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2015年8月

2015年8月31日 (月)

シンプルですが難しい!(2007年算数オリンピック、ファイナル問題より)

図の角度ⅹは何度ですか?

1

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下図のようにBCに対して△緑と対称な△黄を描き、

DEとBCの交点をFとします。

3

△青は二等辺三角形になるので、

角BED=(180-40)÷=70゜

また、下図の△青も二等辺三角形になるので、

BA=BD=BE

4

すると、△水色も頂角60゜の二等辺三角形になり、

これは正三角形です。

5

角ACB=180-(100+40)=40゜なので、

△赤は二等辺三角形で、AB=AC=AE

角EAD=80-60=20゜=角CAD

したがって、△黄と△緑は合同になるので、

角AED=角ACD=角ⅹ=70-60=10゜

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2けたの整数Aは?(神戸女学院中学部 2009年) 

ある整数Aを6で割った余りを(A)、7で割った余りを{A}と表します。

 (1) (A)+{A}=0となる2けたの整数Aをすべて求めなさい。

 (2) (A)×{A}=12となる2けたの整数Aをすべて求めなさい。

Mpsb1101cs

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 (1) (A)+{A}=0ならば、(A)も{A}も0となります。

すなわち、6でも7でも割り切れる数ということなので、

2けたの整数では、42、42×2=84 が当てはまります。

 

 (2) (A)×{A}=12 のとき、

(A)、{A} の組は、 (2,6)、(3,4)、(4,3)の3通りあります。

 

(A)=2、{A}=6のとき、A=20、20+42=62

(A)=3、{A}=4のとき、A=39、39+42=81

(A)=4、{A}=3のとき、A=10、10+42=52、52+42=94

となり、Aは7通りあります。

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2015年8月29日 (土)

面積はおよそ何c㎡?(共立女子中学 2011年)

下の図の影をつけた部分の面積はおよそ何c㎡ですか。

最も近いものを次のア~オの中から選んでください!

ア、7.6c㎡  イ、8c㎡  ウ、9.2c㎡  エ、14.4c㎡  オ16c㎡

P829

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図のように、はみ出した部分を平行移動すると、

平行四辺形になり、高さは底辺のおよそ2倍です。

P8292

底辺の長さを、□cmとすると、

面積は、□×2×□ となるので、

面積を2で割ると、□×□になるものを探すと、

イの8÷2=4=2×2 なので、

イの8c㎡です。

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この展開図を組み立てると?(学習院女子中等科 2010年)

図1のような紙を折って、図2のような直方体の箱を作ります。

このとき、上の面は一部重なります。紙の厚さは考えないものとし、

次の問に答えなさい。図1の ・ は4cm間隔で並んでいます。

  Pic_2206q

(1)図1の紙を折って箱を組み立てたとき、

図1で点P と重なるすべての ・ を ○ で囲みなさい。

(2)図1の紙を組み立てたときに、紙が3枚重なる部分の面積を求めなさい。

(3)図2の点A,Bを通り、上の面に垂直な平面で箱を切って、2つに分けます。

このとき、点Pを含む部分は、元の紙(図1)ではどの部分になるか、

図1に描きなさい。

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 (1)図1より、点Pは、点Bがある方から12cm、

点A から20-12=8cm の位置とわかります。

 

このことから、点Pと重なるのは、下の図4の2つの点となります。

  Pic_2207a

 (2)紙の重なり方は、下の図5のようになります。

        Pic_2208a

3枚の紙が重なる部分は、図5の黄色い部分で、その面積は、

 12×12÷2+8×8÷2=104c㎡ です。

 

 (3)点A,Bを結んだ線で立体を切るとき、真上から見ると、

下の図6のようになります。

        Pic_2209a

これを展開すると、下の図7の黄色い部分が点Pを含む部分です。

   Pic_2210a

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2015年8月28日 (金)

どちらに何m離れているか?(青山学院中等部 2013年)

