真ん中に入る数字は？（２００７年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より）

３つのだ円が重なって１３の部分ができ、

１つのだ円は７つの部分に分かれています。

今、１～１３の１３個の数字を１つずつ入れて、

どの３つのだ円の７つの部分の数字の和も５８になるようにするとき、

真ん中のアの部分に入る数字はいくつですか？

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１つのだ円の和はどれも58なので、３つ分の和は58×3＝174です。

この中には当然同じ数字を複数回たし合わせている分が含まれます。

整理すると、

（１）３つのだ円が重なる部分はアの１ヵ所のみ。

（２）２つのだ円が重なる部分は黄色の６ヵ所。

（３）1つのだ円にだけふくまれる緑部分は６ヵ所。

なので、（１）の数字を３回、（２）の数字を２回、（３）の数字を１回

たし合わせていることになります。

１～１３の和は、（1＋13）×13÷２＝９１

これに（１）の数字をあと２回、（２）の６個の数字をあと各１回加えて１７４になるので、

ア×２＋黄６個は１７４－９１＝８３

大きい順に７個の数字７～１３の和（７＋１３）×７÷２＝７０よりも大きく、

その差は８３－７０＝１３より、８個目のアは１３となり、

（２）の黄色部分６個は７、８、９、１０、１１、１２でなければならなくなります。

黄色の向かい合う数字の和が１９、

緑の向かい合う数字の和が７と、条件を満たすように数字を入れていくと、

図のようになります。

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