中学受験ー算数解き方ポータル

2015年9月25日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 速さ | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

アとイが重なる部分の面積は？（青山学院中等部　２０１４年）

下の図は、直線ＰＱを対称の軸とした線対称な図形の半分で、

残りの半分をアとします。

また、この図は、点Ｏを対称の中心とした点対称な図形の半分でもあり、

残りの半分をイとします。

アとイが重なる面積は何ｃ㎡ですか。ただし、１目もりを１ｃｍとします。

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青がアの線対称、図形

赤がイの点対称図形です。

P9252

したがって、重なる部分の面積は、１８ｃ㎡です。

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色部分の面積は？（渋谷教育学園渋谷中学　２０１３年）

下の図は、正方形と円を組み合わせた図形です。

色部分の面積は何ｃ㎡ですか。

円周率は３．１４とします。

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図のように、正方形に内接する円に内接する正方形の面積は、

外側の正方形の面積の１/２になります。

9252

２番目の正方形の面積は、６×６÷２＝１８ｃ㎡

３番目の正方形の面積は、１８÷２＝９ｃ㎡

２番目の円の半径を□とすると、

２×□×２×□＝９×２　なので、

□×□＝４．５

外側の色部分の面積＝３×３×３．１４－１８

内側の色部分の面積＝４．５×３．１４－９

合計＝（９＋４．５）×３．１４－２７＝１５．３９ｃ㎡

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真ん中に入る数字は？（２００７年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より）

３つのだ円が重なって１３の部分ができ、

１つのだ円は７つの部分に分かれています。

今、１～１３の１３個の数字を１つずつ入れて、

どの３つのだ円の７つの部分の数字の和も５８になるようにするとき、

真ん中のアの部分に入る数字はいくつですか？

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2_2

１つのだ円の和はどれも58なので、３つ分の和は58×3＝174です。

この中には当然同じ数字を複数回たし合わせている分が含まれます。

整理すると、

（１）３つのだ円が重なる部分はアの１ヵ所のみ。

（２）２つのだ円が重なる部分は黄色の６ヵ所。

（３）1つのだ円にだけふくまれる緑部分は６ヵ所。

なので、（１）の数字を３回、（２）の数字を２回、（３）の数字を１回

たし合わせていることになります。

１～１３の和は、（1＋13）×13÷２＝９１

これに（１）の数字をあと２回、（２）の６個の数字をあと各１回加えて１７４になるので、

ア×２＋黄６個は１７４－９１＝８３

大きい順に７個の数字７～１３の和（７＋１３）×７÷２＝７０よりも大きく、

その差は８３－７０＝１３より、８個目のアは１３となり、

（２）の黄色部分６個は７、８、９、１０、１１、１２でなければならなくなります。

黄色の向かい合う数字の和が１９、

緑の向かい合う数字の和が７と、条件を満たすように数字を入れていくと、

図のようになります。

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2015年9月24日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 魔方陣, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (2) | トラックバック (0)

たてと横の数字の和をみな等しく！（２０１１年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より）

図の１６マスのうち何マスかを黒く塗りつぶして、

どの行、どの列の数字の和もすべて等しくなるようにしてください。

ただし、全部黒く塗りつぶさないように！

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図のア行をみると、偶数ばかりなので、等しくなる和も偶数とわかります。

すると、①列にある１は黒、③列の１も黒になり、

エ行の３＋３より共通の和は６とわかります。

同様に考えて、

④列目のふたつの２は黒、

②列、ウ行の３が黒、

③列、イ行の２が黒、

①列、ア行の４が黒く塗りつぶされます。

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2015年9月23日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 和と差, 魔方陣 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

緑から黄を引いた面積は？（明治大学付属明治中学　２０１２年）

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下の図の正方形において、緑部分から黄色部分を引いた面積は何ｃ㎡ですか。

ただし、曲線はすべて円の一部です。

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アの面積が共通なので、

緑－黄＝（１/４円－赤）－（正方形－１/４円）　となります。

したがって、

（４×４×３．１４÷４－２×２×３．１４÷２）－（４×４－４×４×３．１４÷４）

＝（４×３．１４－２×３．１４）－（１６－４×３．１４）

＝２×３．１４－（１６－４×３．１４）

＝６．２８－３．４４

＝２．８４ｃ㎡

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３重に重なった部分の面積は？（第９回算数オリンピック、ファイナル問題より）

1辺が10cmの正三角形の紙があります。この正三角形の３つの角をそれぞれ向かい合う辺に平行に、それぞれの１辺が整数（単位はcm）の正三角形になるように折り曲げたところ、面積がもとの正三角形の半分で、すべての角が120度の六角形になりました。このとき、紙が３重になっている部分の面積の和はもとの正三角形の面積の何倍ですか。

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一辺が10cmの正三角形は、

一辺が１ｃｍの正三角形を10×10＝100個並べて作ることができます。

面積が半分の六角形は、

一辺が１cmの正三角形５０個で作られていることになります。

図のように、一辺が10cmの正三角形の３隅を

それぞれ一辺が３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの正三角形になるように折ると、

この六角形は、一辺が1ｃｍの正三角形が、

100－（3×3＋4×4＋5×5）＝50個からできています。

よって、紙が三重になっているところは黄色部分で、

一辺が４ｃｍと５ｃｍの正三角形を折り返して重なった部分が3×3＝9個、

一辺が５ｃｍ、３ｃｍの正三角形を折り返して重なった部分が1×１＝1個で、

合計が10個なので、

三重になっているところはもとの正三角形の１０÷１００＝０．１倍　　　　　　

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アにあてはまる数はいくつ？（関西大第一中学　２００６年）

図のように、たて、横の列のそれぞれの和がすべて１５になるように、

１から９までの整数を１つだけ使って並べます。

アにあてはまる数はいくつでしょうか？

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８の右は６、３の下は４なので、残る数は　２、５、７、９　です、

アの横は、１５－３＝１２になるので、

ア＋○＝１２になるのは、５と７の組み合わせだけです。

ア＝７だと、アの下も７になり、不適当、

したがって、ア＝５　です。

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最も小さい３つの辺の長さの合計は？（湘南学園中学　２０１４年）

直方体の１つの角に、下の図のように、

１辺が１ｃｍの立方体をすきまなく積み上けました。

この積み上げた立体を組みなおすことで、１つの直方体を作ることができます。

それらの直方体の中で、たて、横、高さの３つの辺の長さの合計が

最も小さくなる３辺の長さの合計は何ｃｍですか。

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各段の個数は、段数×段数になっているので、立方体は全部で、

