出力されます。

このとき、①、②の問いに答えなさい。

①Aに0でない整数を入力したところ200が出力されました。

このような整数はいくつありますか。

②ある3桁の整数「ア」をAに入力したところ「イ」が出力されました。

この「イ」をAに入力したところ0が出力されました。

「イ」が0でないとき、このような3桁の整数「ア」はいくつありますか。

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2015年11月15日 (日)

通過算?旅人算?(2015年 横浜共立学園中学)

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長さ756mの列車Aと長さ540mの列車Bが、それぞれ一定の速さで走ります。

この2つの列車の先頭が出会ってからすれ違い終わるまでに27秒かかり、

列車Aの先頭が列車Bの最後尾に追いついてから追い越し終わるまでに

1分12秒かかります。

列車Aの速さは毎秒何mですか。

Tuka

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すれ違う場合は、図のように

Aの最後尾=赤と、Bの最後尾=青が出会う旅人算で考えます。

A列車の速さを毎秒Am、B列車の速さを毎秒Bmとすると、

(756+540)÷(A+B)=27

A+B=1296÷27=48m・・・・・・①

11151_2

 

追い越す場合は、図のように

Aの先頭=赤と、Bの最後尾=青が同時に出発する旅人算で考えます。

2つの列車の長さ分だけ差がついたわけで、

(756+540)÷(A-B)=72

A-B=18m・・・・・・②

①と②より和差算で、

A=(48+18)÷2=33m/毎秒

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2015年11月14日 (土)

一筆がきができないのはどれ?(東京農業大学第一中等部 2012年)

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線を2重になぞることなく、ひとつながりの線でかくことを一筆がきといいます。

ただし、線と線が交わってもかまいません。

次の図で、一筆がきができないものはどれでしょうか?

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この記号の規則性は?(東京農業大学第一中等部 2014年)

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図のように、ある規則にしたがって整数に記号を割り当てました。

この規則に従うと、図1はいくつですか。

11141

11142

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黒い部分が、なし、上、下、全体と4つ変化すると、左の丸が一つ変化するので、

4進法だと考えられます。

図のように丸が3つになるのは、4×4=16

11143

以後、4つずつ調べていくと、図1は45とわかります。

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2015年11月13日 (金)

道順は何通り?(東京都市大学等々力中学 2013年)

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点Aから点Bまで、遠回りしないで行くことにします。

Cを通り、Dを通らない行き方は何通りありますか?

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2015年11月12日 (木)

回転させてできる立体の体積は?(工学院大学附属中学 2014年)

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図のような平行四辺形ABCDがあり、

辺BCの長さは4cm、面積は20c㎡です。

この平行四辺形ABCDを、直線ADのまわりに1回転させてできる立体の体積は

何立方cmですか?ただし、円周率は3.14とします。

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写真を撮った場所はどこ?(田園調布学園中等部 2012年)

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Kさんは隅田川の花火大会を見に行きました。そこで写真を撮ったところ、

図のように、花火と東京スカイツリーがほぼ同じ高さに写った写真が撮れました。

東京スカイツリーの高さはおよそ630m、

隅田川の花火大会で打ち上げられた花火は地上およそ180mであったとすると、

Kさんがこの写真を撮ったのは、下の地図のどの地点だと考えられますか。

記号で答えなさい。ただし下の地図は、東京スカイツリーを中心にして、

半径600mごとに変えていくつかの円をかいたものです。

11121

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同じ高さに見えたことから、

図のように、花火より東京スカイツリーの方が遠いことがわかります。

したがって、CやDではありません。

方向の違う、AやEも違います。

11122

2つの直角三角形は相似で、

高さの比が、630:180=7:2 なので、

Kさんからの距離の比も、およそ7:2になっているはずです。

Fは、スカイツリー:花火=3600:1800=2:1

Bは、スカイツリー:花火=2400:600=4:1=8:2 なので、

Bの方が7:2により近い場所です。

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2015年11月11日 (水)

球が触れることのできる部分は?(芝浦工業大学柏中学 2014年)

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底面が正方形の図のような箱の中を球が自由にころがります。

このとき、球が触れることのできる底面の部分を表したものは、

ア~エのどれでしょうか?

