正三角形の作図と面積（麻布中学 ２００７年）

図の線は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。

図１の正三角形の面積を１ｃ㎡とするとき、次の問に答えなさい。

（１）図２の正三角形の面積を求めなさい。

（２）線の交点を頂点とするような、

　　面積が１３ｃ㎡の正三角形を１つ図４の上に描きなさい。

（３）図３のような、

　　面積がそれぞれ３ｃ㎡、７ｃ㎡、１３ｃ㎡の正三角形で囲まれた三角形ＡＢＣを、

　　図４の上に描きなさい。

　　ただし、頂点Ａ，Ｂ，Ｃは線の交点になるようにします。

　　頂点Ａ，Ｂ，Ｃの記号も書きなさい。

（４）三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。

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（１）図２の正三角形の１辺は、

図５のように、４つの１ｃ㎡の正三角形からなる平行四辺形の対角線になっています。

　　　　　

よって、この正三角形は、中央の１ｃ㎡の正三角形と、

４÷２＝２ｃ㎡の三角形が３個集まったものなので、

その面積は、

１＋２×３＝７ｃ㎡　

となります。

（２）図６のような正三角形は、面積が１３ｃ㎡となります。

　　　　　

６個の正三角形から成る平行四辺形の対角線を１辺とする正三角形は、

中央に４つの正三角形と、６÷２＝３ｃ㎡の三角形３個でできているので、

面積は

４＋３×３＝１３ｃ㎡

です。

（３）１３ｃ㎡の正三角形は（２）で描いたので、そこに図を加えていきます。

まず、（１）で７ｃ㎡のものがわかっているので、それを描くと、図７のようになります。

さらに３ｃ㎡の正三角形を加えると描き上げることができます。

（４）三角形ＡＢＣは、図８のように分けて面積を求めることができ、

　　　　　　

緑の部分は同じ面積になるので、

辺ＡＣは正三角形６個から成る平行四辺形の対角線になり、

辺ＡＢは正三角形２個から成る平行四辺形の対角線となり、

中央に１つの正三角形が残ります。

よって、三角形ＡＢＣの面積は、

６÷２＋２÷２＋１＝５ｃ㎡　

となります。

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