目次

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2015年10月

2015年10月31日 (土)

最大、最小の分数式は?(武蔵中学 2015年)

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Bandicam_20151031_083531063

Apf

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最大の答えは、

Aを最大、Dを最小にして、

C/Bを最大、F/Eを最小の組み合わせを探します。

6と3/4-1と2/5

最だい小の答えは、

A-Dを1にして、、

C/Bを最小、F/Eを最大の組み合わせを探します。

3と1/6-2と4/5

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分数の式は何通りできる?(武蔵中学 2015年 場合の数)

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Bandicam_20151031_083318654
Bandicam_20151031_084031018
D=4のとき、E=3なら、F=2、C=1またはF=1、C=2の2通り、

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D=4のとき、E=2なら、F=1、C=3の1通り、

D=3のとき、E=4なら、F=2、C=1またはF=1、C=2の2通り、

D=3のとき、E=2なら、F=1、C=4の1通り、

D=2のとき、E=4なら、F=3、C=1またはF=1、C=3の2通り、

D=2のとき、E=3なら、F=1、C=4の1通り、

D=1のとき、E=4なら、F=3、C=2またはF=2、C=3の2通り、

D=1のとき、E=3なら、F=2、C=4の1通り、

全部で、(2+1)×4=12通り

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2015年10月30日 (金)

折ってできた図形は、長方形の面積の何倍?(早稲田大学高等学院中学部 2015年)

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図1は、対角線の長さが5cm、

となり合う2辺の長さが3cm、4cmである長方形です。

この長方形を対角線ABで折り、さらに2点A、Bが重なるように折って、

図2のような四角形をつくりました。

このとき、図2の四角形の面積は、図1の長方形の面積の何倍ですか。

10301

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2015年10月28日 (水)

3けたの約数はいくつ?(久留米大学附設中学 2014年 改題)

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2014×2014 を割り切ることができる3けたの整数を

小さい順にすべて答えてください。

Bandicam_20151028_082441416

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2014=2×19×53

この19と53という約数を見つけるのが一苦労ですが・・・

2014×2014=2×2×19×19×53×53 なので、

3けたになる組み合わせをさがすと、

2×53=106

2×2×53=212

19×19=361

2×19×19=722

以上4つが見つかります。

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角 X の角度は何度?(広尾学園中学 2014年)

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下の図で、直線 m、n は平行です。

AF=BF=BC のとき、角 X は何度ですか。

10281

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△FABと△BCFは二等辺三角形なので、

それぞれ、図のような角度になるので、

∠ABC=∠X=35+40=75°

10282

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2015年10月27日 (火)

歯車の歯数の比例関係は?(横浜共立学園中学 2013年)

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歯車Aと歯数36枚の歯車Bが、かみ合っています。

歯車Aは5秒間で90回転し、歯車Bは3秒間で24回転します。

歯車Aの歯数は全部で何枚ですか?

Gum11_ey02013s

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歯車Aは3秒間に、90×3/5=54回転します。

3秒間にかみ合う歯数はA、Bとも同じで、

36×24=864枚なので、

Aの歯数は、864÷54=16枚です。

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木の葉形面積の求め方は?(滝中学 2014年)

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下の図において、斜線部分の面積の合計は何c㎡ですか。

ただし4つの四角形はすべて正方形で、

内部の曲線はそれぞれの正方形の1辺を半径とする円の一部です。

円周率は3.14とします。

10271

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2015年10月26日 (月)

学校に行く旅人算(高輪中学 2014年)

太郎君は毎日同じ時刻に家を出て、学校|ご行きます。

分迪72mで歩くと始業の時間に3分遅刻してしまいます。

また分速84mで歩くと始業の時間より2分早く着きます。

家から学校までの道のりは何mですか。

Bandicam_20151026_082714608

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図のように、分速84mで歩いたときに学校についた時刻には、

分速72mで歩いた場合、学校まで5分かかるところにいることになります。

1

この場所は、学校まで、72×5=360mのところです。

速さが84mと72mでは、1分間に84-72=12m 差がつきます。

360mの差は、360÷12=30分でついた差ですから、

学校までは、84×30=2520m です。

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2015年10月25日 (日)

展開図ではどこに表示されるかな?(東京都市大学等々力中学 2013年)

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図1のように立方体の面に、「T」、「C」、「U」の3文字を、

1つずつ書き入れました。

10262


この立方体を次のように展開したとき、

「C」はどの面に、どの向きで表示されるでしょうか?

10263

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展開図で、立方体に対応する頂点は、次のように考えると見つけやすくなります。

図1でTの右上の頂点から一番はなれた頂点はCの左下に、

図1でUの右下の頂点から一番はなれた頂点はCの左上になるので、

10264

Cは図のように表示されます。

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1回転した辺の軌跡は正方形の何倍?(東京都市大学等々力中学 2014年)

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正方形ABCDについて、点Aを中心に正方形を1回転させたとき、

辺BCが動いてできる図形の面積は、正方形ABCDの面積の何倍ですか。

ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20151025_092006217

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2015年10月24日 (土)

くりぬいた後の体積は?(頌栄女子学院中学 2010年 立体のくりぬき)

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1辺の長さが6cmの立方体があります。

下の図のように、このき立方体のすべての面のちょうど真ん中に、

1辺の長さ2cmの正方形を底面とする高さ6cmの四角柱の穴をあけます。

このような立体の体積は何立方cmですか?

