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2015年8月11日 (火)

いくつ取り出せばいいか?(2008年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題から)

袋の中に同じ大きさの8種類の色の玉がそれぞれ50個ずつ入っています。この袋の中から色を見ないで1回だけいくつかの玉を取り出し、どのような取り出しかたをしてもその中に少なくとも3種類の色の玉がそれぞれ10個以上含まれるようにしたいと思います。最も少ない場合で何個の玉を取り出せばよいですか。

Ilm11_dc01123s

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最も運の悪い場合、

つまり最もむだに多く取り出す場合でも、

3種類の玉が10個以上入る場合を考えます。

まず8種類の色の玉が9個ずつ混ざってしまう場合、

8×9=72個取り出しても、

10個以上の色が1種類もないことになります。

さらに1個(73個目)取り出すと、

その色が何色であろうと必ず1種類の色が10個そろいますが、

それから先、この色が50-9=41個続いてしまった場合、

10個以上ある色が1種類しかない状態が続くことになります。

72+41=113個目まで10個以上は1種類です。

114個目に2種類の玉が10個以上になりますが、

またこの色が41個続いてしまうと、

2種類の状態が、113+41=154個目まで続くことになります。

したがって、最悪の場合、154+1=155個 です。

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