並び方にどんな規則が？（２０１５年 大妻多摩中学）

大妻多摩中学のホームページには、２０１１年以降の入試問題と解答が掲載されています。その中から２０１５年に出題された、規則性を考えさせる、ちょっとユニークな問題をご紹介しましょう。

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次のように，５００以下の整数のうち，３の倍数を除いたものが並んでいます。

１，２，４，５，７，８，１０，１１，１３，１４，・・・・・・，５００

このとき，次の問いに答えなさい。

（１） 小さい方から数えて５５番目の数はいくつですか。

（２） 並んでいるすべての数の和はいくつですか。

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（１）

１と２、４と５、７と８、・・・・・のように、

３の倍数で区切った、（奇数　偶数）の２つの数をブロックとして考えます。

２つの数の和を数列としてみると、

３、９、１５、２１、２７、・・・・　のように６ずつ増えていきます。

１ブロックを３、２ブロックを９、３ブロックを１５・・・とすると、

（Ｎブロック×６－３）でその和がわかります。

１番目→１、２番目→２、２番目÷２＝１ブロック

３番目→４、４番目→５、４番目÷２＝２ブロック

５番目→７、６番目→８、６番目÷２＝３ブロック

となっているので、

５５番目と５６番目は、５６番目÷２＝２８ブロック　です。

したがって、その和は、２８×６－３＝１６５

５５番目の数は、（１６５－１）÷２＝８２　になります。

（２）

５００の前の３の倍数は、４９８なので、

最後のブロックは、４９９、５００　です。

最初の１と最後の５００の和は５０１、

２番目の２と最後の１つ前の４９９の和も５０１、

・・・・・・

となるので、５０１がいくつできるか考えます。

３の倍数は、５００÷３＝１６６あまり２　なので、１６６個

並んでいる数の個数は、５００－１６６＝３３４個

５０１は、３３４÷２＝１６７個できるので、

すべての数の和は、５０１×１６７＝８３６６７　です。

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