P10251

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くりぬいた四角柱はちょうど真ん中なので、

2×2×2の立方体が図のように残ることになります。

Capture_2015_10_24_08_26_08_31

一番上と一番下の段がそれぞれ8個

真ん中の段が4個なので、

全部で20個残ります。

体積は、2×2×2×20=160立方cm

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面積比と長さ比(東京都市大学付属中学 2012年 長さ比、面積比)

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図のように、三角形ABCを面積の等しい6つの三角形に分けました。

辺ACの長さが48cmであるとき、CHの長さは何cmですか。

10251

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△ABCと△DBCは底辺をそれぞれAC、DCとすると、

高さが等しいので、面積比=底辺の長さ比になります。

したがって、DC=48×5/6=40cm

同様に、△DECと△FECの面積比=底辺の長さ比 なので、

FC=40×3/4=30cm

同様に、△FGCと△HGCの面積比=底辺の長さ比 なので、

CH=30×1/2=15cm

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2015年10月23日 (金)

さいころの目の出方は何通り?(東邦大学付属東邦中学 2014年 場合の数)

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図のような正五角形ABCDEがあります。点Aを出発し、

さいころを投げて出た目が奇数ならば頂点をその目の数だけ時計周りに進み、

偶数ならば頂点をその目の数だけ反時計周りに進むゲームをします。

このとき、次の問いに答えなさい。
10231

(1)2回さいころをふったとき、

   点Aにいるようなさいころの目の出方は何通りありますか。

(2)3回さいころをふったとき、

   点Aにいるようなさいころの目の出方は何通りありますか。

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2015年10月22日 (木)

円と長方形の面積は?(成城学園中学 2011年)

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下の図のように、円アと長方形イが重なっています。

重なっている部分の面積はアの2/7、イの3/4で、

色全体の面積は69c㎡です。

このとき、ア、イの面積はそれぞれ何c㎡ですか。

10222

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重なっている赤い部分の、分子を同じ数字にしてみます。

円の赤い部分は、2/7=6/21

長方形の赤い部分は、3/4=6/8

すると、黄:赤:緑=15:6:2 の割合になります。

15+6+2=23 が69c㎡なので、

円アの面積=69×21/23=63c㎡

長方形イの面積=69×8/23=24c㎡

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立方体はいくつ?(成城学園中学 2011年 立体図形の投影図)

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下の図は、同じ大きさの立方体を積み重ねて作った立体を、

真上、真横、正面から見たものです。

このとき、使用した立方体の個数はいくつですか?

10221

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2015年10月21日 (水)

切断される立方体の個数は?(昭和学院秀英中学 2010年)

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1辺が1cm の小さい立方体を54個、図のように積み上げて直方体をつくります。

この直方体を頂点A、B、Cを通る平面で切るとき、

切断される小さい立方体の個数は何個ですか?

10211

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この数列の和はいくつ?(豊島岡女子学園中学 2015年)

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分数20/N以下で最も大きい整数を【N】と麦すことにします。

例えば20/3で最も大きい整数は6なので【3】=6、

20/4以下で最も大きい整数は5なので、【4】=5となります。

このとき、下の30個の数の和はいくつになりますか。

【1】+【2】+【3】+【4】+・・・+【29】+【30】=

1212


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2015年10月20日 (火)

表面積の最も小さい立体は?(智弁学園和歌山中学 2010年)

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下の図の①~④の立体は、 1辺が1cmの4個の立方体を、

面と面をつなぎ合わせて作ったものです。

①~④の立体を1つずつ、全部で4個組み合わせて、

できるだけ表面積の小さい立体を作ったとき、その面積は何c㎡ですか?

P10201

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切断した立体の表面積は?(サレジオ学院中学 2014年)

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図のように,立方体ABCD-EFGHがあります。

ACの長さを6cm,辺FGのまん中の点をM,辺GHのまん中の点をNとします。

3点C,M,Nを通る平面でこの立方体を切ったとき,

点Gを含む方の立体の表面積は何c㎡ですか。

10201

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2015年10月19日 (月)

サイコロは何回転がったか?どんな規則性?(洗足学園中学 2014年)

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図のように1の目が上の面になるように、サイコロを机の上におきます。

このサイコロをすべることなく次のように転がしていきます。

①スタート地点から手前に2の目が下の面になるように1回転がします。

②右に何回か転がします。

③奥に1回転がします。

④スタート地点に戻るまで,左に転がします。

スタート地点では1の目が上の面にあるとき,①~④の転がし方をして、

再びスタート地点で上の面が1の目になるためには、

②で何回右に転がせばよいですか。

考えられる数の中で最も小さい数を答えてください。

P1019

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①で手転がすと1の目手前にきます。

そのあと、何回右に転がしても、

③で奥に転がせば1の目は上にきます。

したがって、④で左に転がして、再び1の目が上にくるには

4回転がせばよいことになります。

②で4回右に転がせば、④で4回転がしたとき、スタート地点にもどります。

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方陣算?植木算?(白百合学園中学 2014年)

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幅1cm、長さ30mの紙テープがあります。10cmずつに切って、つなぎあわせ、