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ボールペンは何本?(逗子開成中学 2014年)面積図で解くつるかめ算

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1本40円の鉛筆と1本100円のボールペンを合わせて50本買ったところ、

購入した鉛筆とボールペンの金額の比は8:5になりました。

購入したボールペンは何本ですか。

Pce022s

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いろいろな解き方はあると思いますが、ここでは面積図を使ってみましょう。

11111

黄色が鉛筆の金額、緑がボールペンの金額です。

白い部分のたては、100-40=60円 なので、

金額は、40:60=⑧:白

白=480/40=⑫ となります。

全体が、⑫+⑧+⑤=25まる が50×100=5000円 なので、

①=5000÷25=200円

緑=⑤=200×5=1000円 より

ボールペンの本数は、緑の横で、1000÷100=10本です。

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2015年11月10日 (火)

同時に鐘をついたのは何回?(2015年 栄東中学、東大クラス選抜)

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大晦日、3つの寺A、B、Cでは108回の鐘をつきました。

午後11時ちょうどに3つの寺が1回目の鐘をつき、その後、

寺Aは40秒ごとに1回、寺Bは50秒ごとに1回、寺Cは60秒ごとに1回、

鐘をつきました。

3つの寺が同時に鐘をついたのは全部で何回ありましたか?

Joyanokane_obousan

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1回目に同時についたあと、次に同時につくのは、

40と50と60の最小公倍数、600秒後です。

以下、600秒ごとに同時についていきますが、

最初につき終わるのは、40秒ごとにつく寺Aです。

寺Aは、600÷40=15回目ごとに同時につくので、

108÷15=7あまり3 より、

7+最初の1回=8回 です。

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時計の長針と短針の位置(暁星中学 2014年)

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和夫さんは休日になると、お父さんと散歩に行きます。

この日、散歩に行く前に時計を見ると正午を何分か過ぎたところでした。

散歩から戻って時計を見ると、午後2時を何分か過ぎていましたが、

時計の長針と短針の位置は、散歩に行く前に見たときとちょうど入れかわっていました。

和夫さんか散歩に行く前に時計を見た時刻を求めなさい。

Ilm08_ba07001s

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散歩に出かけたときは図のように、12時十何分か、

11101

散歩から戻ったときは図のように、2時ちょっと過ぎ、

11102

長針と短針の作る角度は同じなので、その角度を□とします。

散歩の間、短針は□度進んでいて、

長針は(720-□)度進んでいます。

短針は1分間に0.5度、長針は6度進むので、

□/0.5=(720-□)/6

12×□=720-□

□=720/13度になります。

長針と短針が重なった正午から、この角度の差がついたと考えると、

その時間は、

720/13÷(6-0.5)=10と10/143分

したがって、散歩に出かけた時刻は、12時10と10/143分

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2015年11月 9日 (月)

算数の得点は何点?(2015年 フェリス女学院中学)平均

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花子さんは、国語、社会、理科、算数、英語の5科目のテストを受けました。

花子さんの国語、社会、理科の合計得点は222点で、

算数の得点は5科目の平均点より1.6点低く、

英語の得点は算数の得点より5点高かったです。

花子さんの算数の得点は何点ですか?

Girl305519_150_2

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国語、社会、理科、算数、英語をそれぞれA、B、C、D、Eとすると、

平均点は、(A+B+C+D+E)/5 となりますが、

A+B+ C=222、E=D+5 なので、

(222+D+D+5)/5=D+1.6 となり、

両辺を5倍すると、

227+2×D=5×D+8

3×D=227-8=219

D=算数=73点

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平行四辺形の面積は?(日本女子大学附属中学 2013年)

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図の平行四辺形で、各点はそれぞれの辺を等しい長さに分けています。

斜線部分の面積の和が36c㎡のとき、この平行四辺形の面積は何c㎡ですか。

11091

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図のように、黄→黄、緑→緑に等積移動すると、

斜線部分は赤い台形になります。

11092

平行四辺形の上辺が4等分、下辺が5等分されているので、

上辺=下辺=4×5=20で統一すると、

平行四辺形は、(上辺+下辺)=20+20=40

赤い台形は、(上辺+下辺)=10+8=18 で、

面積比は、40:18 になります。

したがって、平行四辺形の面積は、36×40/18=80c㎡ です。

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2015年11月 8日 (日)

角「あ」は何度?(東海中学 2014年)

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図1の四角形の紙を図2のように折りました。

角「あ」は何度ですか。

11081

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2015年11月 7日 (土)

回転寿司は何個?間隔は何秒?(洛南高等学校附属中学 2014年)

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R回転ずし店では、一定の速さで動く円形のレーンに、

すしが等間隔に並べられています。

○すしが「ア」個並べられたとき、「イ」秒ごとに流れてきます。

○すしが(「ア」+4)個並べられたとき、(「イ」-1)秒ごとに流れてきます。

○すしが(「ア」+9)個並べられたとき、(「イ」-2)秒ごとに流れてきます。

「ア」は何個ですか?「イ」は何秒ですか?