１＋４＋９＋１６＋２５＋３６＋４９＝１４０個あります。

１４０＝２×２×５×７より、

直方体の３辺は、

２×２×３５、２×５×１４、２×７×１０、４×５×７　が考えられますが、

合計の最も小さくなるのは、４×５×７　のときで、

長さは、４＋５＋７＝１６ｃｍ　です。

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小学生ならすぐ解ける！大人だってすぐ解ける？（第９回算数オリンピック、トライアル問題より）

６けたの整数があり、一の位は９です。

いま、この「９」を一番上の位に移したら、元の整数の４倍になりました。

もとの６けたの整数はいくつですか？

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４×９＝３６なので、E=６

ABCD69

×）　　４

９ABCD6

３繰り上がって、４×６＝２４は２７なのでD＝７

ABC７69

×）　　４

９ABC７6

２繰り上がって、４×７＝２８は３０なのでC＝０

AB０７69

×）　　４

９AB０７6

３繰り上がって、４×０＝０は３なのでB＝３

A３０７69

×）　　４

９A３０７6

４×３＝１２なのでA＝２

１繰り上がって、４×２＝８は９に

元の数→２３０７６９

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2015年9月20日 (日) ペット, 日記・コラム・つぶやき, 算数, クイズ, パズル, 虫食い算, 条件整理と推理, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

算数のテスト、最も良かった人は？（奈良学園中学　２００６年）

たけし君、はやと君、花子さんの３人が算数のテストを受け、

その結果について次のような会話をしています。

ただし、３人の得点はすべて異なるものとします。

たけし君：「最も良かったのは、僕です。」

はやと君：「最も良かったのは、たけし君ではありません。」

花子さん：「最も良かったのは、はやと君ではありません。」

最も良かった人だけが本当のことを言っているとすると、

最も良かったのはだれでしょうか？

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たけし君が最も良かったとすると、

花子さんはうそを言っているので、

最も良かったのは、はやと君になり、矛盾します。

花子さんが最も良かったとすると、

はやと君はうそを言っているので、

最も良かったのは、たけし君になり、矛盾します。

はやと君が最も良かったとすると、

たけし君と花子さんはうそを言っているので、矛盾しません。

最も良かったのは、はやと君です。

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2015年9月20日 (日) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 条件整理と推理, 論理と推理 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

角アの大きさは？（２０１５年　田園調布学園中等部）

図の三角形ＡＢＣで、角Ａは７０°であり、

ＢＤは角Ｂを、ＣＤは角Ｃをそれぞれ二等分します。

このとき、角アの大きさを求めなさい。

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●●＋○○＝１８０－７０＝１１０°

●＋○＝１１０÷２＝５５°

ア＝１８０－５５＝１２５°

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向かい合う面が７にならないサイコロ（２００４年算数オリンピック、ファイナル問題より）

向かい合う面の数字の和がどれも７になるサイコロは

実際には次の２通りしかありません。

では、向かい合う面の数字の和がどれも７にならないサイコロを作ろうとすると

全部で何通りできますか。

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１の場合、

１－２、１－３、１－４、１－５　の４通りが考えられますが、

そのいずれの場合も、残りの組み合わせのうち、

７になる１－６、２－５、３－４のうちの２通りはもうできません。

１－２のとき、残りは３、４、５、６で、

７になるのは３－４の組み合わせだけです。

したがって、

残りは３－５、４－６か３－６、４－５の２通りになります。

１の４通りについて、各２通りなので、

４×２＝８通り

この組み合わせについて、問題文の２通りができるので、

８×２＝１６通りになります。

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2015年9月19日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 立体図形, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

水面の高さは何ｃｍになる？（２０１５年　慶應義塾湘南藤沢中等部）

図のように、底面が台形の四角柱の容器に水を入れ、もれないようにふたをします。

水平なゆかの上に面ＢＣＧＦが下にくるように置いたとき、

水面の高さは９ｃｍでした。

この容器を面ＡＢＣＤが下にくるように置いたときの水面の高さを求めなさい。

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水が入っているところまでの断面積を考えます。

919_2

直角三角形ＡＰＤと直角三角形ＡＱＲは相似で、

ＡＰ：ＰＤ＝４：６＝２：３　なので、

ＡＱ：ＱＲ＝２：３

ＱＲ＝３×３/２＝４．５ｃｍ

台形黄の面積＝（６＋４．５）×１÷２＝５．２５ｃ㎡

水の体積＝（６×８＋５．２５）×４０＝２１３０立方ｃｍ

求める長さ＝２１３０÷｛（１２＋８）×６÷２｝＝３５．５ｃｍ

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正三角形の面積比は？（２００８年算数オリンピック、ファイナル問題より）

正三角形ＡＢＣがあります。辺ＡB、BC、ＣＡの真ん中の点をそれぞれL.、Ｍ、Nとし、AL、BＭ、CNの上に点Ｐ、Ｑ、ＲをそれぞれLP＝ＭQ＝NRとなるようにとり、PＭとＲＬ、ＰＭとＱＮ、ＱＮとＲＬが交わる点をそれぞれＸ、Ｙ、Ｚとしたところ、ＸＹ＝ＸＬとなりました｡このとき三角]形ＸＹＺの面積は三角形ABCの面積の何倍ですか。

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図のように、三角形ABCは正三角形なので、

図形の対称性より、三角形ＬＭＮ、三角形ＸＹＺもまた正三角形になります。

また､ＸＹ＝ＸＬより、ＸＬ＝ＹＭ＝ＺＮ＝ＸＹ＝ＹＺ＝ＺＸとなります。

三角形ＸＹＺの面積を１とすると

XL＝ZX、ＸＹ：ＸＭ＝１：２より、三角形ＬＭＸの面積は２となり、

合同な、三角形ＭNY 、三角形NLZの面積も２となります。

したがって、正三角形ＬＭＮの面積は、１＋２×３＝７、

正三角形ABCの面積は、７×４＝２８

以上より、三角形ＸＹＺの面積は、三角形ABCの面積の１/２８倍となります。

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2015年9月18日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 面積比・長さ比, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