下の図のようにできるだけ多くの正方形をつくります。

ただし、紙テープと紙テープをつなげるときは必ずのりしろを1cm使うこととします。

(1)この紙テープを使って、何個の正方形をつくるできますか。

(2)のりしろに使われた部分の合計は何cmですか。

10191

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(1)最初の10cmをたてに置くと、

次からは、正方形を1つ作るのに、図の黄色部分30cmを使います。

10192

テープは30mなので、3000cm、

3000÷30=100ですが、最初の10cm分が足りず、

できる正方形は100-1=99個 です。

(2)1つ正方形を作るごとに、

10193

緑部分は、1×2=2cm、

赤部分はテープが2つ重なっているので、1×2×2=4cm、

2+4=6cmののりしろが必要です。

99個では、6×99=594cm

最初の10cmのテープが2cmなので、

合計、594+2=596cm です。

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2015年10月17日 (土)

5けたの256の倍数はあるかな?(2009年算数オリンピック、ファイナル問題から)

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各けたの数字が2、0、9のいずれかで、2、0、9のどれもが、いずれかのけたに現れる整数(たとえば920、2009など)のうち、5けたの256の倍数はあるでしょうか?あるとすれば、それはいくつですか?

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下の位から考えていきます。

256=2×2×2×2×2×2×2×2 より、

まず、2の倍数なので、1の位は0か2です。

次に、4の倍数なので、下2けたは00か20か92のいずれかです。

さらに、8の倍数なので、下3けたは000か200か920か992のいずれかとなります。

最後に、16の倍数ですから、下4けたは0000、.2000、9200、9920、0992、2992の

どれかのはずです。

求める整数は、5けたで2、0.、9のどれもがどこかのけたになければならないので、

下4けたが0000と2992の場合は2、0、9すべての数が現れず不適当、

また、32の倍数でもあるので、5けたで考えると、

92000、99200、29920、20992、のどれかとなり、

この3つの整数をそれぞれ調べると、

20992だけが256の倍数であるとわかります。

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長さの比は?( 東洋英和女学院中学 2014年)

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2本の棒A、Bを深さが一定のプールの底に垂直に立てると、

Aは全体の長さの7/12が水中にあり、

Bは全体の長さの3/8が水面より上にあります。

AとBの長さの比を、最も簡単な整数の比で表すと、何対何ですか?

2

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分母を同じにすると、

Aの水中部分は、14/24

Bの水中部分は、1-3/8=5/8=15/24

これが同じ長さなので、Aの方が長く、

A:B=15:14 です。

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面積計算の工夫は?(東洋英和女学院中学 2014年)

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下の図の1マスは1辺が2cmの正方形です。

曲線はすべて円の一部です。

色部分の面積は何c㎡ですか。ただし、円周率は3.14とします。

10171

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図のように、白→黄のように等積移動して正方形を増やします。

10172

水色+黄色は正方形で、28個あるので、

2×2×28=112c㎡

目玉の部分は目を移動して、半径2cmの円から半径1cmの円を2つ引きます。

2×2×3.14-1×1×3.14×2=2×3.14

緑の半円は、6×6×3.14÷2=18×3.14

上の赤い1/4円は、2×2×3.14÷4=1×3.14

円部分の合計は、(2+18+1)×3.14=65.94c㎡

最後に一番下に残った赤い三角形、2c㎡を加えます。

112+65.94+2=179.94c㎡

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2015年10月16日 (金)

ページ番号の論理と推理(昭和学院秀英中学 2010年)

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図のように紙を重ねて2つ折りにした200ページの冊子があります。

63ページを含む用紙で、63以外のページ番号を、

小さい順に答えてください。

10161

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一枚の用紙にはページ番号が4つ書かれるので、

用紙数は、200÷4=50枚です、

左側の用紙には、1~100、

右側の用紙には101~200の番号が書かれています。

左右別に考えると、1枚の用紙には2つの番号が書かれています。

左では、63ページは、63÷2=31あまり1なので、

下から32枚目の最初が63、その裏が64ページになります。

下から32枚目は、上から、50-32+1=19枚目です。

右ページで上から18枚目には、18×2=36なので、135と136ページ、

19枚目は、137と138ページになるので、

小さい順に、64、137、138のページ番号です。

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2015年10月15日 (木)

第10回算数オリンピック、トライアル問題より(立体のくりぬき問題)

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125個の小立方体でできた立方体があります(図A)。

この立方体から何個かの小立方体を反対側の面までつきぬけるように抜きとりました。(図B)の黒の部分が抜きとったあとです。

(図B)の立体には何個の小立方体が残っていますか。

0

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手前から輪切りのように、1列ずつ考えていきます。

①20個

1_5

②10個

2_3

③14個

3

④11個

4

⑤20個

5

20+10+14+11+20=75個

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2回目にひとつに重なるのは何分後?(西大和学園中学 2010年)

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円の周上に3つの点P、Q、Rが最初、下の図の位置にあって、

ここから円の周上を時計回りに同時に回り始めます。

ただし、下の図において、

円の中心とそれぞれ3つの点P、Q、Rでつくられる角ア、イ、ウは等しい大きさです。

3つの点はそれぞれ、Pは4分、Qは12分、Rは6分で円を一周し、速さは一定とします。

このとき、3つの点が2回目にひとつに重なるときは、回り始めて何分後ですか?

