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2015年8月27日 (木)

おもりの重さは?(2010年算数オリンピック、トライアル問題より)

1g、2g、3g、4g、5gのおもりが1個ずっあります。いま、古いてんびんを使って重さを量ります。このてんびんは、古いために左右の皿にのっているおもりの重さのちがいが1g以内だとつり合ってしまい、次の図のように4通りの重さの量りかたをしても、3通りはつり合いました。このとき、ア~オのおもりはそれぞれ何gでしょうか?

1_5

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5個のおもりの重さの和は15gです。

したがって、てんびんの左右の皿にすべてのおもりが

のっている場合は、1g以下の違いなので、

7gと8gでつり合っていることがわかります。

このことから、アとイの和とオとイの和はそれぞれ、

7gか8gのどちらかだとわかります。

すべてのおもりの重さは異なるので、

どちらかが7gで、もう一方が8gのはずです。

2個で8gとなるのは、3gと5gの場合だけなので、

イは3gか5gのどちらかです。

●イが5gの場合

アとオは2gか3gのいずれかになります。

そのため、ウとエは1gか4gとわかります。

イをのぞいた4個のおもりの合計は10gです。

つり合っていない図から、2g以上の差があるので、

ウとアの合計は4g以下になります。

そこでウが1gとわかり、ウとオの合計は大きくても4gです。

しかし、エとイの合計は9gになり、

ウとオがエとイとつり合うことはありません。

よって、イは5gではないとわかります。

●イが3gの場合

アとオは4gか5gのいずれかになります、

そのため、ウとエは1gか2gです。

イをのぞいた4個のおもりの合計は12g、

つりあっていない図から、差が2g以上なので、

エとオの合計は7g以上とわかります。

よってエが2g、オは5gとなります。

そして、アとウもそれぞれ4g、1gとわかります。

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