ロープで時間を計るには？（算数オリンピック１９９９年ファイナル問題より）

端に火をつけると、ちょうど８分で燃えつきるロープが何本もあります。

このロープを使って時間がはかれます。

たとえば、１本のロープの両方の端に同時に火をつけると燃えつきるまでに４分。

１本のロープの一方の端に火をつけ、

燃え尽きると同時に次のロープの一方の端に火をつけると 16 分がはかれます。

では、下のルールのもとに、

６分、７分、９分、10 分、11 分、12 分をそれぞれはかることができるでしょうか。

ルール

１：使えるロープは１つの時間をはかるのに３本以内とする。
２：火をつけるのはロープの端だけ。
３：同時に火をつけるのは何箇所でもよい。
４：火は途中で消せない。
５：ロープを切ったり、折ったりしてはいけない。

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2015年9月17日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 条件整理と推理, 算数オリンピック, 論理と推理 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

並び順は？シャツの色は？（成蹊中学　２０１４年）

太郎君、次郎君、花子さん、桃子さんの４人がいます。

４人はそれぞれ　赤、青、緑、黄のいずれかのシャツを着ていて、

左右１列に並んでいます。

次の６つの情報から、４人の名前を左から順に答えてください。

また、それぞれの人が着ているシャツの色を答えてください。

①太郎君は赤のシャツを着ていません。

②青のシャツを着ている人は、緑のシャツを着ている人より右側で、

　　黄のンャツを着ている人より左側にいます。

③桃子さんは左から２番目ではありません。

④女の子どうしはとなりあっていて、

　　それぞれの女の子のとなりに男の子がいます。

⑤太郎君は一番左にはいません。

⑥赤のシャツを着ている人は、黄のシャツを着ている人のとなりです。

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④より、男子、女子、女子、男子　の並び順ですが、

⑤より、次郎、女子、女子、太郎　となり、

③より、次郎、花子、桃子、太郎　と決まります。

②より、緑、青、黄　となり、

⑥より、緑、青、（赤）、黄、（赤）　となりますが、①より、太郎は赤ではないので、

次郎ー緑、花子ー青、桃子ー赤、太郎ー黄　となります。

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魔方陣の推理パズル！（２０１４年、駒場東邦中学）

図の「あ」～「け」の中に１～９の数字を１つずつ入れ，６つの正方形の頂点の数の和がいずれも20になるようにしたいと思います。

（１）「お」にあてはまる数を求めなさい。

ここで，「あ」に３が入るとき，以下の問いに答えなさい。

（２）「け」にあてはまる数を求めなさい。

（３）「い」，「う」にあてはまる数の組をすべて求めなさい。

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小さい４つの正方形を①～④、外側の大きい正方形を⑤、

真ん中の正方形を⑥とすると、

（１）

①～⑤を全部たすと、

あ～け　が各２個と　お　がさらに２個（全部で４個）入っています。

１～９までたすと４５なので、

４５×２＋お×２＝２０×５＝１００

お×２＝１０

お＝５

（２）

あ＝３、お＝５　なので、

①より、い＋え＝２０－８＝１２

い　と　え　の組み合わせは９＋３か８＋４か７＋５　ですが、

３も５もきまっているので、８と４に決まります。

⑥より、か＋く＝２０－１２＝８

③より、け＝２０－（５＋８）＝７

ここで、か　と　く　の組み合わせは、

１と７でもなく３と５でもなく、２と６に決まります。

（３）

②より、

い＝８　なら、か＝６　で　う＝１

い＝４　なら、か＝２　で　う＝９

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色部分の面積は大きい円の何倍？（海城中学　２０１４年）

ＡＢを直径とする円があります。

点C、Ｏ、Dは直径ＡＢを４等分する点で、

円内の曲線はそれぞれＡＯ、ＡＤ、０Ｂ、ＤＢを直径とする半円です。

色部分の面積は、ＡＢを直径とする円の面積の何倍ですか？

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下の色部分を上に移動すると、

色部分の面積は、２番目の半円から４番目の半円を引いた面積になります。

４番目の半円の直径を１とすると、面積は１×１＝１

３番目の半円の面積は、２×２＝４

２番目の半円の面積は、３×３＝９

一番大きい半円の面積は、４×４＝１６

一番大きい円の面積は、１６×２＝３２

色部分の面積は、９－１＝８　なので、

８/３２＝１/４　倍です。

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正三角形の作図と面積（麻布中学　２００７年）

図の線は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。

図１の正三角形の面積を１ｃ㎡とするとき、次の問に答えなさい。

Pic_0584_3

（１）図２の正三角形の面積を求めなさい。

（２）線の交点を頂点とするような、

　　面積が１３ｃ㎡の正三角形を１つ図４の上に描きなさい。

（３）図３のような、

　　面積がそれぞれ３ｃ㎡、７ｃ㎡、１３ｃ㎡の正三角形で囲まれた三角形ＡＢＣを、

　　図４の上に描きなさい。

　　ただし、頂点Ａ，Ｂ，Ｃは線の交点になるようにします。

　　頂点Ａ，Ｂ，Ｃの記号も書きなさい。

（４）三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。

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（１）図２の正三角形の１辺は、

図５のように、４つの１ｃ㎡の正三角形からなる平行四辺形の対角線になっています。

　　　　　 Pic_0585

よって、この正三角形は、中央の１ｃ㎡の正三角形と、

４÷２＝２ｃ㎡の三角形が３個集まったものなので、

その面積は、

１＋２×３＝７ｃ㎡　

となります。

（２）図６のような正三角形は、面積が１３ｃ㎡となります。

　　　　　 Pic_0586

６個の正三角形から成る平行四辺形の対角線を１辺とする正三角形は、

中央に４つの正三角形と、６÷２＝３ｃ㎡の三角形３個でできているので、

面積は

４＋３×３＝１３ｃ㎡

です。

（３）１３ｃ㎡の正三角形は（２）で描いたので、そこに図を加えていきます。

まず、（１）で７ｃ㎡のものがわかっているので、それを描くと、図７のようになります。

Pic_0587_2

さらに３ｃ㎡の正三角形を加えると描き上げることができます。

（４）三角形ＡＢＣは、図８のように分けて面積を求めることができ、

　　　　　 Pic_0588 　

緑の部分は同じ面積になるので、

辺ＡＣは正三角形６個から成る平行四辺形の対角線になり、

辺ＡＢは正三角形２個から成る平行四辺形の対角線となり、

中央に１つの正三角形が残ります。

よって、三角形ＡＢＣの面積は、

６÷２＋２÷２＋１＝５ｃ㎡　

となります。

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2015年9月16日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 面積, 図形 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

