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2015年10月 4日 (日)

長さと面積は?(渋谷教育学園渋谷中学 2011年)

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下の図1のような台形ABCD (ABとCDは平行)があります。

ABとEF が垂直となるようにAB上に点E,DC上に点F をとります。

また、点Pは毎秒1cmの速さでEF上を点E から点F に向かって動きます。

 Pic_2674q

下の図2は、

点Pが点E を出発してからの三角形APDの面積の変化の様子を表したグラフです。

       Pic_2675q

下の図3は、点Pが点E を出発してからの三角形APD、三角形BPC の

それぞれの面積の和の変化の様子を表したグラフです。

       Pic_2676q

EF の長さを8cmとして、次の問に答えなさい。

(1)AE,DF の長さをそれぞれ求めなさい。

(2)EB,FC の長さをそれぞれ求めなさい。

(3)点Pが点E を出発してから、2秒後のときの点をG,

   4秒後のときの点をH とします。

   AHとDG とが交わった点を I とするとき、三角形 IGH の面積を求めなさい。

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(1)図2のグラフより、2秒ごとに三角形APDの面積が3c㎡ずつ増えているので、

0秒のとき(点Pが点E にいるとき)は 三角形AED =12c㎡

8秒のとき(点Pが点F にいるとき)は、三角形AFD =24c㎡

とわかります。

EF =8cm なので、

AE×8÷2=12 → AE=3cm

DF×8÷2=24 → DF=6cm とわかります。

 

(2)図2と図3のグラフより、三角形BPCの時間ごとの面積は、

2秒後・・・24-15=9c㎡

4秒後・・・28-18=10c㎡

6秒後・・・32-21=11c㎡

とわかり、2秒ごとに1c㎡ずつ増えるので、

0秒のとき、三角形BECの面積=8c㎡

8秒のとき、三角形BFCの面積=12c㎡

とわかります。

 

EF=8cmなので、

BE×8÷2=8 → BE=2cm

CF×8÷2=12 → CF=3cm とわかります。

 

(3)三角形 IGHの面積の求め方ですが、

いろいろ解き方はあると思いますので、ここでは一例として、

次のような解き方でやってみます。

三角形 IGH は、三角形AGH の面積を A I : I H の比に分ければ求められます。

三角形AGHの面積は、GH=2cm、

高さAE = 3cm なので、2×3÷2=3c㎡ です。

次に、A I : I H を求めます。

点H がEF のまん中の点で、AE=CF=3cmなので、

AH を延ばすと点C と交わります。

また、点Gは、EFを1:3に分ける点で、BE=2cm、DF=6cmなので、

DGを延ばすと点B と交わり、

下の図4のように、三角形 IAB と三角形 ICD を作ることができます。

Pic_2677a

三角形 IAB と三角形 ICD は、ABとCDが平行なので、相似で、

AI : IC = AB : CD = 5 : 9 です。

また、AH : HC = AE : CF = 1 : 1 です。

よって、線ACに関して比をそろえると、

AH : HC = 7 : 7とすればよく、

AI : IH : HC = 5 : 2 : 7 となります。

よって、三角形 IGH の面積は、三角形AGHの7分の2で、

3×2/7=6/7(c㎡) です。

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