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2015年10月15日 (木)

2回目にひとつに重なるのは何分後?(西大和学園中学 2010年)

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円の周上に3つの点P、Q、Rが最初、下の図の位置にあって、

ここから円の周上を時計回りに同時に回り始めます。

ただし、下の図において、

円の中心とそれぞれ3つの点P、Q、Rでつくられる角ア、イ、ウは等しい大きさです。

3つの点はそれぞれ、Pは4分、Qは12分、Rは6分で円を一周し、速さは一定とします。

このとき、3つの点が2回目にひとつに重なるときは、回り始めて何分後ですか?

1015p

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ア=イ=ウ=120°

Qが一番遅く、Rがその倍の速さで、Pは3倍の速さです。

Qが120°を2つ、今Pがいる位置に来ると、

Rは120°を4つ、やはり今Pがいる位置に来ます。

Pは120°が6つ、これも今Pがいる位置に来ます。

これが1回目に重なるときで、

Qは2/3周なので、12×2/3=8分後です。

ここから、同時に出発して次に重なるのは、

4分と6分と12分の最小公倍数12分後で、

2回目は、8+12=20分後 です。

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