1015p

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ア=イ=ウ=120°

Qが一番遅く、Rがその倍の速さで、Pは3倍の速さです。

Qが120°を2つ、今Pがいる位置に来ると、

Rは120°を4つ、やはり今Pがいる位置に来ます。

Pは120°が6つ、これも今Pがいる位置に来ます。

これが1回目に重なるときで、

Qは2/3周なので、12×2/3=8分後です。

ここから、同時に出発して次に重なるのは、

4分と6分と12分の最小公倍数12分後で、

2回目は、8+12=20分後 です。

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小さい方の体積は大きい方の何倍?(2015年 須磨学園中学)

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下の図のような直方体ABCDEFGHを3点A,C,Fを通る平面で切断したとき,

小さい方の立体の体積は大きい方の立体の体積の何倍になりますか。

10151

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図のように切り取られる小さい方の立体は、三角すいになります。

10152_2

直方体のたて、横、高さを ア、イ、ウ とすると、

小さい方の三角すいの体積は、

ア×イ×1/2×ウ×1/3=ア×イ×ウ×1/6

大きい方の体積は、

ア×イ×ウ-ア×イ×ウ×1/6=ア×イ×ウ×5/6

したがって、

(ア×イ×ウ×1/6)÷(ア×イ×ウ×5/6)

=1/6÷5/6

=1/5 倍

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2015年10月14日 (水)

長方形の面積は?(2004年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

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図の長方形ABCDで、APはPBの5倍、CQはQDの2倍の長さになっています。いま三角形アと三角形イの面積の和、三角形ウと三角形エの面積の和をそれぞれ求めて比べてみると、その差が10 c㎡になりました。
1

長方形ABCDの面積は何c㎡ですか?

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---------------------------------------------------

AP=⑩、PB=②、QD=④、CQ=⑧とします。

2

アーエ=△PRS-△QRS

=3×⑩÷2-3×④÷2

=⑮-⑥

=⑨

エ=アー⑨・・・・・(1)

ウーイ=△QBT-△PBT

=8×⑧÷2-8×②÷2

=32○ー⑧

=24○

ウ=イ+24○・・・・・(2)

(1)(2)より

ウ+エ=アー⑨+イ+24○==ア+イ+⑮

⑮=10より、①=2/3

AB=⑫=2/3×12=8cm

長方形ABCD=8×12=96c㎡

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小さい円の面積の何倍?(四天王寺中学 2014年)

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図のように、円周を6等分する点を結んでできた正六角形に

ぴったり入る円があります。

図のかげをつけた部分の面積の和は、小さい円の面積の何倍ですか。

Bandicam_20151014_064850013

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---------------------------------------------------

図のように、△黄と△緑は合同な正三角形になるので、

大きい円の半径は、小さい円の半径の2倍です。

10141

小さい円の半径を1とすると、その面積は1×1×3.14=1×3.14

影の部分は、(大きい円-小さい円)×1/2 なので、

(2×2×3.14-1×1×3.14)1/2=3×3.14×1/2=3/2×3.14

(3/2×3.14)÷(1×3.14)=1.5倍 です。

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Bの順位と性別は?(四天王寺中学 2014年)

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A,B,C,D,Eの5人が100m走をしました。

以下の文を読んで,Bの順位と性別を答えてください。

(ア)3人は男子,2人は女子で,DとEは同性だった。

(イ)5人は1秒おきにゴールした。

(ウ)Dは5位だった。

(エ)EはCより先にゴールした。

(オ)CとEの平均タイムはAのタイムと等しかった。

(カ)AとBの平均タイムは5人の平均タイムより速かった。

(キ)女子2人の平均タイムは5人の平均タイムより速かった。

Bandicam_20151014_073114899

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2015年10月13日 (火)

最小でいくつ、最大でいくつ?(滝中学 2014年)

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同じ大きさの立方体をいくつか積み上げて立体を作ります。

立体を真上から見ると図2のように見え、

図2のア、イの方向から見ると、それぞれ図2-ア,図2-イのように見えます。

(1)この立体に使われている立方体の数は最小でいくつですか?

(2)この立体に使われている立方体の数は最大でいくつですか?

Bandicam_20151013_094819506

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(←矢印でもどったとき、アニメーションが止まった場合は再読み込みしてください。)

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2つの立体の体積は?(久留米大学附設中学 2014年)

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図のような1辺の長さが6cmの立方体から、

3つの三角すいを切り取った立体があります。

この立体を下から3cmの高さで、底面と平行な面で切り、2つの立体に分けます。

分けられた2つの立体の体積はそれぞれ何立方cmですか。

7462

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2015年10月12日 (月)

2007になる計算式を!(2007年算数オリンピック、ファイナル問題から)

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1、2、3、4、5、6の数字を1回ずつ使って、

それを適当な計算の記号 +、-、×、÷ でつなげて、

答えが2007になる式を作ってください。

数字はバラバラに使っても、12や325のようにつなげて2桁以上の整数として

使ってもよいです。ただし、(  )や√ 記号は使わないでください!

___________________=2007

Apf0107s

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---------------------------------------------------

30×60=1800 や 40×50=2000 を目安に、

近い数字と2007との差を考えて調整していきます。

31×65-2×4=2007

が1つ見つかりましたが、他にもあるでしょうか?