大人は解けない？超難問（第９回算数オリンピック　ファイナル問題より）

図のように三角形ＡＢＣの内部に正方形ＰＱＲＳが３点Ｐ、Ｑ、Ｒで接していて、

ＢＱ＝ＱＣです。このとき、正方形ＰＱＲＳの面積を求めなさい。

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2015年9月15日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 面積, 図形, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

全部で何通りの「お知らせ」ができますか？（昌平中学　２０１３年

ある町の役場の屋上には、図のような①、②、③のランプがついた、

町民にいろいろな「お知らせ」を伝える装置があります。

①、②、③のランプは、それぞれ青、赤、黄の３つの色に変わります。

例えば、①に赤、②がつかずに③に黄がつくと、

「強い雨が降りますよ」というように、

３つのランプに３つの色がついたり消えたりすることで、

町民にいろいろな情報を知らせます。

ただし、①、②、③のランプが全部消えているときは、「お知らせ」はありません。

全部で何通りの「お知らせ」ができますか？

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１つだけランプがつく場合は、

①、②、③がそれぞれ３色つくので、③×３＝９通り、

２つランプがつく場合は、

①ー②、①－③、②ー③がそれぞれ３×３＝９通りに色が変わるので、

３×９＝２７通り、

全部ランプがつく場合は、

①、②、③がそれぞれ３色に変わるので、

３×３×３＝２７通り、

合計、９＋２７＋２７＝６３通り

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2015年9月15日 (火) 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 場合の数 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

色のついた部分の面積は？（実践女子学園中学　２０１４年）

図のような長方形の、色のついた部分の面積は何ｃ㎡ですか。

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水色の直角三角形の面積は、

６×１２÷２＝３６ｃ㎡

赤い三角形どうしは相似で、相似比は１２：６＝２：１なので、

底辺を６ｃｍとする△緑の高さは、６×１/３＝２ｃｍ

△緑の面積＝６×２÷２＝６ｃ㎡

△青どうしの三角形も相似で、相似比は６：３＝２：１

底辺を３ｃｍとする△紫の高さは、１２×１/３＝４ｃｍ

△紫の面積＝３×４÷２＝６ｃ㎡

△黄の面積＝６×１２－（３６＋６＋６）＝２４ｃ㎡

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2015年9月15日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 面積 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

直方体の高さは？（２００５年算数オリンピック、トライアル問題より）

ある直方体の高さはたてより１ｃｍ長く、横より１ｃｍ短いです。

その体積は３□□□□□２６ｃ㎡です。（５個の□の数はわかりません）

この直方体の高さは何ｃｍですか。

Stnd022s

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たて、高さ、横はこの順番に連続した整数です。

８桁なので、大まかな目安を計算してみます。

１００×１００×１００＝１００００００

２００×２００×２００＝８００００００

３００×３００×３００＝２７００００００

４００×４００×１００＝６４００００００

以上より３００ｃｍ台とわかります。

末尾２桁が２６なので、たて、高さ、横は５の倍数ではなく、

１×２×３＝６、２×３×４＝２４、６×７×８＝３３６、７×８×９＝５０４より、

末尾２桁は、□１、□２、□３　か　□６、□７、□８　のどちらかです。

末尾２桁を小さい順に調べていくと、

１１×１２×１３→１６・・・・・・×

１６×１７×１８→９６・・・・・・×

２１×２２×２３→２６・・・・・・○

２６×２７×２８→５６・・・・・・×

３１×３２×３３→３６・・・・・・×

３６×３７×３８→１６・・・・・・×

これ以上は最初の桁が４になり、該当しません。

したがって、高さは３２２ｃｍ　です。

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2015年9月14日 (月) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 立体図形, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

つながっている切り方は？（学習院女子中等科　２０１４年）

下の図のように、アからクまで８枚のシールがつながっています。

点線は切り取り線です。このうち３枚を、つなげて切り取ります。

アとオのように、１点のみで接している場合は、つながっていないものとします。

また、切り取った残りは、つながっていなくてもかまいません。

ただし、答えは（１）の「アエオ」のように、それぞれ五十音順に書きなさい。

（１）アを含む切り取り方をすべて書き出しなさい。

（２）アを含まずイを含む切り取り方をすべて書き出しなさい。

（３）アもイも含まない切り取り方をすべて書き出しなさい。

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（１）「アエオ」のほかに、アイウ, アイエ, アイオ, アエキ

（２）イウオ, イウカ, イエオ, イオカ, イオク

（３）ウオカ, エオカ, エオキ, エオク, エキク, オカク, オキク

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計算を工夫して！（２０１５年　慶應義塾中等部）

図は正方形とおうぎ形を組み合わせた図形です。

色のついた部分と色のついていない部分の面積の比を

もっとも簡単な整数の比で表すと何対何ですか。

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色部分は円の１/４なので、正方形の１辺を２ｃｍとすると計算しやすくなります。

色部分＝２×２×３．１４×１/４＝３．１４ｃ㎡

白い部分＝２×２－３．１４＝０．８６

色：白＝３．１４：０．８６＝３１４：８６＝１５７：４３

別解

もし、円周率を３．１４としたとき、

図の黄色部分の面積が正方形の面積の５７％と知っていれば、

緑部分は、４３÷２＝２１．５％なので、

913

色：白＝（５７＋２１．５）：２１．５＝７８．５：２１．５＝１５７：４３

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2015年9月13日 (日) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 円と扇形, 図形, 計算の工夫 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

注意深く数えていかないと・・・（第１２回算数オリンピック、トライアル問題より）

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521

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2015年9月12日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 面積, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

この正方形の面積は？（香蘭女学校中等科　２０１４年）

図のように、たて６ｃｍ、横４ｃｍの長方形の紙を

１ｃｍののりしろではり合わせて、できるだけ小さい正方形を作ります。

この正方形の面積は何ｃ㎡ですか？

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横は４ｃｍの次は３ｃｍずつ増えていきます。

たては６ｃｍの次は５ｃｍずつ増えていきます。

最初に同じ長さになったときが最小の正方形です。

横→４、７、１０、１３、１６、１９、２２、・・・・・

たて→６、１１、１６、２１、・・・・

横が５枚で１６ｃｍ

たてが３枚で１６ｃｍ

面積＝１６×１６＝２５６ｃ㎡

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2015年9月12日 (土) 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 約数と倍数, 植木算 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