東西にのびた道にA,B,C,D,E の5つの地点があります。

A の東80mにBがあり、C の西40mにDがあります。

DとE は110m、C とBは130m離れていて、

BはE のとなりに、CはAとDの間にあります。

CとE のまん中の地点は、

Aから見てどちらの方角へ何mのところにありますか。

Apf0107s

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A の東80mにBがあり、C の西40mにDがあり、

CはAとDの間にあり、BとCが130m離れているので、

下の図1のようになります。

  Pic_3577a

次に、BはE のとなりで、DとEは110m離れているので、

下の図2のようになることがわかります。

  Pic_3578a

このことから、CとE のまん中の地点は、Aから西へ15m

地点ということがわかります。

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2015年8月27日 (木)

おもりの重さは?(2010年算数オリンピック、トライアル問題より)

1g、2g、3g、4g、5gのおもりが1個ずっあります。いま、古いてんびんを使って重さを量ります。このてんびんは、古いために左右の皿にのっているおもりの重さのちがいが1g以内だとつり合ってしまい、次の図のように4通りの重さの量りかたをしても、3通りはつり合いました。このとき、ア~オのおもりはそれぞれ何gでしょうか?

1_5

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5個のおもりの重さの和は15gです。

したがって、てんびんの左右の皿にすべてのおもりが

のっている場合は、1g以下の違いなので、

7gと8gでつり合っていることがわかります。

このことから、アとイの和とオとイの和はそれぞれ、

7gか8gのどちらかだとわかります。

すべてのおもりの重さは異なるので、

どちらかが7gで、もう一方が8gのはずです。

2個で8gとなるのは、3gと5gの場合だけなので、

イは3gか5gのどちらかです。

●イが5gの場合

アとオは2gか3gのいずれかになります。

そのため、ウとエは1gか4gとわかります。

イをのぞいた4個のおもりの合計は10gです。

つり合っていない図から、2g以上の差があるので、

ウとアの合計は4g以下になります。

そこでウが1gとわかり、ウとオの合計は大きくても4gです。

しかし、エとイの合計は9gになり、

ウとオがエとイとつり合うことはありません。

よって、イは5gではないとわかります。

●イが3gの場合

アとオは4gか5gのいずれかになります、

そのため、ウとエは1gか2gです。

イをのぞいた4個のおもりの合計は12g、

つりあっていない図から、差が2g以上なので、

エとオの合計は7g以上とわかります。

よってエが2g、オは5gとなります。

そして、アとウもそれぞれ4g、1gとわかります。

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色のついた部分の面積は?(慶應義塾普通部 2008年)

正方形ABCDがあって、これがぴったりおさまるような円を描き、

その円がぴったりおさまるように正方形PQRSを描いたところ、

正方形PQRSの面積は800c㎡ になりました。

    Pic_0515

(1)辺ABの長さを求めなさい。

(2)図の色のついた部分の面積を求めなさい。

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 (1)下図のように正方形ABCDを回転させてみると

Pic_0516

正方形ABCDの面積は正方形PQRSの面積の半分なので、

800÷2=400c㎡ です。

400=20×20 なので、AB=20cmです。

 

(2)色のついた部分の面積は、

20÷2=10cmを半径とした半円の交わった部分なので、

8271

緑部分は1辺が10cmの正方形になるので、

半円から緑部分を引いた面積の4倍が求める面積になります。

(10×10×3.14×180/360-10×10)×4

=57×4=228c㎡ です。

 

<別解>

正方形内部の木の葉形の面積は、

正方形の面積の57%になることを知っていれば、

400×0.57=228c㎡ と計算ができます。

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2015年8月26日 (水)

2008になる数は?(2008年算数オリンピック、トライアル問題より)

ある整数に、

その整数の各位の数字をたしたら2008になりました。

そのような数字を2通り求めなさい。

Apf0107s_2

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そんな数の千の位をア、百の位をイ、十の位をウ、一の位をエ

とすると、

その数+各位の和=

1000×ア+100×イ+10×ウ+エ+ア+イ+ウ+エ=

1001×ア+101×イ+11×ウ+2×エ

したがって、アは1か2となります。

ア=2のときは、イ=ウ=0、エ=3 だけが条件を満たし、

2003

ア=1のとき、イは8か9が考えられますが、

イ=8だと、ウ=エ=9としても、

1001×1+101×8+11×9+2×9=1926となり、不適当、

イ=9 なら、

1001×1+101×9+11×ウ+2×エ=2008 とおくと、

11×ウ+2×エ=98 となり、

これを満たすウとエの組み合わせは、

ウ=8、エ=5 で、

1985 となります。

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最も多いのは何枚?最も少ないのは何枚?(立教池袋中学 2014年)

