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2015年8月22日 (土)

5人のコースと順位は?(2009年算数オリンピック、トライアル問題より)

5人で徒競走をしました。それぞれ1~5のいずれかのコースからスタートし、1~5位のいずれかになりました。下のそれぞれの発言を聞いて、5人のコースと順位を答えなさい。

亮二:ぼくより数の大きいコースの人がいて、

    その人全員にぼくは勝ったよ!!

雄一:3コースの人が優勝したよ。

知之:ぼくよりコースと順位が両方とも小さい人はいなかったよ。

    コースと順位が両方とも大きかった人もいなかったよ。

秀彰:私のコースは亮二君の順位と同じ数でしたね。

竹虎:ぼくはコースと順位の数が同じだったよ。

4141

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知之の発言から、知之よりコースが小さい人は順位が大きく、

コースが大きい人は順位が小さいことがわかります。

つまり、知之は1コースで5位、2コースで4位、

3コースで3位、4コースで2位、5コースで1位のいずれかです。

しかし、雄一が「3コースが1位」と言っているので、

3コースで3位、5コースで1位はありません。

知之が、2コースで4位の場合を考えてみます。

優勝した人は3コースで1位なので、

竹虎のコースと順位は5しかありえません。

しかし、知之よりコースも順位も小さい人はいないのだから、

これは知之の発言と矛盾してしまいます。

また、4コースで2位の場合も同様です。

つまり、知之は1コースで5位とわかります。

次に、亮ニのコースと順位を考えてみます。

亮二は自分よりコースの大きい人がいて、

その人には勝っていると言っているので、

もし、2コースだったら、

1位だった3コースの人にも勝っていることになってしまい、

矛盾してしまいます。

よって、3コースか4コースだとわかります。

亮ニが3コースの場合1位なので、

秀彰の発言より、秀彰は1コースになりますが、

1コースはすでに知之だと決まっています。

よって、亮ニは4コースになります。

すると、竹虎はコースも順位も一緒なので、

2コースで2位しか考えられません。

残っている順位は3位か4位ですが、

亮ニが4位の場合、秀彰も4コースになってしまい不適当、

よって、亮ニは3位とわかり、秀彰が3コースで1位、

雄一が5コースで4位と決まります。

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