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小さい方の数はいくつ?(横浜共立学園中学 2014年)

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2から16までの偶数が1つずつ書かれている8枚のカードから、

6枚のカードを選ぴます。

選んだカードに書かれている数の和から、

残りの2枚のカードに書かれている数の和を引くと16になりました。

残りの2枚のカードに書かれている数のうち、小さい方の数はいくつですか?

Play072s

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色のついた部分の面積は?(頌栄女子学院中学 2013年)

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1辺の長さが4cmの正方形を次の図のように並べていきます。

ただし,重なっている部分は1辺の長さが1cmの正方形とします。

このとき,次の問いに答えなさい。

(1)4番目の図では,色のついた部分の面積は何c㎡になりますか。

(2)色のついた部分の面積が912c㎡になるのは何番目の図のときですか。

10121

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2015年10月11日 (日)

角Xは何度?(2007年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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図の角Xは何度になりますか?

1_2

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

2

三角形BCEにおいて、角BCE=180度-50度-65度-15度=50度。

これにより、角BEC=角BCE=50度となり、

三角形BCEは二等辺三角形とわかり、

BE=BC……(1)

また、角ACB=角ECB-角ECA=50度-30度=20度より、

角ACB=角CAB=20度となるので、

三角形BCAも二等辺三角形とわかり、

BA=BC……(2)

(1)、(2)より、BA=BE……(3)

さらに、

角ABE=180度-20度×2-65度-15度=60度……(4)

(3)、(4)より、三角形BAEは頂角が60度の二等辺三角形なので、

正三角形とわかり、

AB=BE=EA……(5)

次に、三角形BEDは、

角EDB=180度-50度-65度=65度=角EBDとなるので、

三角形EBDもまた二等辺三角形とわかり、

(5)、(6)より、EA=EDとなり、

三角形EADも二等辺三角形とわかるので、

角EAD=(180度-50度-60度)÷2=35度、

以上から、角X=角EAB-角EAD-角BAC=

60度-35度-20度=5度。

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辺が動いてできる図形の面積は?(東京都市大学等々力中学 2014年)

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正方形ABCDについて、点Aを中心に正方形を1回転させたとき、

辺BCが動いてできる図形の面積は、正方形ABCDの面積の何倍でしょうか?

ただし,円周率は3.14とします。

Bandicam_20151011_102654309

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辺BCが回転してできる図形は図のように、

正方形の対角線を半径とする円から、正方形の一辺を半径とする円を引いたものです。

正方形の一辺を1とすると、

正方形の面積は、1×1=1

対角線×対角線=1×2=2 なので、

2×3.14-1×1×3.14

=(2-1)×3.14

=3.14 となり、

3.14倍です。

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対角線が通過する形は?(2015年 聖光学院中学)

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図1のように、1辺の長さが6cmの正方形ABCDと、

1辺の長さが3cmの正方形PQRSが、

点Sと点Aが重なり、辺AB上に点Rがあるように置かれています。

図1の状態から図2のように、点Qが点Bに重なるまで、

正方形PQRSが反時まわりにすべらないように回転するとき、

対角線QSが通過する部分を図示し、その部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20151011_085315049

Bandicam_20151011_085335380

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(←矢印でもどったとき、アニメーションが止まった場合は再読み込みしてください。)

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2015年10月 9日 (金)

相似と面積比(早稲田実業中 2010年)

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Bandicam_20151009_091634205 Bandicam_20151009_091650202

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池の周囲の長さは何mですか?(第12回算数オリンピック、トライアル問題より)

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池の周りを、同じ地点からAとBが同時に同方向に一定の速さで走りだします。出発の時のBの速さはAの2.5倍です。1回目にBがAに追いついた地点をPとします。追いついたBはその速さを20%滅らし、追いつかれたAは速さを25%増しました。それでもBのほうが速かったので、BはAにまた追いつきました。2回目に追いついた地点をQとします。PとQの道のりが100離れているとき、この池の周囲の長さは何mですか、考えられる長さをすべて求めなさい。
720

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

同じ時聞だと、速さの比=道のりの比 なので、

スタートから1回目の追いつきの間にAとBが進んだ道のりの比は、

1:2.5=2:5となり、差の3が池の周りの道のりになります。

1回目から2回目の追いつきの間にAとBが進んだ道のりの比は、

(2×1.25):(5×0.8)=2.5:4=5:8となり、

これも差の3が池の周りの道のりになるので、

1

池の周りの道のりを三等分してみると、

スタート地点,1回目の追いつき地点P

2回目の追いつき地点Qは図のようになり、

①池の周りの道のりの1/3が100mなら、池の周囲は300m

②池の周りの道のりの2/3が100mなら、池の周囲は150m  

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3つの円の面積の和は何通り?(日本女子大学附属中学 2013年)

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直径の和が20cmになる3つの円を、重ならないようにかきます。

ただし円の半径はすべて整数とし、円周率は3.14とします。

3つの円の面積の和は、全部で何通りありますか?

和が最も大きいときは何c㎡ですか?

和が最も小さいときは何c㎡ですか?