内側の円と外側の円の比は？（日本女子大学附属中学　２０１４年）

下の図は、正方形と正三角形と円を組み合わせたものです。

内側の円と外側の円の面積を最も簡単な整数の比で表すと何対何ですか。

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中心をＯとすると、

緑の直角三角形２つを組み合わせると黄色い正三角形になります。

したがって、ＯＢ＝ＢＡ　なので、ＯＢ：ＯＡ＝１：２

内側の円の半径：外側の円の半径＝１：２　なので、

面積比は、１×１：２×２＝１：４

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算数オリンピック問題に挑戦！面積は？（第４回ジュニア大会、トライアル問題より）

１辺が８ｃｍの正方形ＡＢＣＤがあります。

図のようにそれぞれの辺の上に点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈをとり、ＨとＦを結びました。

次にＨとＦを結んだ線の上に点Ｐをとり、ＰとＥ、Ｇを結ぶと、

四角形ＡＥＰＨの面積は６ｃ㎡となりました。

四角形ＰＦＣＧの面積を求めなさい。

Bandicam_20150911_093631124 Bandicam_20150911_093641888

Bandicam_20150911_093641888_2

Bandicam_20150911_093658865

Bandicam_20150911_093705099

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2015年9月11日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 図形, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

正方形は全部でいくつある？（カリタス女子中学　２０１４年）

下の図は正方形を組み合わせたものです。

この中に正方形は、大小合わせていくつあるでしょうか？

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１辺が１ｃｍ→２４個

１辺が２ｃｍ→１７個

9112

１辺が３ｃｍ→４個

9113

１辺が４ｃｍ→６個

9114

１辺が５ｃｍ→０個

１辺が６ｃｍ→２個

9115

合計、２４＋１７＋４＋６＋２＝５３個

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Ｂに入れた水の量は何ｇ？（２０１５年　早稲田実業学校中等部）

２つの容器Ａ、Ｂがあります。

Ａには濃さが３％の食塩水４００ｇ、Bには濃さが８％の食塩水４５０ｇが入っています。

Ｂの食塩水を何ｇかＡに入れた後、

Ｂに水を入れてＡの食塩水とＢの食塩水を同じ重さにしたところ、

Ａの食塩水もＢの食塩水も同じ濃さになりました。

このとき、Ｂに入れた水の量は何ｇですか。

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塩の量が変わっていないことに注目します。

Ａには４００×０．０３＝１２ｇ

Ｂには４５０×０．０８＝３６ｇ

重さが同じになり、濃度も同じなので、

塩の量も同じで、（１２＋３６）÷２＝２４ｇ

Ａは１２ｇだったので、２４－１２＝１２ｇの塩が加わったことになります。

１２ｇの塩が入った８％の食塩水は、１２÷０．０８＝１５０ｇ　なので、

Ａは４００＋１５０＝５５０ｇ　の食塩水になったわけです。

したがって、Ｂに入れられた水の量は、

５５０－（４５０－１５０）＝２５０ｇ　です。

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難問に挑戦（第１１回算数オリンピック、ファイナル問題）

長方形ＡＢＣＤの辺上に４点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓを図のようにとり、ＰＲとＱＳの交点をＯとします。三角形ＰＱＯの面積と三角形ＲＳＯの面積が等しく、それぞれ３０ｃ㎡であるとき、長方形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。

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2015年9月10日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

４人の点数はそれぞれ何点？（麹町学園女子中学　２０１４年）

Ａさん、Ｂさん、Ｃさん、Ｄさんの４人が算数のテスト（１００点満点）を受けた結果、

次のようになりました。

・ＡさんはＤさんよりも２０点高い。

・ＢさんはＤさんよりも８点高い。

・ＣさんはＡさんよりも４点高い。

・４人の平均点は７７点である。

４人の点数はそれぞれ何点でしたか？

2203

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図で表すと、下図のようになります。

P910

したがって、Ｄさん＝｛７７×４－（２４＋２０＋８）｝÷４＝６４点

Ｂさん＝６４＋８＝７２点

Ａさん＝７２＋１２＝８４点

Ｃさん＝８４＋４＝８８点

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角アの大きさは何度？（鴎友学園女子中学　２０１４年）

図のように、平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣで

三角形ＡＢＣを折り返してできる三角形を三角形ＡＥＣとします。

ＡＢ＝ＡＣのとき、角アの大きさは何度ですか。

9101

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図のように、●の角度が等しいので、△黄は二等辺三角形です。

9102

したがって、●＝（１８０－８８）÷２＝４６°

∠ＡＣＥ＝（１８０－４６）÷２＝６７°

∠ア＝６７－４６＝２１°

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何通りの置き方があるか？（２００６年算数オリンピック、トライアルより）

１ｃｍ×２ｃｍの長方形の紙がたくさんあります。これらを２ｃｍ×３ｃｍの長方形の上に、重なることも、はみだすことも、すきまを作ることもなくならべると、図のように３通りの置き方があります。

では、１辺１ｃｍの正方形１６個でできた図１のような図形の上には、

何通りの置き方がありますか？

1_2

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２ｃ㎡の紙で敷き詰めていくので、

図２のように、ＡＢで２つの図形に分かれる場合と、

図３のように、ＡＢがつながって、３つの部分に分かれる場合を考えます。

ＡＢが１つの紙でつながって、

残る２ｃ㎡が１ｃ㎡ずつでは、左右の図形の面積も１ｃ㎡使うことになり、

残りを２ｃ㎡の紙で敷き詰めることができなくなります。

したがって、ＡＢがつながるためには横に２つ紙を並べるしかありません。

図２の場合は両方とも同じ形で、図のようにそれぞれ５通りの並べ方があり、

５×５＝２５通り、

図３の場合は、左が図のように３通り、右は２通りなので、

３×２＝６通り、

合計、２５＋６＝３１通りになります。

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2015年9月 9日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 場合の数, 図形, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

横はいくつ？（東京都市大学等々力中学　２０１４年）

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同じ大きさの白い正方形を縦に８個、横に（　　）個、

すきまなく並べて長方形を作り、いちばん外側の正方形を赤くぬると、

赤と白の正方形の個数が同じになります。

（　　）は何個ですか？

Cocolog_oekaki_2015_09_09_08_58

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図のように、横の個数から端の２個を除いた個数を□とすると、

黄色部分は同じ個数になるので、

緑部分と赤い部分は同じ個数になります。

909

したがって、４×□＝１６　なので、

□＝４個

横の個数＝４＋２＝６個

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2015年9月 9日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 図形, 数の性質 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

次の式の答えはいくつ？（２０１５年　攻玉社中学）

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【　　】という記号は、【　　】の中の数の小数第１位を四捨五入する、