Pic_4127q

上の図のような、3種類の正三角形のカードがたくさんあります。

これらを重ならないように、すき間なく並べて、

1辺が 7cm の正三角形を作ります。

ただし、3種類のカードをそれぞれ少なくとも 1枚は使います。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)3種類のカードの合計枚数が最も多いのは、何枚のときですか。

(2)3種類のカードの合計枚数が最も少ないのは、何枚のときですか。

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 (1)1辺 2cmの正三角形は、1辺1cmの正三角形の4個分、

1辺 3cmの正三角形は、1辺1cmの正三角形9個分の面積で、

1辺 7cmの正三角形は、1辺1cmの正三角形49個分の面積

です。

 

それぞれ、少なくとも1枚使うので、カードの合計枚数が

最も多いのは、1辺 3cmの正三角形1枚、1辺 2cmの正三角形

1枚、残りの部分を1辺 1cm の正三角形にしたときで、

1辺 1cm の正三角形は、49-(9+4)=36枚 必要なので、

カードの合計枚数が最も多いのは、

 36+1+1=38枚

です。

 

 (2)1辺7cm の正三角形を、1辺 3cm、2cm、1cm の

正三角形を用いて、枚数を少なくして作らなければなりません。

 

そこで、1辺について考えます。

  7cm=3cm+3cm+1cm

  7cm=3cm+2cm+2cm

となるので、下の図1、図2、図3、図4が考えられます。

(他にもあるかもしれませんが)

Pic_4129a

図1では、1辺 2cmの三角形を作ることができません。

図2では、1例として、下の図5のようなときが最も少ない枚数で、

    Pic_4130a

3+3+10=16枚になります。

 

一方、図3、図4では、下の図6,図7のようになります。

   Pic_4131a

枚数は、2+7+3=12枚 です。これ以上少なくすることは

できません。よって、最も枚数が少なくなるのは、12枚です。

 

なお、下の図8のような並べ方もあります。

    Pic_4132a_2

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点Pが出発してから何秒後?(大阪星光学院中学 2012年)

下の図のように、

AB=10cm、BC=8cm、CA=6cm の直角三角形ABCがあり、

辺AB、AC上にそれぞれAD=5cm、AE=2cmとなる点D,E をとります。

いま三角形ABCの辺上を点P がBを出発して

毎秒2cmで B→C→A→D の順にDまで動きます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3126q

(1)三角形ADE の面積を求めなさい。

(2)三角形PDE の面積が 6c㎡ となるのは出発して何秒後ですか。

   すべて求めなさい。

(3)三角形PDE の面積が 3c㎡ となるのは出発して何秒後ですか。

   すべて求めなさい。

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(1)点Dから辺AC に垂線を下ろし、交点を点F とすると、

三角形ADF と三角形ABC は相似で、AD:AB=1:2 より、

下の図1のように、DF=8÷2=4cm とわかります。

Pic_3127a

よって、三角形ADE の面積=2×4÷2=4c㎡ です。

 

(2)まず、点P がBを出発するとき、三角形PDE の面積、

すなわち三角形BDE の面積を調べると、

下の図2のように点E から辺AB に垂線を下ろし、交点を点G とすると、

Pic_3128a

EG の長さは、(1)より、三角形ADE の面積=4c㎡ なので、

4×2÷5=1.6cm とわかり、

三角形BDE の面積=5×1.6÷2=4c㎡ です。

(BD=AD=5cmなので、BD : AD = 1 : 1 より、

  三角形ADEの面積=三角形BDEの面積)

また、点PがC に達したときの面積=三角形CDE の面積 は、

4×4÷2=8c㎡ です。

 

