おもりは何個ある？（２０１２年算数オリンピック、トライアル問題から）

７ｇ赤い○のおもり、３ｇの赤い□のおもり、５ｇの青い○のおもり、４ｇの青い□のおもりがそれぞれ少なくとも１個、多くとも20個あるとします。それぞれの重さの個数は等しいとは限りません。

いま、次の１～３の条件を満たしています。

１．○のおもりの重さの和と□のおもりの重さの和が等しい。

２．赤いおもりの重さの和と青いおもりの重さの和が等しい。

３．赤いおもりの個数の和と青いおもりの個数の和が等しい。

このとき、それぞれのおもりは何個ずつありますか。

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問題の条件を式であらわしてみます。

赤い○のおもりの個数をＡ，□の個数をB，

青い○のおもりの個数をＣ，□の個数をＤとします。

①７×Ａ＋５×Ｃ＝３×Ｂ＋４×Ｄ

②７×Ａ＋３×Ｂ＝５×Ｃ＋４×Ｄ

③Ａ＋Ｂ＝Ｃ＋D

①と②の式から，７×Ａ＝４×Ｄと３×Ｂ＝５×Ｃが成り立つので，

ＡとＤの個数の組み合わせは(4，7)，(8，14)

BとＣの個数の組み合わせは(5，3)，(10，6)，(15，9)，(20，12)

のいずれかとなります。

これを③の条件で選ぶと，Ａ＝8，B＝15，C＝9，.D＝14

とわかります。

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