という計算を表すことにします。

このとき、次の式の答えはいくつになりますか。

【３/７】＋【１３/７】＋【２３/７】＋【３３/７】＋【４３/７】＋【５３/７】＝

Apf

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３．５/７＝０．５　なので、

分母が７の場合分子が３．５未満なら四捨、３．５以上なら五入になります。

３/７→０

１３/７→１と６/７→２

２３/７→３と２/７→３

３３/７→４と５/７→５

４３/７→６と１/７→６

５３/７→７と４/７→８

したがって、０＋２＋３＋５＋６＋８＝２４

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2015年9月 9日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 分数計算, 数の性質, 操作計算, 分数 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

長針と短針がつくる三角形の最大面積は？（第９回算数オリンピック、トライアルより）

短針と長針しかない時計があります。

短針ＯＡの長さは６ｃｍ､長針OBの長さは８ｃｍです。

三角形ＡＢＯは時間とともに形が変っていきますが、

三角形ABOの面積が最も大きくなるとき、その面積は何c㎡ですか。

1_2

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OBを△ABOの底辺と考えれば、

高さがOA＝６ｃｍの直角三角形になるときが面積が最大です。

2_2

したがって、最大面積＝８×６÷２＝２４ｃ㎡

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2015年9月 8日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 時計算, 平均算, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

ケーキ１個の値段として考えられるものは？（桐朋中学　2012年）

ケーキとプリンを何個かずつ買います。

ケーキをプリンより多く買うと、代金は全部で９６０円になります。

ケーキとプリンの個数を逆にして買うと、代金は全部で７２０円になります。

ケーキとプリン１個ずつの値段の合計が３３６円のとき、

ケーキ１個の値段として考えられるものをすべて答えなさい。

ただし、プリンを少なくとも１個以上買うものとします。

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　代金が９６０円のとき、ケーキ○個、プリン△個を買ったとすると

　　　ケーキ×○個＋プリン×△個＝９６０円　・・・　【式１】　

　　　ケーキ×△個＋プリン×○個＝７２０円　・・・　【式２】

とわかります。

【式１】と【式２】をタテに加えると、

　　ケーキ×（○＋△）個＋プリン×（○＋△）個＝１６８０円

となり、ケーキ１個＋プリン１個＝３３６円なので、

ケーキとプリンの買った個数の合計は、

　　○＋△＝１６８０÷３３６＝５個

ということがわかります。

プリンは１個以上買うので、プリンとケーキを買った個数として

考えられる組み合わせは、

　（プリン、ケーキ）＝（１個、４個）、（２個、３個）、（３個、２個）、

　　　　　　　　　　　　（４個、１個）、（５個、０個）

となります。

ケーキをプリンより多く買うと９６０円になるので、

考えられる組み合わせは、

　（プリン、ケーキ）＝（１個、４個）、（２個、３個）　

の２通りとなります。

プリン１個、ケーキ４個で９６０円のとき、

　プリン１個、ケーキ１個が３３６円より、消去算で

　ケーキ３個＝９６０－３３６＝６２４円より、ケーキ１個の値段は

　６２４÷３＝２０８円　となります。

プリン２個、ケーキ３個で９６０円のとき、

　プリン２個、ケーキ２個で６７２円より、消去算で

　ケーキ１個＝９６０－６７２＝２８８円　となります。

以上より、ケーキ１個の値段として考えられるものは

　２０８円、２８８円

となります。

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2015年9月 8日 (火) 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 消去算 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

角Ｃの大きさは何度？（大妻中学　２０１４年）

図のように、円周上に５点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅがあり、ＡＢ＝ＢＣ，ＤＥ＝ＥＡです。

また、角Ａの大きさは１０５度、角Ｃの大きさから角Ｄの大きさを引くと２５度です。

角Ｃの大きさは何度ですか？

P9071

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図のように、各頂点と円の中心Ｏを結ぶと二等辺三角形が５つできます。

P9072

ＡＢ＝ＢＣ、ＤＥ＝ＥＡより△黄どうし、△緑どうしは合同です。

角Ａ＝１０５°より、○＋△＝１０５°

角Ｃ－角Ｄ＝２５°より角□は共通なので、○－△＝２５°

和差算で、△＝（１０５－２５）÷２＝４０°

○＝４０＋２５＝６５°

５角形の内角の和は５４０°なので、

□＝｛５４０－（６５×４＋４０×４）｝÷２＝６０°

角Ｃ＝６５＋６０＝１２５°

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2015年9月 7日 (月) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 角度 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

接している面の面積の合計は？（法政大学中学　２０１４年）

１辺の長さか１ｃｍの立方を９６個積みあげて、図１のような立体を作りました。

（１）この立体の表面積は何ｃ㎡ですか。

（２）この立体で、立方体どうしが接している面の面積の合計は何ｃ㎡ですか。

例えば、

図２の立体の場合、接している面の面積の合計は３ｃ㎡と数えることとします。

907 9071

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9071_2

１２個のブロックを１つのまとまりとして考えると計算しやすくなります。

（１）上下、左右、前後の表面積は等しくなるので、

上下→６×４×２＝４８ｃ㎡

左右→４×５×２＝４０ｃ㎡

前後→６×５×２＝６０ｃ㎡

表面積＝４８＋４０＋６０＝１４８ｃ㎡

（２）１２個のブロックを調べると、３方向で面が接していることがわかります。

底面に平行な面では、６面

左右の面に平行な面では、８面

前後の面に平行な面では、６面

全部で、６＋８＋６＝２０ｃ㎡

１２個のブロックが８個あるので、

合計、２０×８＝１６０ｃ㎡

次に１２個ブロックどうしが接している面を調べます。

上下の面に平行な面では、４面なので、６×４＝２４ｃ㎡

左右の面に平行な面では、３面なので、４×３＝１２ｃ㎡

前後の面に平行な面では、３面なので、６×３＝１８ｃ㎡

合計、２４＋１２＋１８＝５４ｃ㎡

全部で、１６０＋５４＝２１４ｃ㎡

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2015年9月 7日 (月) 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 立体図形, 表面積 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

とても面白い問題ですね！（２００７年算数オリンピック、トライアルより）

１年生・２年生・３年生、各２０人ずつ合計６０人がまるく１つの輪になって手をつないでいます。この状態から１年生と２年生とでつないでいる手を離すと１０個のグループになり、１年生と３年生とでつないでいる手を離すと８個のグループに分かれ、２年生と３年生とでつないでいる手を離すと６個のグループに分かれます。（１人でも１グループと数えます)
では同じ学年の生徒どうしでつないでいる手を離すと、いくつのグループに分かれますか？

