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2015年9月21日 (月)

3重に重なった部分の面積は?(第9回算数オリンピック、ファイナル問題より)

1辺が10cmの正三角形の紙があります。この正三角形の3つの角をそれぞれ向かい合う辺に平行に、それぞれの1辺が整数(単位はcm)の正三角形になるように折り曲げたところ、面積がもとの正三角形の半分で、すべての角が120度の六角形になりました。このとき、紙が3重になっている部分の面積の和はもとの正三角形の面積の何倍ですか。

0

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一辺が10cmの正三角形は、

一辺が1cmの正三角形を10×10=100個並べて作ることができます。

面積が半分の六角形は、

一辺が1cmの正三角形50個で作られていることになります。

1_2

図のように、一辺が10cmの正三角形の3隅を

それぞれ一辺が3cm、4cm、5cmの正三角形になるように折ると、

この六角形は、一辺が1cmの正三角形が、

100-(3×3+4×4+5×5)=50個からできています。

よって、紙が三重になっているところは黄色部分で、

一辺が4cmと5cmの正三角形を折り返して重なった部分が3×3=9個、

一辺が5cm、3cmの正三角形を折り返して重なった部分が1×1=1個で、

合計が10個なので、

三重になっているところはもとの正三角形の10÷100=0.1倍      

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