Bandicam_20151009_082641220

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---------------------------------------------------

半径が整数なので、3つの円の半径の和は、20÷2=10cm です。

10cmになる組み合わせは、

1、1、8

1、2、7

1、3、6

1、4、5

2、2、6

2、3、5

2、4、4

3、3、4

以上の8通り

和が最も大きい場合は、1、1、8 の組み合わせで、

(1×1+1×1+8×8)×3.14=207.24c㎡

和が最も小さい場合は、3、3、4 の組み合わせで、

(3×3+3×3+4×4)×3.14=106.76c㎡

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斜線部分の面積は?( 桐蔭学園中学 2014年)

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図は,直角二等辺三角形と中心角90°のおうぎ形を組み合わせたものです。

斜線部分の面積は何c㎡ですか。

ただし,円周率は3.14とします。

1009

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----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図のように、同じ図形を重ねると、

おうぎ形の半径は8cmの1/2で4cmであることがわかります。

10092

したがって、斜線部分の面積は、

8×8÷2÷2-4×4×3.14÷4=3.44c㎡

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2015年10月 8日 (木)

中学入試に出た図形問題!ABの長さは何cm?(灘中学 2009年)

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下図の直線ℓは斜線部分を面積の等しい3つの部分に分けています。

ABの長さは何cmですか。

1231zu1

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真ん中に入る数字は?(2007年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

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3つのだ円が重なって13の部分ができ、

1つのだ円は7つの部分に分かれています。

今、1~13の13個の数字を1つずつ入れて、

どの3つのだ円の7つの部分の数字の和も58になるようにするとき、

真ん中のアの部分に入る数字はいくつですか?

1

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問題Cができた人数は何人?(関西学院中学部 2010年)

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下の表は40人のクラスで小テストをした結果です。

問題は3問あり、Aが2点、Bが3点、Cが4点です。

平均点を5.5点とすると、問題Cができた人数は何人でしょうか?

P1008

2203

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----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

平均点が5.5点なので、

クラスの総得点は、5.5×40=220点 です。

わかっている得点合計は、

0×2+2×4+3×4+4×3+6×5+7×4=90点

5点と9点の人の合計は、220-90=130点です。

5点と9点の人数は、40-(2+4+4+3+5+4)=18人

そこで、図のようにつるかめ算で考えると、

P10082

18人全員が9点なら、合計は162点なので、

緑部分は162-130=32点 です。

緑部分のたては、9-5=4 なので、

横、つまり5点の人の人数は、32÷4=8人 ということになります。

9点の人は、18-8=10人

問題Cを正解した人は4点なので、

4点、6点、7点、9点を取った人数なので、

3+5+4+10=22人 です。

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この立体の体積は?(立教池袋中学 2013年)

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図Ⅰのような合同な正方形と合同な正三角形だけで囲まれてできた立体があります。

この立体は、図Ⅱのような1辺が12cmの立方体にぴったりと入ります。

また、この立体のすぺての頂点は、立方体のそれぞれの辺の真ん中の点になります。

この立体の体積は何立方cmですか。

10082

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図Ⅰの立体は、下図のように立方体の8つの角を切り取った立体です。

1008

角の部分は三角すいで、

体積は、6×6÷2×6×1/3=36立方cm なので、

図Ⅰの立体の体積は、

12×12×12-36×8=1440立方cm

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2015年10月 7日 (水)

並び方にどんな規則が?(2015年 大妻多摩中学)

大妻多摩中学のホームページには、2011年以降の入試問題と解答が掲載されています。その中から2015年に出題された、規則性を考えさせる、ちょっとユニークな問題をご紹介しましょう。

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次のように,500以下の整数のうち,3の倍数を除いたものが並んでいます。

1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,・・・・・・,500

このとき,次の問いに答えなさい。

(1) 小さい方から数えて55番目の数はいくつですか。

(2) 並んでいるすべての数の和はいくつですか。

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

(1)

1と2、4と5、7と8、・・・・・のように、

3の倍数で区切った、(奇数 偶数)の2つの数をブロックとして考えます。

2つの数の和を数列としてみると、

3、9、15、21、27、・・・・ のように6ずつ増えていきます。

1ブロックを3、2ブロックを9、3ブロックを15・・・とすると、

(Nブロック×6-3)でその和がわかります。

1番目→1、2番目→2、2番目÷2=1ブロック

3番目→4、4番目→5、4番目÷2=2ブロック

5番目→7、6番目→8、6番目÷2=3ブロック

となっているので、

55番目と56番目は、56番目÷2=28ブロック です。

したがって、その和は、28×6-3=165

55番目の数は、(165-1)÷2=82 になります。

(2)

500の前の3の倍数は、498なので、

最後のブロックは、499、500 です。

最初の1と最後の500の和は501、

2番目の2と最後の1つ前の499の和も501、

・・・・・・

となるので、501がいくつできるか考えます。

3の倍数は、500÷3=166あまり2 なので、166個

並んでいる数の個数は、500-166=334個

501は、334÷2=167個できるので、

すべての数の和は、501×167=83667 です。

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2015年10月 6日 (火)

30秒で解けますか?(慶應義塾中等部 2014年)

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下の図は、正方形と半円、中心角が90度の扇形を組み合わせたものです。

角Xの大きさは何度ですか。

10061

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----------------------------------------------------

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1

○+○+●+●=360-90=270゜

○+●=270÷2=135゜

△+△+▲+▲=180゜

△+▲=180÷2=90゜

∠CED=360-(135+90)=135゜

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2015年10月 5日 (月)

2015年の次に2月1日が日曜日こなるのは?(2015年 雙葉中学)

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今年、2015年の雙葉中学の試験日に出題された問題です。

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今日は、西暦2015年2月1日で日曜日です。

2000年は、うるう年でした。

また、2015年の次に2月1日が日曜日こなるのは西暦何年ですか?

