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2015年9月 2日 (水)

スイッチを押す場合の数は?(東大寺学園中学 2014年)

下の図のように点Oを中心とする円と、

その円周を12等分した点A から点L までがあります。

点P と直線Q は、赤と青の2種類のスイッチと連動して動くものとします。

・最初、点Pは点Aにあり、直線Qは直線BHと重なっています。

・赤のスイッチを押すと、直線Qを対称の軸として、点Pは対応する点に動きます。

・青のスイッチを押すと、直線Qが点Oを中心に時計回りに

  30°回転した後、直線Qを対称の軸として、点Pは対応する点に動きます。

 Pic_3771q

たとえば、赤・青・青 とスイッチを押すと、点Pは A→C→C→Eと動きます。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)2回スイッチを押した後、点Pはどの点にありますか。

   ありえるすべての点を答えなさい。

(2)1回目に赤のスイッチを押し、合計5回スイッチを押した後、

   点Pが点Gにあるようなスイッチの押し方をすべて、

   「赤青青赤赤」のように答えなさい。

(3)13回スイッチを押した後、点Pが点E にあるようなスイッチの押し方は

   全部で何通りありますか。

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 (1)スイッチの押し方は、赤赤、赤青、青赤、青青 の4通りで、

下の図1のように

Pic_3772a

赤赤の場合 : A→C→A となり、Aに戻ります。

赤青の場合 : A→C→C となり、Cに移動します。

青赤の場合 : A→E→A となり、Aに戻ります。

青青の場合 : A→E→C となり、Cに移動します。

よって、2回スイッチを押した後、点Pがありえる点は、

 A と C

です。

 

 (2)1回目が赤のスイッチなので、点PはCの位置に移動し、

2回目、3回目は(1)と同様な4通りがあり、下の図2のように

なります。

Pic_3773a_2

図2で、赤赤の場合と、青赤の場合、5回目(あと2回)で

点Pが点G に行くことはできません。

 

簡単に考えることができる青青の場合を先にすると、

図2の移動前の点P,直線Qが、そのまま60度回転

したのが青青の場合なので、点E から点G へ点Pが移動

するのは、図2より、赤青、青青(点Cから点E に2つ移動)

の2通りがあることがわかります。

 

次に、赤青の場合、下の図3のように

Pic_3774a

2通りがあります。

 

よって、5回スイッチを押したとき、点Pが点Gにいるのは

  赤赤青赤青 赤赤青青青 赤青青青青 赤青青赤青 

の4通りです。

 

 (3)(2)までで、スイッチを2回押すと、点Pは

同じ場所にとどまるか、時計周りに2個進む ということが

わかります。さらに細かく調べると、赤赤、青赤の場合は

同じ場所にとどまり、赤青、青青の場合は2個進みます

 

13回スイッチを押す場合、

 1回目に赤のスイッチを押した場合

 1回目に青のスイッチを押した場合

に分けて考えます。

 

1回目に赤のスイッチを押した場合、図2のように点C が

スタート地点となります。点Pがスイッチ2回で0または2進むので、

点Pは最大(すべて2進んだ場合)で12進み、点Cへ戻ります。

よって、点C から点E に進むには、

  2進むを1度、0(動かない)を5度

というスイッチの押し方があり、2進む→2 0(動かない)→0

で表すと、

 「200000」「020000」「002000」~「000002」

の6通りの進み方があり、それぞれスイッチの押し方が2通り

(2の場合は赤青、青青、0の場合は赤赤、青赤)があり、

  2×2×2×2×2×2×6=384通り

のスイッチの押し方があります。

 

次に、1回目に青のスイッチを押した場合、図3のように点E が

スタート地点となります。赤のスイッチを押した場合と同様に、

点Pは最大で12進み、12進むと点E に戻ってきます。

よって、点E から点E に戻るには、

 ずっと 0 進む(動かない)か、ずっと2進む

ことになり、

 「000000」「222222」

の2通りで、スイッチの押し方が2通りあるので、

 (2×2×2×2×2×2)×2=128通り

のスイッチの押し方があります。

 

ゆえに、13回スイッチを押した後、点Pが点E にあるような

スイッチの押し方は、

 384+128=512通り

あります。

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