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2015年8月23日 (日)

正答率3%の難問!(2011年算数オリンピック、ファイナル問題より)

次の図は、CD=7cm、面積が18c㎡の四角形ABCDです。

また、2本の対角線BDとACは四角形ABCDの内部で交わっていて、BD=10cm 、AC=BC、角BCA=90度です。

このとき、三角形ACDの面積を求めなさい。

1_2

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2_3

三角形BCDを、点Cを中心として時計回りに90度回転させます。

BC=AC、角ACB=90度なので、BはAに重なります。

Dが回転した点をEとすると、

AEはBDを90度回転させたものなので、

AEとBDは直角に交わります。

よって、四角形ABEDの面積は10×10÷2=50c㎡。

三角形CDEは直角二等辺三角形なので、

面積は7×7÷2=24.5c㎡、

すると、三角形BCEの面積は50-24.5-18=7.5c㎡となります。

三角形ACDと三角形BCEについて考えると、

角ACD+角BCE=180度、さらにAC=BC、CE=CDなので、

90度回転させると、三角形ACDは三角形FCEに移ります。

よってBC=AC=CFなので、

三角形ACD=三角形BCE=7.5c㎡

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