Calendar547619_640

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普通の年は365日なので、

365÷7=52週と、あまり1日で、

次の年は曜日が1日後ろにずれていきます。

したがって、2016年の2月1日は月曜日、

2016年はうるう年なので、2月29日が1日多いため、

2017年は2つずれて、水曜日、

2018年は木曜日、

2019年は金曜日、

2020年は土曜日、

2021年は2つずれて、月曜日、

2022年は火曜日、

2023年は水曜日、

2024年は木曜日、

2025年は2つずれて、土曜日、

2026年がやっと日曜日になりました。

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3人の並び順は?(2015年 神奈川大学付属中学)

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1から50までの番号が1つずつ書かれた50個のボ-ルがあります。

Pさんが、1番のボールから50番のボールまで、番号順にレールの上を転がします。

Aさん、Bさん、Cさんの3人は、そのレールのそばに1列に並び、次のルールに従ってボールを取っていきます。

ルール

・Aさんは、2の倍数の番号のボールが目の前に転がってきたら必ず取る。
・Bさんは、3の倍数の番号のボールが目の前に転がってきたら必ず取る。
・Cさんは、5の倍数の番号のボールが目の前に転がってきたら必ず取る。
・3人がいずれも取らなかったボールは、箱の中に入る。
・3人のいずれかがボールを取るか、またはボールが箱の中に入ったら、Pさんは次の番号の書かれたボールを転がす。

10051

Bさんは24番のボールを、Cさんは45番のボールを取ることができるとき、Aさん、Bさん、Cさんの3人はPさんに近い方からどのような順で並んでいますか。また、このときAさんは全部で何個のボールを取ることができますか。

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----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

Bさんは24番を取れたので、AさんよりPさんの近くにいます。

Cさんが3の倍数でもある45番を取れたので、BさんよりPさんの近くにいます。

したがって、

C、B、Aの順に並んでいます。

Aさんは2の倍数のうち、3の倍数と5の倍数は取れないわけで、

図のアの部分だけ取れることになります。

10051

2の倍数は、50÷2=25個

イは2と3と5の最小公倍数、2×3×5=30の個数なので、

50÷30=1あまり20 より イ=1個

ウ+イは2と3の最小公倍数、2×3=6の個数なので、

50÷6=8あまり2 より ウ+イ=8個

したがって、ウ=8-1=7個

エ+イは2と5の最小公倍数、2×5=10の個数なので、

50÷10=5 より エ+イ=5個

したがって、エ=5-1=4個

ア=25-(1+7+4)=13個

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2015年10月 4日 (日)

たてと横の数字の和をみな等しく!(2011年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

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図の16マスのうち何マスかを黒く塗りつぶして、

どの行、どの列の数字の和もすべて等しくなるようにしてください。

ただし、全部黒く塗りつぶさないように!

1_2

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図のア行をみると、偶数ばかりなので、等しくなる和も偶数とわかります。

すると、①列にある1は黒、③列の1も黒になり、

エ行の3+3より共通の和は6とわかります。

2

同様に考えて、

④列目のふたつの2は黒、

②列、ウ行の3が黒、

③列、イ行の2が黒、

①列、ア行の4が黒く塗りつぶされます。

3

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長さと面積は?(渋谷教育学園渋谷中学 2011年)

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下の図1のような台形ABCD (ABとCDは平行)があります。

ABとEF が垂直となるようにAB上に点E,DC上に点F をとります。

また、点Pは毎秒1cmの速さでEF上を点E から点F に向かって動きます。

 Pic_2674q

下の図2は、

点Pが点E を出発してからの三角形APDの面積の変化の様子を表したグラフです。

       Pic_2675q

下の図3は、点Pが点E を出発してからの三角形APD、三角形BPC の

それぞれの面積の和の変化の様子を表したグラフです。

       Pic_2676q

EF の長さを8cmとして、次の問に答えなさい。

(1)AE,DF の長さをそれぞれ求めなさい。

(2)EB,FC の長さをそれぞれ求めなさい。

(3)点Pが点E を出発してから、2秒後のときの点をG,

   4秒後のときの点をH とします。

   AHとDG とが交わった点を I とするとき、三角形 IGH の面積を求めなさい。

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(1)図2のグラフより、2秒ごとに三角形APDの面積が3c㎡ずつ増えているので、

0秒のとき(点Pが点E にいるとき)は 三角形AED =12c㎡

8秒のとき(点Pが点F にいるとき)は、三角形AFD =24c㎡

とわかります。

EF =8cm なので、

AE×8÷2=12 → AE=3cm

DF×8÷2=24 → DF=6cm とわかります。

 

(2)図2と図3のグラフより、三角形BPCの時間ごとの面積は、

2秒後・・・24-15=9c㎡

4秒後・・・28-18=10c㎡

6秒後・・・32-21=11c㎡

とわかり、2秒ごとに1c㎡ずつ増えるので、

0秒のとき、三角形BECの面積=8c㎡

8秒のとき、三角形BFCの面積=12c㎡

とわかります。

 

EF=8cmなので、

BE×8÷2=8 → BE=2cm

CF×8÷2=12 → CF=3cm とわかります。

 

