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2015年9月18日 (金)

正三角形の面積比は?(2008年算数オリンピック、ファイナル問題より)

正三角形ABCがあります。辺AB、BC、CAの真ん中の点をそれぞれL.、M、Nとし、AL、BM、CNの上に点P、Q、RをそれぞれLP=MQ=NRとなるようにとり、PMとRL、PMとQN、QNとRLが交わる点をそれぞれX、Y、Zとしたところ、XY=XLとなりました。このとき三角]形XYZの面積は三角形ABCの面積の何倍ですか。

1_2

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図のように、三角形ABCは正三角形なので、

図形の対称性より、三角形LMN、三角形XYZもまた正三角形になります。

また、XY=XLより、XL=YM=ZN=XY=YZ=ZXとなります。

2

三角形XYZの面積を1とすると

XL=ZX、XY:XM=1:2より、三角形LMXの面積は2となり、

合同な、三角形MNY 、 三角形NLZの面積も2となります。

したがって、正三角形LMNの面積は、1+2×3=7、

正三角形ABCの面積は、7×4=28

以上より、三角形XYZの面積は、
三角形ABCの面積の1/28倍となります。

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