スイッチを押す場合の数は？（東大寺学園中学 ２０１４年）

下の図のように点Ｏを中心とする円と、

その円周を１２等分した点Ａ から点Ｌ までがあります。

点Ｐ と直線Ｑ は、赤と青の２種類のスイッチと連動して動くものとします。

・最初、点Ｐは点Ａにあり、直線Ｑは直線ＢＨと重なっています。

・赤のスイッチを押すと、直線Ｑを対称の軸として、点Ｐは対応する点に動きます。

・青のスイッチを押すと、直線Ｑが点Ｏを中心に時計回りに

　 ３０°回転した後、直線Ｑを対称の軸として、点Ｐは対応する点に動きます。

　

たとえば、赤・青・青 とスイッチを押すと、点Ｐは Ａ→Ｃ→Ｃ→Ｅと動きます。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）２回スイッチを押した後、点Ｐはどの点にありますか。

　　 ありえるすべての点を答えなさい。

（２）１回目に赤のスイッチを押し、合計５回スイッチを押した後、

　　 点Ｐが点Ｇにあるようなスイッチの押し方をすべて、

　　　「赤青青赤赤」のように答えなさい。

（３）１３回スイッチを押した後、点Ｐが点Ｅ にあるようなスイッチの押し方は

　　　全部で何通りありますか。

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　（１）スイッチの押し方は、赤赤、赤青、青赤、青青 の４通りで、

下の図１のように

赤赤の場合　：　Ａ→Ｃ→Ａ　となり、Ａに戻ります。

赤青の場合　：　Ａ→Ｃ→Ｃ　となり、Ｃに移動します。

青赤の場合　：　Ａ→Ｅ→Ａ　となり、Ａに戻ります。

青青の場合　：　Ａ→Ｅ→Ｃ　となり、Ｃに移動します。

よって、２回スイッチを押した後、点Ｐがありえる点は、

　Ａ と Ｃ

です。

　（２）１回目が赤のスイッチなので、点ＰはＣの位置に移動し、

２回目、３回目は（１）と同様な４通りがあり、下の図２のように

なります。

図２で、赤赤の場合と、青赤の場合、５回目（あと２回）で

点Ｐが点Ｇ に行くことはできません。

簡単に考えることができる青青の場合を先にすると、

図２の移動前の点Ｐ，直線Ｑが、そのまま６０度回転

したのが青青の場合なので、点Ｅ から点Ｇ へ点Ｐが移動

するのは、図２より、赤青、青青（点Ｃから点Ｅ に２つ移動）

の２通りがあることがわかります。

次に、赤青の場合、下の図３のように

２通りがあります。

よって、５回スイッチを押したとき、点Ｐが点Ｇにいるのは

　 赤赤青赤青　赤赤青青青　赤青青青青　赤青青赤青　

の４通りです。

　（３）（２）までで、スイッチを２回押すと、点Ｐは

同じ場所にとどまるか、時計周りに２個進む ということが

わかります。さらに細かく調べると、赤赤、青赤の場合は

同じ場所にとどまり、赤青、青青の場合は２個進みます。

１３回スイッチを押す場合、

　１回目に赤のスイッチを押した場合

と

　１回目に青のスイッチを押した場合

に分けて考えます。

１回目に赤のスイッチを押した場合、図２のように点Ｃ が

スタート地点となります。点Ｐがスイッチ２回で０または２進むので、

点Ｐは最大（すべて２進んだ場合）で１２進み、点Ｃへ戻ります。

よって、点Ｃ から点Ｅ に進むには、

　 ２進むを１度、０（動かない）を５度

というスイッチの押し方があり、２進む→２　０（動かない）→０

で表すと、

　「２０００００」「０２００００」「００２０００」～「０００００２」

の６通りの進み方があり、それぞれスイッチの押し方が２通り

（２の場合は赤青、青青、０の場合は赤赤、青赤）があり、

　 ２×２×２×２×２×２×６＝３８４通り

のスイッチの押し方があります。

次に、１回目に青のスイッチを押した場合、図３のように点Ｅ が

スタート地点となります。赤のスイッチを押した場合と同様に、

点Ｐは最大で１２進み、１２進むと点Ｅ に戻ってきます。

よって、点Ｅ から点Ｅ に戻るには、

　ずっと ０ 進む（動かない）か、ずっと２進む

ことになり、

　「００００００」「２２２２２２」

の２通りで、スイッチの押し方が２通りあるので、

　（２×２×２×２×２×２）×２＝１２８通り

のスイッチの押し方があります。

ゆえに、１３回スイッチを押した後、点Ｐが点Ｅ にあるような

スイッチの押し方は、

　３８４＋１２８＝５１２通り

あります。

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