(3)三角形 IGHの面積の求め方ですが、

いろいろ解き方はあると思いますので、ここでは一例として、

次のような解き方でやってみます。

三角形 IGH は、三角形AGH の面積を A I : I H の比に分ければ求められます。

三角形AGHの面積は、GH=2cm、

高さAE = 3cm なので、2×3÷2=3c㎡ です。

次に、A I : I H を求めます。

点H がEF のまん中の点で、AE=CF=3cmなので、

AH を延ばすと点C と交わります。

また、点Gは、EFを1:3に分ける点で、BE=2cm、DF=6cmなので、

DGを延ばすと点B と交わり、

下の図4のように、三角形 IAB と三角形 ICD を作ることができます。

Pic_2677a

三角形 IAB と三角形 ICD は、ABとCDが平行なので、相似で、

AI : IC = AB : CD = 5 : 9 です。

また、AH : HC = AE : CF = 1 : 1 です。

よって、線ACに関して比をそろえると、

AH : HC = 7 : 7とすればよく、

AI : IH : HC = 5 : 2 : 7 となります。

よって、三角形 IGH の面積は、三角形AGHの7分の2で、

3×2/7=6/7(c㎡) です。

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2015年10月 2日 (金)

もとの整数はいくつ?(芝浦工業大学柏中学 2011年)

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3けたの整数があります。各位の数を加えると16で、

十の位の数の3倍は他の位の2つの数の和に等しくなっています。

数字を逆に並べた3 けたの整数が、もとの整数よりも594大きいとき、

もとの整数はいくつですか?

Apf

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

もとの数をABCとすると、

A+B+C=16

B×3=A+C より、

A+C は3の倍数なので、3、6、9、12、15、18 のいずれかです。

A+C+(A+C)/3=16

3×A+3×C+A+C=48

4×A+4×C=48

A+C=12 と決まるので、

B=12÷3=4 となります。

12になるAとCの組み合わせは、3と9、4と8、5と7、6と6 ですが、

3と9の組み合わせだけが、943-349=594になるので、

もとの数は、349です。

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支払う方法は何通り?(中央大学附属横浜中学 2014年)

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100円、50円、10円の硬貨がたくさんあります。

これら3種類の硬貨を少なくとも1枚ずつ使って、

420円をおつりがでないように支払う方法は何通りありますか。

Bandicam_20151002_081951865

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

100円を4枚使うと、50円は使えなくなります。

100円を3個使う場合、残りは120円なので、

50円を2個使う場合と1個使う場合の2通りがあります。

100円を2個使う場合、残りは220円なので、

50円を4~1個使う場の4通りがあります。

100円を1個使う場合、残りは320円なので、

50円を6~1個使う場合の6通りがあります。

以上、合計2+4+6=12通り

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2015年10月 1日 (木)

5けたの256の倍数はあるかな?(2009年算数オリンピック、ファイナル問題から)

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各けたの数字が2、0、9のいずれかで、2、0、9のどれもが、いずれかのけたに現れる整数(たとえば920、2009など)のうち、5けたの256の倍数はあるでしょうか?あるとすれば、それはいくつですか?
Ilm18_ab05016s

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

下の位から考えていきます。

256=2×2×2×2×2×2×2×2 より、

まず、2の倍数なので、1の位は0か2です。

次に、4の倍数なので、下2けたは00か20か92のいずれかです。

さらに、8の倍数なので、下3けたは000か200か920か992のいずれかとなります。

最後に、16の倍数ですから、下4けたは0000、.2000、9200、9920、0992、2992の

どれかのはずです。

求める整数は、5けたで2、0.、9のどれもがどこかのけたになければならないので、

下4けたが0000と2992の場合は2、0、9すべての数が現れず不適当、

また、32の倍数でもあるので、5けたで考えると、

92000、99200、29920、20992、のどれかとなり、

この3つの整数をそれぞれ調べると、

20992だけが256の倍数であるとわかります。

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全部で何通りの三角形ができる?(鶴見大学附属中学 2014年)

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3cm、5cm、7cm、11cm、13cmの5本の棒があります。

この中から3本使って三角形を作ると、

全部で何通りの三角形ができますか?

Cocolog_oekaki_2015_10_01_07_56

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

短い方から2本の長さの和が、一番長い1本より短いと三角形はできません。

できる場合は、

3cm、5cm、7cm

3cm、11cm、13cm

5cm、7cm、11cm

5cm、11cm、13cm

7cm、11cm、13cm

の5通りです。

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△ABDと△ADCの面積の比は?(2015年 専修大学松戸中学)

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下の図で、三角形ABCはABとACの長さが等しい二等辺三角形で、

角Bの大きさは30度です。

また、三角形DABはDAとDBの長さが等しい二等辺三角形です。

このとき、三角形ABDと三角形ADCの面積の比は何対何ですか。

1011

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

△ABDと△ADCは高さが等しいので、

底辺のDB:DCの長さ比が、そのまま面積比になります。

AからBCに垂線を下ろし、BCとの交点をPとします。

1012

∠BAP=∠CAP=(180-30×2)÷2=60°

∠DAP=60-30=30°

したがって、∠DAC=30+60=90°

△ADCは90°60°30°の直角三角形になります。

DAはDCの1/2になり、DA=DBなので、

DB:DC=1:2

面積比も、1:2 となります。

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