スイッチを押す場合の数は?(東大寺学園中学 2014年)
下の図のように点Oを中心とする円と、
その円周を12等分した点A から点L までがあります。
点P と直線Q は、赤と青の2種類のスイッチと連動して動くものとします。
・最初、点Pは点Aにあり、直線Qは直線BHと重なっています。
・赤のスイッチを押すと、直線Qを対称の軸として、点Pは対応する点に動きます。
・青のスイッチを押すと、直線Qが点Oを中心に時計回りに
30°回転した後、直線Qを対称の軸として、点Pは対応する点に動きます。
たとえば、赤・青・青 とスイッチを押すと、点Pは A→C→C→Eと動きます。
このとき、次の問に答えなさい。
(1)2回スイッチを押した後、点Pはどの点にありますか。
ありえるすべての点を答えなさい。
(2)1回目に赤のスイッチを押し、合計5回スイッチを押した後、
点Pが点Gにあるようなスイッチの押し方をすべて、
「赤青青赤赤」のように答えなさい。
(3)13回スイッチを押した後、点Pが点E にあるようなスイッチの押し方は
全部で何通りありますか。
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(1)スイッチの押し方は、赤赤、赤青、青赤、青青 の4通りで、
下の図1のように
赤赤の場合 : A→C→A となり、Aに戻ります。
赤青の場合 : A→C→C となり、Cに移動します。
青赤の場合 : A→E→A となり、Aに戻ります。
青青の場合 : A→E→C となり、Cに移動します。
よって、2回スイッチを押した後、点Pがありえる点は、
A と C
です。
(2)1回目が赤のスイッチなので、点PはCの位置に移動し、
2回目、3回目は(1)と同様な4通りがあり、下の図2のように
なります。
図2で、赤赤の場合と、青赤の場合、5回目(あと2回)で
点Pが点G に行くことはできません。
簡単に考えることができる青青の場合を先にすると、
図2の移動前の点P,直線Qが、そのまま60度回転
したのが青青の場合なので、点E から点G へ点Pが移動
するのは、図2より、赤青、青青(点Cから点E に2つ移動)
の2通りがあることがわかります。
次に、赤青の場合、下の図3のように
2通りがあります。
よって、5回スイッチを押したとき、点Pが点Gにいるのは
赤赤青赤青 赤赤青青青 赤青青青青 赤青青赤青
の4通りです。
(3)(2)までで、スイッチを2回押すと、点Pは
同じ場所にとどまるか、時計周りに2個進む ということが
わかります。さらに細かく調べると、赤赤、青赤の場合は
同じ場所にとどまり、赤青、青青の場合は2個進みます。
13回スイッチを押す場合、
1回目に赤のスイッチを押した場合
と
1回目に青のスイッチを押した場合
に分けて考えます。
1回目に赤のスイッチを押した場合、図2のように点C が
スタート地点となります。点Pがスイッチ2回で0または2進むので、
点Pは最大(すべて2進んだ場合)で12進み、点Cへ戻ります。
よって、点C から点E に進むには、
2進むを1度、0(動かない)を5度
というスイッチの押し方があり、2進む→2 0(動かない)→0
で表すと、
「200000」「020000」「002000」~「000002」
の6通りの進み方があり、それぞれスイッチの押し方が2通り
(2の場合は赤青、青青、0の場合は赤赤、青赤)があり、
2×2×2×2×2×2×6=384通り
のスイッチの押し方があります。
次に、1回目に青のスイッチを押した場合、図3のように点E が
スタート地点となります。赤のスイッチを押した場合と同様に、
点Pは最大で12進み、12進むと点E に戻ってきます。
よって、点E から点E に戻るには、
ずっと 0 進む(動かない)か、ずっと2進む
ことになり、
「000000」「222222」
の2通りで、スイッチの押し方が2通りあるので、
(2×2×2×2×2×2)×2=128通り
のスイッチの押し方があります。
ゆえに、13回スイッチを押した後、点Pが点E にあるような
スイッチの押し方は、
384+128=512通り
あります。
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