Photo

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すしがア個のとき、その間隔もア個なので、

円形レーンの一周する時間は、ア×イ秒です。

すしが4個増えると、その間隔も4個増えます。

一つの間隔が流れる時間は1秒減るので、

ア+4秒減りますが、4間隔増えるので、4×イ秒増えます。

一周する時間は変わらないので、

ア×イ+4×イ-(ア+4)=ア×イ

4×イ-(ア+4)=0 なので、

4×イ=ア+4・・・・①

同様に、

すしが9個増えると、その間隔も9個増えます。

一つの間隔が流れる時間は2秒減るので、

(ア+9)×2=ア×2+18秒減りますが、9間隔増えるので、9×イ秒増えます。

一周する時間は変わらないので、

ア×イ+9×イ-(ア×2+18)=ア×イ

9×イ-(ア×2+18)=0 なので、

9×イ=ア×2+18・・・・②

①と②より、

36×イ=ア×9+36

36×イ=ア×8+72

ア×9+36=ア×8+72

ア=36個

イ=10秒 となります。

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できた食塩水の濃度は何%?(関西学院中学 2014年)

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容器Aには11%の食塩水、容器Bには14.4%の食塩水が入ってい ました。

それぞれの容器に6%の食塩水を60gずつ加えると、

Aの 食塩水の濃度は9.5%、Bの食塩水の濃度は13%になりました。

そ の後、AとBの食塩水をすべて混ぜ合わせました。

できた食塩水の濃度は何%ですか。

Sst055s

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2015年11月 6日 (金)

連続した整数の和は?(2015年 暁星中学)数の性質

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520は最大で何個の連続した整数の和で表せますか?

そのときの一番小さい数はいくつですか?

Apa0307s

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ある数を連続した和で表すとき、AとBの場合が考えられます。

11061_3

520=2×2×2×5×13 なので、

40×13 より、Aの△=40にして、

34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46 

と、13個の和として表すことができます。が・・・・・・

もっと多い場合があるでしょうか?

20×26では、B方式で左右10個ずつ、または13個ずつに分けても、

真ん中の隣り合う数を奇数にして連続させることができません。

8×65はどうでしょうか?

B方式で、左右を8個ずつにして、

○=32、□=33

以下、対応する2数の和をすべて65にすると、

25,26,27,28,29,30,31,3233,34,35,36,37,38,39,40

と、16個の連続した和ができます。

一番小さな数は25です。

これが最大の個数だと思いますが・・・

さて、もっとたくさんの連続した和ができるでしょうか???

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直角三角形は何種類できる?(慶應義塾中等部 2013年)場合の数

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図のような底辺の長さが8cm、高さが5cmの直角三角形Aがあります。

この直角三角形Aの底辺の長さを右方向に、高さを上方向に、

それぞれ整数で何倍かした新しい直角三角形Bをつくります。

面積が1440c㎡となる直角三角形Bは全部で何種類できますか。

11061

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面積が1440c㎡の場合、底辺×高さ=2880 です。

2880=2×2×2×2×2×2×3×3×5=8×2×2×2×3×3×5なので、

8の倍数を考えれば、5の倍数も決まります。

2×2×2×3×3のうち、

一つの数字も使わない場合(底辺が8cmの1倍)、

つまり、底辺が8、高さが5×2×2×2×3×3の場合が1通り、

1つ使う場合、2か3の2通り、

2つ使う場合、2×2、2×3、3×3 の3通り、

3つ使う場合、2×2×2、2×2×3、2×3×3 の3通り、

4つ使う場合、2×2×2×3、2×2×3×3 の2通り

5つ使う場合、1通り

合計、1+2+3+3+2+1=12種類の直角三角形ができます。

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2015年11月 5日 (木)

重なった部分の面積は?(2008年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題から)

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重なった同じ大きさの2つの正方形の一方を、

対角線の交点Pを中心に回転させました。

すると、AB=5cm、BC=13cm、AC=12cmになりましたが、

このとき、重なった黄色部分の面積は何c㎡になりますか。

1_2

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重なっていない8つの直角三角形は、対象性の原理からみな同じ形です。

したがって、

(5+13+12)×(5+13+12)-5×12÷2×4=780c㎡

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分数は、何分の何?(湘南白百合学園中学 2012年)

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ある分数の分母に8を加えると、1/3になり、Lpsd1301cs

15を加えると、1/4になります。

この分数は、何分の何ですか?

