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2015年9月16日 (水)

正三角形の作図と面積(麻布中学 2007年)

図の線は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。

図1の正三角形の面積を1c㎡とするとき、次の問に答えなさい。

Pic_0584_3

(1)図2の正三角形の面積を求めなさい。

(2)線の交点を頂点とするような、

  面積が13c㎡の正三角形を1つ図4の上に描きなさい。

(3)図3のような、

  面積がそれぞれ3c㎡、7c㎡、13c㎡の正三角形で囲まれた三角形ABCを、

  図4の上に描きなさい。

  ただし、頂点A,B,Cは線の交点になるようにします。

  頂点A,B,Cの記号も書きなさい。

(4)三角形ABCの面積を求めなさい。

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(1)図2の正三角形の1辺は、

図5のように、4つの1c㎡の正三角形からなる平行四辺形の対角線になっています。

     Pic_0585

よって、この正三角形は、中央の1c㎡の正三角形と、

4÷2=2c㎡の三角形が3個集まったものなので、

その面積は、

1+2×3=7c㎡ 

となります。

(2)図6のような正三角形は、面積が13c㎡となります。

     Pic_0586

6個の正三角形から成る平行四辺形の対角線を1辺とする正三角形は、

中央に4つの正三角形と、6÷2=3c㎡の三角形3個でできているので、

面積は

4+3×3=13c㎡

です。

(3)13c㎡の正三角形は(2)で描いたので、そこに図を加えていきます。

まず、(1)で7c㎡のものがわかっているので、それを描くと、図7のようになります。

Pic_0587_2

さらに3c㎡の正三角形を加えると描き上げることができます。

(4)三角形ABCは、図8のように分けて面積を求めることができ、

     Pic_0588 

緑の部分は同じ面積になるので、

辺ACは正三角形6個から成る平行四辺形の対角線になり、

辺ABは正三角形2個から成る平行四辺形の対角線となり、

中央に1つの正三角形が残ります。

よって、三角形ABCの面積は、

6÷2+2÷2+1=5c㎡ 

となります。

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