５けたの２５６の倍数はあるかな？（２００９年算数オリンピック、ファイナル問題から）

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各けたの数字が２、０、９のいずれかで、２、０、９のどれもが、いずれかのけたに現れる整数（たとえば９２０、２００９など）のうち、５けたの２５６の倍数はあるでしょうか？あるとすれば、それはいくつですか？

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下の位から考えていきます｡

２５６＝２×２×２×２×２×２×２×２　より、

まず、２の倍数なので、１の位は０か２です｡

次に、４の倍数なので、下２けたは00か20か92のいずれかです。

さらに、８の倍数なので、下３けたは000か200か920か992のいずれかとなります｡

最後に、16の倍数ですから、下４けたは0000、.2000、9200、9920、0992、2992の

どれかのはずです。

求める整数は、５けたで2、0.、9のどれもがどこかのけたになければならないので、

下４けたが0000と2992の場合は2、0、9すべての数が現れず不適当、

また、32の倍数でもあるので、５けたで考えると、

92000、99200、29920、20992、のどれかとなり、

この３つの整数をそれぞれ調べると、

20992だけが256の倍数であるとわかります。

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