Lpsa3103cs

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全員がまるくなって手をつないでいるので、

１ヵ所手を離すとグループは１つ、

２ヵ所手を離すとグループは２つになります。

つまり、

手を離したところの数＝グループの数

ということになります。

手をつないでいるのは、

異なる学年どうしの場合は、

１年生と２年生、

２年生と３年生、

３年生と１年生。

同じ学年どうしの場合は

１年生どうし、

２年生どうし、

３年生どうし、

のいずれかです。

60人が円になっているので手をつないでいるところも60ヵ所あり、

このうち、異なる学年どうし手をつないでいる部分は、

１年と２年が10ヵ所、

２年と３年が６ヵ所、

３年と１年が８ヶ所なので、

同じ学年どうしが手をつないでいるのは、

６０－１０－８－６＝３６ヵ所

以上から、同じ学年どうしがつないでいる手を離したとき、

できるグループ数は36となります。

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川が流れる速さは？（慶應義塾湘南藤沢中等部　2007年）

川の上流にある甲町から下流にある乙町までの３２ｋｍを

往復する２つの船Ａ，Ｂがあります。

いま、Ａ，Ｂがそれぞれ甲町と乙町を同時に出発したところ、

甲町から下流に１８ｋｍの地点で初めて出会いました。

このとき、川が流れる速さを求めなさい。

ただし、Ａ，Ｂの静水時の速さはそれぞれ、毎時１２ｋｍ、毎時２０ｋｍとします。

Fune

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　川の流れを毎時□ｋｍとすると、船の移動の様子は

下の図１のようになります。

　　　　 Pic_2555a

出会うまでの同じ時間に進んだキョリの比が

　Ａ　：　Ｂ　＝　１８　：　１４　

なので、Ａ，Ｂの速度の比　

　１２＋□　：　２０－□　＝　１８　：　１４　ということです。

すると、□＝６ｋｍ毎時 と求められます。

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2015年9月 6日 (日) 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 流水算, 速さ | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

正方形が描けますか？（２００５年算数オリンピック、ファイナル問題より）

１辺１ｃｍの正方形のマス１６個があります。これらのマスの頂点を結んで、１０ｃ㎡の正方形を描いてください。

1_2

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１６－１０＝６ｃ㎡　なので、

６÷４＝１．５ｃ㎡　の面積の

直角三角形４つを見つけると描きやすいです。

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2015年9月 5日 (土) 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

倍数の個数の数え方は？（広島学院中学　２００８年）

下の表は１から３０までの整数をたがいにかけた数を

９００個のマスの中に並べたもので、その一部だけを示してあります。

Pic_0426

（１）２の倍数が入っているマスは何個ありますか。

（２）４の倍数が入っているマスは何個ありますか。

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（１）２の倍数、すなわち偶数が何個あるかという問題です。

２つの整数をかけたとき、偶数×偶数＝偶数、

偶数×奇数＝偶数、奇数×偶数＝偶数、奇数×奇数＝奇数ですから、

９００個の中で、奇数×奇数のものの数を除けばいいわけです。

奇数×奇数は、１から３０までのうち、奇数は３０÷２＝１５個なので、

奇数×奇数は、１５×１５＝２２５個あります。

よって、偶数のマスは、９００－２２５＝６７５個　あります。

（２）偶数×偶数＝４の倍数になります。

４の倍数×奇数＝４の倍数、奇数×４の倍数＝４の倍数

１から３０の間に、偶数は３０÷２＝１５個、４の倍数は７個です。

奇数は１５なので、

偶数×偶数は、１５×１５＝２２５個、

４の倍数×奇数は、７×１５＝１０５個

奇数×４の倍数は、１５×７＝１０５個

よって、４の倍数のマスは、２２５＋１０５×２＝４３５個　あります。

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2015年9月 5日 (土) 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 数の性質, 約数と倍数 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

色部分の面積は？（第５回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

長方形の中の、色のついた部分の面積の合計は何ｃ㎡ですか？

1_2

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下図のように区切ると、一目瞭然！

長方形の面積の半分ですね。

（４＋４）×１８÷２＝７２ｃ㎡

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2015年9月 4日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

球が触れることのできる底面の部分は？（芝浦工業大学柏中学　２０１４年）

図のような底面が正方形の箱の中を球が転がっています。

球が触れることのできる底面の部分を表したものはア～エのどれでしょうか？

904

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こたえは

ウ

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2015年9月 4日 (金) 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 立体図形, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

最も大きい数は？（灘中学　２０１１年）

１１の倍数である５けたの整数で，

各けたの数字がどの２つも異なっているもののうち，

最も大きいものはいくつですか。

Bo3

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５けたの整数で、各けたの数字が異なる最大の数は、

９８７６５

９８７６５÷１１＝８９７８　あまり　７　なので、

１１の倍数となるのは、９８７６５－７＝９８７５８←８が重複するので不適当、

９８７５８－１１＝９８７４７←７が重複するので不適当、

９８７４７－１１＝９８７３６←すべて異なる１１の倍数。

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2015年9月 4日 (金) 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 数の性質 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

角Ｘ、角Ｙは角Ａの何倍？（奈良学園中学　２００７年）

下の図のように、正七角形の各頂点を線で結びました。

このとき、角Ｘの大きさは、角Ａの大きさの【　ア　】倍、

角Ｙの大きさは、角Ａの大きさの【　イ　】倍になります。

【　ア　】、【　イ　】に入る数を答えなさい。

　　　　　 Pic_2592q

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　まず、下の図１の２本の青線は平行なので、

　　Ａ　＋　Ｘ　＝　Ｙ　ということがわかります。

　　　　 Pic_2593a

次に、下の図２のように、角Ｘと同じ大きさの角が３か所あり、

　　　　 Pic_2594a_2

下の図３のように、右下の三角形に注目すると、

　　　角Ｘ＋　●　＝　角Ｙ

となっているので、●＝角Ａということがわかります。

　　　　 Pic_2595a_3

下の図４のように、１本線を引くと、２本の青線は平行なので、

　　　　 Pic_2596a

○＝角Ａということがわかります。

このことから、角Ｘ＝角Ａ＋角Ａなので、

　角Ｘの大きさは、角Ａの２倍・・・【　ア　】

角Ｙ＝角Ｘ＋角Ａなので、

　角Ｙの大きさは、角Ａの３倍・・・【　イ　】

ということがわかります。

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2015年9月 3日 (木) 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 角度 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

