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2015年10月 7日 (水)

並び方にどんな規則が?(2015年 大妻多摩中学)

大妻多摩中学のホームページには、2011年以降の入試問題と解答が掲載されています。その中から2015年に出題された、規則性を考えさせる、ちょっとユニークな問題をご紹介しましょう。

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次のように,500以下の整数のうち,3の倍数を除いたものが並んでいます。

1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,・・・・・・,500

このとき,次の問いに答えなさい。

(1) 小さい方から数えて55番目の数はいくつですか。

(2) 並んでいるすべての数の和はいくつですか。

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(1)

1と2、4と5、7と8、・・・・・のように、

3の倍数で区切った、(奇数 偶数)の2つの数をブロックとして考えます。

2つの数の和を数列としてみると、

3、9、15、21、27、・・・・ のように6ずつ増えていきます。

1ブロックを3、2ブロックを9、3ブロックを15・・・とすると、

(Nブロック×6-3)でその和がわかります。

1番目→1、2番目→2、2番目÷2=1ブロック

3番目→4、4番目→5、4番目÷2=2ブロック

5番目→7、6番目→8、6番目÷2=3ブロック

となっているので、

55番目と56番目は、56番目÷2=28ブロック です。

したがって、その和は、28×6-3=165

55番目の数は、(165-1)÷2=82 になります。

(2)

500の前の3の倍数は、498なので、

最後のブロックは、499、500 です。

最初の1と最後の500の和は501、

2番目の2と最後の1つ前の499の和も501、

・・・・・・

となるので、501がいくつできるか考えます。

3の倍数は、500÷3=166あまり2 なので、166個

並んでいる数の個数は、500-166=334個

501は、334÷2=167個できるので、

すべての数の和は、501×167=83667 です。

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