おうぎ形の角度と半径と面積は？（フェリス女学院中学 ２０１０年）

図のように、おうぎ形ＯＡＤの周上に点Ｂ、Ｃがあります。

おうぎ形ＯＢＣの面積は、おうぎ形ＯＡＢの面積の３倍です。

おうぎ形ＯＡＣの周りの長さと、おうぎ形ＯＢＤの周りの長さは等しいです。

おうぎ形ＯＢＣの周りの長さと、おうぎ形ＯＡＢの周りの長さの差は３．１４ｃｍです。

（１）角アは何度ですか。

（２）おうぎ形ＯＡＤの半径は何ｃｍですか。

（３）色部分の面積は何ｃ㎡ですか。

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（１）おうぎ形ＯＢＣの面積は、おうぎ形ＯＡＢの面積の３倍なので、

半径が等しいことから、中心角は３倍ということになり、

弧ＢＣ：弧ＡＢ＝３：１　です。

また、おうぎ形ＯＡＣの周りの長さ＝おうぎ形ＯＢＤの周りの長さ、より、

弧ＢＣは共通なので、弧ＡＢ＝弧ＣＤ、∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ　になります。

したがって、∠ＢＯＣ＝９０°×３/５＝５４°

△ＢＯＣは二等辺三角形なので、

∠ア＝（１８０－５４）÷２＝６３°

（２）弧ＢＣ－弧ＡＢ＝３．１４ｃｍなので、

弧ＡＤ＝３．１４÷２/５＝７．８５ｃｍ

円周は７．８５×４　なので、

半径は、７．８５×４÷３．１４÷２＝５ｃｍ

（３）弧ＡＢ＝弧ＣＤ　より、

図のように、△ＡＢＯと△ＥＣＯと△ＦＯＣはみな合同な直角三角形になります。

したがって、黄色部分と、水色部分は面積が等しくなるので、

求める面積は、おうぎ形ＯＢＣと等しくなります。

したがって、

５×５×３．１４×５４/３６０＝１１．７７５ｃ㎡

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