11051_2

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最初の分数を、○/□とすると、

図のように○が7なので、

□=7×3-8=13

○/□=7/13 

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回転体の体積と表面積は?(2015年 大妻中学)

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図のように1辺の長さが1cmの正方形を4個つなぎあわせました。

この図形を軸のまわりに1回転させて立体を作ります。

(1)この立体の体積は何立方cmですか。

(2)この立体の表面積は何c㎡ですか。

Bandicam_20151105_082422365

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2015年11月 4日 (水)

ボールの跳ね上がる比率は?(2015年 横浜雙葉中学)

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落とした高さに対していつも同じ割合で跳ね上がるボールがあります。

4m50cmの高さから落としたところ、1回目に何mか跳ね上がり、

2回目に2m跳ね上がりました。

このボールをある高さから落として、3回目に80cm跳ね上がるためには、

何m何cmの高さから落とせばよいですか。

11041

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4.5m×○/□×○/□=2m なので、

2/4.5=4/9=○/□×○/□ となり、

4=○×○

9=□×□ より、

○=2

□=3

跳ね上がる割合は、2/3です。

△m×2/3×2/3×2/3=0.8m=8/10 なので、

△=8/10÷8/27

△=27/10 となり、

最初の高さは、2m70cmです。

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

2015年11月 3日 (火)

△緑の面積は?(2015年 青山学院中等部)平面図形

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黄色部分の面積が45c㎡のとき、三角形ABCの面積は何c㎡ですか?

11032_2

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黄色部分は台形で、(DE+FG)×3÷2=45なので、

DE+FG=30cm

EG=DH=FH=3cmより、

DE=HG=(30-3)÷2=13.5cm

11033

AC=13.5-6.5=7cm なので、

△ABC=7×7÷2÷2=12.25c㎡

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速さの比、時間の比は?(明治大学付属明治中学 2012年)

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A,B,Cの3人は右の池の地点Pを同時に出発1103し、

Aは時計回りに、B、Cは反時計回りにそれぞれ

一定の速さで池にそって歩きます。

Bさんの歩く速さはAさんの歩く速さの4/5、

Cさんの歩く速さはAさんの歩く速さの2/3です。

AさんはBさんと出会ってから40秒後にCさんと

出会いました。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)Aさんがこの池を一周するのに何分かかりますか。

(2)AさんはBさんと2回目に出会ってから100m進んだだ地点で、

   Cさんと2回目に出会いました。Aさんの歩く速さは毎分何mですか。

2122

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(1)歩く速やさの比は、A:B:C=1:4/5:2/3=15:12:10

池の周りをA+Bは、15+12=27の速さで、

A+Cは、15+10=25の速さで一周したので、

かかった時間は逆比になり、A+B:A+C=25:27、

27-25=2 が40秒にあたります。

A+Bは、(25/2)×40=500秒で出会い、

A+Cは、(27/2)×40=540秒で出会ったことになります。

A+BとAの速さの比は、27:15=9:5 なので、

池を一周するのにかかる時間の比は逆比で、A+B:A=5:9

Aが池を一周するには、500×9/5=900秒、つまり15分かかります。

(2)AとBが2回目に出会うのは、500×2=1000秒後

AとCが2回目に出会うのは、540×2=1080秒後なので、

1080-1000=80秒間にAは100m進むことになるので、

その速さは、分速、60/80×100=75m です。

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2015年11月 2日 (月)

くり抜いたあとの立体の体積は?(東大寺学園中学 2010年)

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たて8cm、横10cm、高さ12cmの直方体の形をした

図1のような材木があります。

Pic_2101q

この材木を真上から、

下の図2の青色部分をまっすぐに下の面までくり抜いて穴をあけました。

次に、真正面から、

下の図3の青色部分をまっすぐに裏の面までくり抜いて穴をあけました。

穴をあけた後の材木の体積を求めなさい。

     Pic_2102q

      Pic_2103q

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最初の状態の材木の体積は、

12×8×10=960c㎥ です。

 

まず、図2のように真上から真下へ長方形の穴をあけると

6×4×12=288c㎥ の体積が減るので、

960-288=672c㎥ の体積になります。

 

次に、図3の直角三角形の穴を正面から裏へあけると、

どうなるか考えてみましょう。

下の図5のように、図2の下にすぐ図3を描くと、

    Pic_2105a

直角三角形の穴があけられるのは、黄色い部分ということがわかります。

この部分にあく穴の体積は、

4×8÷2×(2cm+2cm)=64c㎥ と求められ、

材木の体積は、

672-64=608c㎥ となることがわかります。

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