どう作図するかがポイント！（２００４年算数オリンピック、トライアル問題より）

角Ｂ＝９０°で、辺ABが辺ACより長い直角三角形ABCにおいて、辺ABの上にAM＝BCとなるような点Mを、辺BCの上にCN＝BMとなるような点Nをそれぞれとり、ANとCMが交わる点Pをとします。このとき、角APMの大きさを求めなさい。

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図のようにBM＝CN＝AKで、角KAB＝９０°になるような点Kをとります。

四角形ANCKは平行四辺形なので、角APM＝角KCM・・・・・・①

直角三角形△黄と直角三角形△緑は合同なので、MK＝CM、

○＋△＝９０°なので、

角KMC＝１８０－９０＝９０°

したがって、△KMCは直角二等辺三角形となり、角KCM＝４５°

①より、角APMも４５°

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2015年9月 2日 (水) 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 角度, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

スイッチを押す場合の数は？（東大寺学園中学　２０１４年）

下の図のように点Ｏを中心とする円と、

その円周を１２等分した点Ａから点Ｌまでがあります。

点Ｐと直線Ｑは、赤と青の２種類のスイッチと連動して動くものとします。

・最初、点Ｐは点Ａにあり、直線Ｑは直線ＢＨと重なっています。

・赤のスイッチを押すと、直線Ｑを対称の軸として、点Ｐは対応する点に動きます。

・青のスイッチを押すと、直線Ｑが点Ｏを中心に時計回りに

　 ３０°回転した後、直線Ｑを対称の軸として、点Ｐは対応する点に動きます。

　 Pic_3771q

たとえば、赤・青・青とスイッチを押すと、点ＰはＡ→Ｃ→Ｃ→Ｅと動きます。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）２回スイッチを押した後、点Ｐはどの点にありますか。

　　 ありえるすべての点を答えなさい。

（２）１回目に赤のスイッチを押し、合計５回スイッチを押した後、

　　 点Ｐが点Ｇにあるようなスイッチの押し方をすべて、

　　　「赤青青赤赤」のように答えなさい。

（３）１３回スイッチを押した後、点Ｐが点Ｅにあるようなスイッチの押し方は

　　　全部で何通りありますか。

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　（１）スイッチの押し方は、赤赤、赤青、青赤、青青の４通りで、

下の図１のように

Pic_3772a

赤赤の場合　：　Ａ→Ｃ→Ａ　となり、Ａに戻ります。

赤青の場合　：　Ａ→Ｃ→Ｃ　となり、Ｃに移動します。

青赤の場合　：　Ａ→Ｅ→Ａ　となり、Ａに戻ります。

青青の場合　：　Ａ→Ｅ→Ｃ　となり、Ｃに移動します。

よって、２回スイッチを押した後、点Ｐがありえる点は、

　ＡとＣ

です。

　（２）１回目が赤のスイッチなので、点ＰはＣの位置に移動し、

２回目、３回目は（１）と同様な４通りがあり、下の図２のように

なります。

Pic_3773a_2

図２で、赤赤の場合と、青赤の場合、５回目（あと２回）で

点Ｐが点Ｇに行くことはできません。

簡単に考えることができる青青の場合を先にすると、

図２の移動前の点Ｐ，直線Ｑが、そのまま６０度回転

したのが青青の場合なので、点Ｅから点Ｇへ点Ｐが移動

するのは、図２より、赤青、青青（点Ｃから点Ｅに２つ移動）

の２通りがあることがわかります。

次に、赤青の場合、下の図３のように

Pic_3774a

２通りがあります。

よって、５回スイッチを押したとき、点Ｐが点Ｇにいるのは

　 赤赤青赤青　赤赤青青青　赤青青青青　赤青青赤青　

の４通りです。

　（３）（２）までで、スイッチを２回押すと、点Ｐは

同じ場所にとどまるか、時計周りに２個進む ということが

わかります。さらに細かく調べると、赤赤、青赤の場合は

同じ場所にとどまり、赤青、青青の場合は２個進みます。

１３回スイッチを押す場合、

　１回目に赤のスイッチを押した場合

と

　１回目に青のスイッチを押した場合

に分けて考えます。

１回目に赤のスイッチを押した場合、図２のように点Ｃが

スタート地点となります。点Ｐがスイッチ２回で０または２進むので、

点Ｐは最大（すべて２進んだ場合）で１２進み、点Ｃへ戻ります。

よって、点Ｃから点Ｅに進むには、

　２進むを１度、０（動かない）を５度

というスイッチの押し方があり、２進む→２　０（動かない）→０

で表すと、

　「２０００００」「０２００００」「００２０００」～「０００００２」

の６通りの進み方があり、それぞれスイッチの押し方が２通り

（２の場合は赤青、青青、０の場合は赤赤、青赤）があり、

　２×２×２×２×２×２×６＝３８４通り

のスイッチの押し方があります。

次に、１回目に青のスイッチを押した場合、図３のように点Ｅが

スタート地点となります。赤のスイッチを押した場合と同様に、

点Ｐは最大で１２進み、１２進むと点Ｅに戻ってきます。

よって、点Ｅから点Ｅに戻るには、

　ずっと０進む（動かない）か、ずっと２進む

ことになり、

　「００００００」「２２２２２２」

の２通りで、スイッチの押し方が２通りあるので、

　（２×２×２×２×２×２）×２＝１２８通り

のスイッチの押し方があります。

ゆえに、１３回スイッチを押した後、点Ｐが点Ｅにあるような

スイッチの押し方は、

　３８４＋１２８＝５１２通り

あります。

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2015年9月 1日 (火)

色をつけた部分の面積は？（２０１５年　女子学院中学）

図のように、直角二等辺三角形ＡＢＣと直角三角形ＤＥＦがあります。

色をつけた部分の面積は何ｃ㎡ですか。

9011

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図のように、ＢＣ＝２０ｃｍなので、ＡＣ＝２０ｃｍ

△緑と△ＯＢＦは相似になり、相似比は１４：２１＝２：３

9012

ＳＯ：ＯＰ＝２：３　なので、ＯＰ＝２０×３/５＝１２ｃｍ

ＤＥ：ＥＦ＝２０：１５＝４：３

したがって、ＲＣ＝１×４/３＝４/３ｃｍ

黄色部分の面積は、

２１×１２÷２－（６×６÷２＋１×４/３÷２）＝

１２６－１８と２/３＝１０７と１/３ｃ㎡

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