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2015年10月11日 (日)

角Xは何度?(2007年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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図の角Xは何度になりますか?

1_2

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2

三角形BCEにおいて、角BCE=180度-50度-65度-15度=50度。

これにより、角BEC=角BCE=50度となり、

三角形BCEは二等辺三角形とわかり、

BE=BC……(1)

また、角ACB=角ECB-角ECA=50度-30度=20度より、

角ACB=角CAB=20度となるので、

三角形BCAも二等辺三角形とわかり、

BA=BC……(2)

(1)、(2)より、BA=BE……(3)

さらに、

角ABE=180度-20度×2-65度-15度=60度……(4)

(3)、(4)より、三角形BAEは頂角が60度の二等辺三角形なので、

正三角形とわかり、

AB=BE=EA……(5)

次に、三角形BEDは、

角EDB=180度-50度-65度=65度=角EBDとなるので、

三角形EBDもまた二等辺三角形とわかり、

(5)、(6)より、EA=EDとなり、

三角形EADも二等辺三角形とわかるので、

角EAD=(180度-50度-60度)÷2=35度、

以上から、角X=角EAB-角EAD-角BAC=

60度-35度-20度=5度。

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