１位は誰？（２０１０年算数オリンピック、ファイナル問題より）

Ａ～Ｈ君の８人が100m競走を８回しました。

Ａは８回のうち７回Ｂに勝ちました。

Ｂは８回のうち７回Ｃに勝ちました。

Ｃは８回のうち７回Ｄに勝ちました。

Ｄは８回のうち７回Ｅに勝ちました。

Ｅは８回のうち７回Ｆに勝ちました。

Ｆは８回のうち７回Ｇに勝ちました。

Ｇは８回のうち７回Ｈに勝ちました。

Ｈは８回のうち７回Ａに勝ちました。

Ｂ君が８位だったときの１位はだれでしょうか。ただし、どの回も同着（２人以上が同じ順位になること）はありませんでした。

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最下位に2回なった人がいたとします｡

すると、その人は、必ず全員に少なくとも2回負けたことになり、

７回勝つことはないので、どれかの条件と必ず矛盾します。

つまり、全員が一度ずつ最下位になっていることがわかります。

次に、１位に２回なった人がいたとします。

すると、この人は必ず全員に２回は勝っています。

これも、誰かは７回勝つことはなくなるので、

どれかの条件と必ず矛盾します。

つまり、全員が一度ずつは必ず１位になっているます｡

いま、Ｂが最下位だったときに、Ｃが１位ではなかったとします｡

すると、ＣはＢが最下位たったときと、

ＣがＩ位だったときの２回Ｂに勝つことになりますが、

これは条件に矛盾しています｡

よって、Ｂが最下位たったときにＣが１位だったとわかります｡

実際に、

　　Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ｇ→Ｈ

　　Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ｇ→Ｈ→Ａ

　　Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ｇ→Ｈ→Ａ→Ｂ

　　Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ｇ→Ｈ→Ａ→Ｂ→Ｃ

　　Ｅ→Ｆ→Ｇ→Ｈ→Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ

　　Ｆ→Ｇ→Ｈ→Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ

　　Ｇ→Ｈ→Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｆ

　　Ｈ→Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ｇ

の場合に成りたちます。

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