面積が 4c㎡ → 8c㎡ に、4秒かかって変化するとき、

面積が 6c㎡ になるのは、いつか考えると、4c㎡ 増えるのに4秒かかるので、

2c㎡ 増えるのは 2秒後とわかります。

次に、点P が点E に達すると、三角形PDE の面積は 0 になり、

頂点C から点E まで移動する間の2秒間に、面積が 8c㎡から0になるので、

三角形PDE の面積が6c㎡ になるのは、

 8c㎡ 減少するのに 2秒かかるので、

 2c㎡ 減少するのに 0.5秒かかります。

頂点C には4秒かかって達するので、

辺AC上に点Pが移動して三角形PDE の面積が6c㎡ となるのは、

4+0.5=4.5秒後

とわかります。

点P が点E → 点A → 点D へ移動する間には、三角形ADE=4c㎡ なので、

三角形PDE の面積が6c㎡ になることはありません。

ゆえに、三角形PDE の面積が6c㎡ となるのは、 

2秒後 と 4.5秒後 です。

 

(3)三角形BDE の面積=4c㎡、三角形CDE の面積=8c㎡なので、

点P が点B → 点C へ移動する間に

三角形PDE の面積が3c㎡ となることはありません。

点Pが点C → 点E に移動する間に三角形PDE の面積が3c㎡になるのは、

(2)と同様に考えると、三角形CDE→三角形DEE

8c㎡ 減少するのに2秒かかる

5c㎡ 減少するのには、2÷8×5=1.25秒かかります。

 

次に、点Pが点E → 点A に移動する間に三角形PDE の面積が3c㎡ となるのは、

三角形DEE→三角形DEA

4c㎡ 増加するのに1秒かかる

3c㎡ 増加するのには、0.75秒かかります。

さらに、点Pが点A → 点D に移動する間に

三角形PDE の面積が3c㎡ となるのは、点A から点D への移動に、

5÷2=2.5秒 かかるので、

三角形DEA→三角形DDE

4c㎡ 減少するのに 2.5秒かかる

1c㎡ 減少するのに 2.5÷4=0.625秒かかります。

よって、点C に点P が達するのに4秒かかるので、

三角形PDE の面積が3c㎡ となるのは、

 4+1.25=5.25秒後

 6+0.75=6.75秒後

 7+0.625=7.625秒後

の3回です。

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2015年8月25日 (火)

最も短い道順は何通り?(頴明館中学 2014年)

AからBまで行く、最も短い道順は何通りありますか?

P8251

図のように、各交点までの道順を積み上げていくと、

84通りになります。

P8252

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4人の順位は?(東京都市大学等々力中学 2014年)

A君、B君、C君、D君の4人が50m走をし、

その結果について次のように述べています。

A君「僕は3位の人より2秒早くゴールした。」

B君「僕は秒速5mの速さで走った。」

C君「僕の記録は12.5秒だった。」 

D君「僕は4位の人の2倍の速さで走った。」

このとき、4人の順位はどうなっていましたか。

また、2位の人の速さは毎秒何mですか。

Hasiru

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B君のタイムは、50÷5=10秒なので、

順位はC君より上になります。

A君とD君の順位の可能性は下図のように12通りありますが、

825

A君は1位か2位で、D君は4位ではないので、この条件に合うのは、

3、5、6、11の4通りになりますが、

3と11はD君が12.5÷2=6.25秒なので、B君より遅いわけはなく、

5もA君が10-2=8秒なので、D君の6.25秒より速くないので、

6の、

D(6.25秒)、A(8秒)、B(10秒)、C(12.5秒)の順番になります。

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2015年8月24日 (月)

難問に挑戦(第11回算数オリンピック、ファイナル問題)

長方形ABCDの辺上に4点P、Q、R、Sを図のようにとり、PRとQSの交点をOとします。三角形PQOの面積と三角形RSOの面積が等しく、それぞれ30c㎡であるとき、長方形ABCDの面積を求めなさい。

1

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こたえ

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最も少なくてすむのは?(慶應義塾中等部 2005年)

下の図のような三角形の土地の周上に等間隔に木を植えます。

3つの頂点には木を必ず植えるものとすると、何本の木を植えたときが、

木の本数が最も少なくてすみますか?

