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2015年10月17日 (土)

5けたの256の倍数はあるかな?(2009年算数オリンピック、ファイナル問題から)

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各けたの数字が2、0、9のいずれかで、2、0、9のどれもが、いずれかのけたに現れる整数(たとえば920、2009など)のうち、5けたの256の倍数はあるでしょうか?あるとすれば、それはいくつですか?

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下の位から考えていきます。

256=2×2×2×2×2×2×2×2 より、

まず、2の倍数なので、1の位は0か2です。

次に、4の倍数なので、下2けたは00か20か92のいずれかです。

さらに、8の倍数なので、下3けたは000か200か920か992のいずれかとなります。

最後に、16の倍数ですから、下4けたは0000、.2000、9200、9920、0992、2992の

どれかのはずです。

求める整数は、5けたで2、0.、9のどれもがどこかのけたになければならないので、

下4けたが0000と2992の場合は2、0、9すべての数が現れず不適当、

また、32の倍数でもあるので、5けたで考えると、

92000、99200、29920、20992、のどれかとなり、

この3つの整数をそれぞれ調べると、

20992だけが256の倍数であるとわかります。

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