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2015年8月 5日 (水)

1位は誰?(2010年算数オリンピック、ファイナル問題より)

A~H君の8人が100m競走を8回しました。

Aは8回のうち7回Bに勝ちました。

Bは8回のうち7回Cに勝ちました。

Cは8回のうち7回Dに勝ちました。

Dは8回のうち7回Eに勝ちました。

Eは8回のうち7回Fに勝ちました。

Fは8回のうち7回Gに勝ちました。

Gは8回のうち7回Hに勝ちました。

Hは8回のうち7回Aに勝ちました。

B君が8位だったときの1位はだれでしょうか。ただし、どの回も同着(2人以上が同じ順位になること)はありませんでした。

4141

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最下位に2回なった人がいたとします。

すると、その人は、必ず全員に少なくとも2回負けたことになり、

7回勝つことはないので、どれかの条件と必ず矛盾します。

つまり、全員が一度ずつ最下位になっていることがわかります。

次に、1位に2回なった人がいたとします。

すると、この人は必ず全員に2回は勝っています。

これも、誰かは7回勝つことはなくなるので、

どれかの条件と必ず矛盾します。

つまり、全員が一度ずつは必ず1位になっているます。

いま、Bが最下位だったときに、Cが1位ではなかったとします。

すると、CはBが最下位たったときと、

CがI位だったときの2回Bに勝つことになりますが、

これは条件に矛盾しています。

よって、Bが最下位たったときにCが1位だったとわかります。

実際に、

  A→B→C→D→E→F→G→H

  B→C→D→E→F→G→H→A

  C→D→E→F→G→H→A→B

  D→E→F→G→H→A→B→C

  E→F→G→H→A→B→C→D

  F→G→H→A→B→C→D→E

  G→H→A→B→C→D→E→F

  H→A→B→C→D→E→F→G

の場合に成りたちます。

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