8246

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最大公約数を見つけます。

2×3×7=42が最大公約数なので、

168÷42=4なので、木は3本

252÷42=6なので、木は5本

210÷42=5なので、木は4本

頂点の3本を加えて、

3+5+4+3=15本

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台形の性質は?(2015年 筑波大学附属駒場中学)

辺BCの長さが20cmで,辺ADと辺BCが平行である台形ABCDがあります。

図のように,辺BC上に2点P,Qがあり,直線APと直線DQが交わる点をRとします。

またBP,QCの長さをともに8cmとすると,

三角形ABPと三角形PQRの面積が等しくなります。

4点B,P,Q,Cはこの順にならんでいて,

PQの長さはADの長さより短いものとします。

辺ADの長さは何cmですか。

8241

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△ABPと△PQRの面積が等しいので、

△ABRと△QBRも面積が等しくなります。

8242

△ABRと△QBRは底辺が共通なので、高さが等しくなるので。

AQとBRは平行になり、四角形ABRQは台形になります。

△APQと△PBRは相似になり、相似比は4:8=1:2

AP:PR=1:2

△ARDと△PRQも相似で、相似比は(1+2):2=3:2

したがって、AD=4×3/2=6cm

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2015年8月23日 (日)

正答率3%の難問!(2011年算数オリンピック、ファイナル問題より)

次の図は、CD=7cm、面積が18c㎡の四角形ABCDです。

また、2本の対角線BDとACは四角形ABCDの内部で交わっていて、BD=10cm 、AC=BC、角BCA=90度です。

このとき、三角形ACDの面積を求めなさい。

1_2

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2_3

三角形BCDを、点Cを中心として時計回りに90度回転させます。

BC=AC、角ACB=90度なので、BはAに重なります。

Dが回転した点をEとすると、

AEはBDを90度回転させたものなので、

AEとBDは直角に交わります。

よって、四角形ABEDの面積は10×10÷2=50c㎡。

三角形CDEは直角二等辺三角形なので、

面積は7×7÷2=24.5c㎡、

すると、三角形BCEの面積は50-24.5-18=7.5c㎡となります。

三角形ACDと三角形BCEについて考えると、

角ACD+角BCE=180度、さらにAC=BC、CE=CDなので、

90度回転させると、三角形ACDは三角形FCEに移ります。

よってBC=AC=CFなので、

三角形ACD=三角形BCE=7.5c㎡

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ダブルとトリプルで5枚になるのは何通り?( 玉川学園中学 2013年)

ジョーカーを除く52枚のトランプがあります。

トランプの同じ数字が2枚集まるとダブル、3枚集まるとトリプルといいます。

トランプを5枚集めたとき、ダブルとトリプルで5枚になるのは何通りありますか?

115846755_640

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1がダブル、2がトリプルになる場合を考えてみます。

ダブルの場合の組み合わせは、

ダイヤ-スペート

ダイヤ-ハート

ダイヤ-クラブ

スペート-ハート

スペート-クラブ

ハート-クラブ

以上6種類、

トリプルの場合は、1種類だけないので4種類の組み合わせが考えられます。

すると、組み合わせの合計は、6×4=24通りです。

1がダブルの場合、トリプルは12種類なので、

1~13までのダブルを考えると、13×12=156種類の組み合わせになります。

1のトリプルは、1がダブルになる場合以外にすべて入っているので、

各数字のトリプルについてはもう考える必要はありません。

したがって、組み合わせの総数は、

24×156=3744通りになります。

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1000円以下にするためには?(2012年 成城学園中学)

あるグランドを借りてサッカーの練習をすることにしました。

費用はグランドの使用料と参加人数分の弁当代です。

50人が参加すれば1人あたりの費用は1320円になり、

60人が参加すれば1240円になります。

(1)弁当1個の値段はいくらですか。

(2)1人あたりの費用を1000円以下にするためには、

   何人以上の参加者が必要ですか。

Sport645301_640

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50人のときの総費用は、1320×50=66000円

60人のときの総費用は、1240×60=74400円

その差は10人分の弁当代です。

したがって、弁当の値段は、(74400-66000)÷10=840円

グラウンド代は、66000-840×50=24000円

1000円以下になる人数を□とすると、

24000+840×□=1000×□ になればいいので、

24000=160×□ となり、

□=150

150人以上です。

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2015年8月22日 (土)

5人のコースと順位は?(2009年算数オリンピック、トライアル問題より)

5人で徒競走をしました。それぞれ1~5のいずれかのコースからスタートし、1~5位のいずれかになりました。下のそれぞれの発言を聞いて、5人のコースと順位を答えなさい。

亮二:ぼくより数の大きいコースの人がいて、

    その人全員にぼくは勝ったよ!!

