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2015年9月27日 (日)

おうぎ形の角度と半径と面積は?(フェリス女学院中学 2010年)

図のように、おうぎ形OADの周上に点B、Cがあります。

おうぎ形OBCの面積は、おうぎ形OABの面積の3倍です。

おうぎ形OACの周りの長さと、おうぎ形OBDの周りの長さは等しいです。

おうぎ形OBCの周りの長さと、おうぎ形OABの周りの長さの差は3.14cmです。

(1)角アは何度ですか。

(2)おうぎ形OADの半径は何cmですか。

(3)色部分の面積は何c㎡ですか。

9271

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(1)おうぎ形OBCの面積は、おうぎ形OABの面積の3倍なので、

半径が等しいことから、中心角は3倍ということになり、

弧BC:弧AB=3:1 です。

また、おうぎ形OACの周りの長さ=おうぎ形OBDの周りの長さ、より、

弧BCは共通なので、弧AB=弧CD、∠AOB=∠COD になります。

したがって、∠BOC=90°×3/5=54°

△BOCは二等辺三角形なので、

∠ア=(180-54)÷2=63°

(2)弧BC-弧AB=3.14cmなので、

弧AD=3.14÷2/5=7.85cm

円周は7.85×4 なので、

半径は、7.85×4÷3.14÷2=5cm

(3)弧AB=弧CD より、

図のように、△ABOと△ECOと△FOCはみな合同な直角三角形になります。

9272

したがって、黄色部分と、水色部分は面積が等しくなるので、

求める面積は、おうぎ形OBCと等しくなります。

したがって、

5×5×3.14×54/360=11.775c㎡

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