正三角形の面積比は？（２００８年算数オリンピック、ファイナル問題より）

正三角形ＡＢＣがあります。辺ＡB、BC、ＣＡの真ん中の点をそれぞれL.、Ｍ、Nとし、AL、BＭ、CNの上に点Ｐ、Ｑ、ＲをそれぞれLP＝ＭQ＝NRとなるようにとり、PＭとＲＬ、ＰＭとＱＮ、ＱＮとＲＬが交わる点をそれぞれＸ、Ｙ、Ｚとしたところ、ＸＹ＝ＸＬとなりました｡このとき三角]形ＸＹＺの面積は三角形ABCの面積の何倍ですか。

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図のように、三角形ABCは正三角形なので、

図形の対称性より、三角形ＬＭＮ、三角形ＸＹＺもまた正三角形になります。

また､ＸＹ＝ＸＬより、ＸＬ＝ＹＭ＝ＺＮ＝ＸＹ＝ＹＺ＝ＺＸとなります。

三角形ＸＹＺの面積を１とすると

XL＝ZX、ＸＹ：ＸＭ＝１：２より、三角形ＬＭＸの面積は２となり、

合同な、三角形ＭNY 、 三角形NLZの面積も２となります。

したがって、正三角形ＬＭＮの面積は、１＋２×３＝７、

正三角形ABCの面積は、７×４＝２８

以上より、三角形ＸＹＺの面積は、三角形ABCの面積の１/２８倍となります。

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