雄一:3コースの人が優勝したよ。

知之:ぼくよりコースと順位が両方とも小さい人はいなかったよ。

    コースと順位が両方とも大きかった人もいなかったよ。

秀彰:私のコースは亮二君の順位と同じ数でしたね。

竹虎:ぼくはコースと順位の数が同じだったよ。

4141

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知之の発言から、知之よりコースが小さい人は順位が大きく、

コースが大きい人は順位が小さいことがわかります。

つまり、知之は1コースで5位、2コースで4位、

3コースで3位、4コースで2位、5コースで1位のいずれかです。

しかし、雄一が「3コースが1位」と言っているので、

3コースで3位、5コースで1位はありません。

知之が、2コースで4位の場合を考えてみます。

優勝した人は3コースで1位なので、

竹虎のコースと順位は5しかありえません。

しかし、知之よりコースも順位も小さい人はいないのだから、

これは知之の発言と矛盾してしまいます。

また、4コースで2位の場合も同様です。

つまり、知之は1コースで5位とわかります。

次に、亮ニのコースと順位を考えてみます。

亮二は自分よりコースの大きい人がいて、

その人には勝っていると言っているので、

もし、2コースだったら、

1位だった3コースの人にも勝っていることになってしまい、

矛盾してしまいます。

よって、3コースか4コースだとわかります。

亮ニが3コースの場合1位なので、

秀彰の発言より、秀彰は1コースになりますが、

1コースはすでに知之だと決まっています。

よって、亮ニは4コースになります。

すると、竹虎はコースも順位も一緒なので、

2コースで2位しか考えられません。

残っている順位は3位か4位ですが、

亮ニが4位の場合、秀彰も4コースになってしまい不適当、

よって、亮ニは3位とわかり、秀彰が3コースで1位、

雄一が5コースで4位と決まります。

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あいている所に入る数字は?(大宮開成中 2014年)

下の図はサイコロの展開図です。

サイコロは向かいあった面の数の和が7になります。

あいている所にあてはまる数字を入れてください。

P8221

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P8222

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鉄橋の長さは?電車の長さは?(大宮開成中学 2014年)

秒速20mの電車が鉄橋を渡り始めてから、

25秒後に電車の先頭が鉄橋の長さの5/8のところまで来ました。

それから、20秒後に鉄橋を渡り終えました。

(1)鉄橋の長さは何mですか。

(2)電車の長さは何mですか。

Ilm02_ad11007s

822

鉄橋の5/8が、20m×25秒 =500m なので、

鉄橋の長さは、500m÷5/8=800m

電車の先頭が鉄橋の終わりまで進む時間は、

800m÷20m=40秒

そこから電車が渡りきるまでが、45秒-40秒=5秒

電車の長さは、20m×5秒=100m

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2015年8月21日 (金)

まわりの長さは何cm?(第6回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

長方形ABCDの周の長さは何cmですか。ただし、色部分は正方形です。

1_2

ちょっとした機転をきかして・・・・

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Bandicam_20140321_102145062

では、それにたての長さを加えたら・・・

Bandicam_20140321_102245468

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斜線部分の面積は?(青稜中学 2014年)

下の図は、同じ大きさの8つの正方形と、面積が90c㎡の正方形を重ねたものです。

このとき、斜線部分の面積は何c㎡ですか。

8211

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図のように、黄色い直角三角形をアに、

緑の直角三角形をイに移動すると、

青い太線で囲まれた中に、小さい正方形が10個あることがわかります。

8212

小さい正方形の面積は、90÷10=9c㎡

1辺の長さは、3cmになるので、

赤い直角三角形の面積は、6×2÷2=6c㎡

したがって、求める面積=90-6×4=66c㎡

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2015年8月20日 (木)

「動く歩道」の進む速さは?(城北中学 2013年)

P地点からQ地点まで、一定の速さで進む「動く歩道」があります。

A君はPから「動く歩道」に乗り、はじめの1分間は立ったたまま乗っていましたが、

PからQまでの距離のちょうど3/4進んだ地点からQまで歩きました。

A君が「動く歩道」の上を歩く速さは秒速1.2mで、

PからQまで1分8秒かかりました。

このとき、「動く歩道」の進む速さは秒速何rnですか。

Hodo

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全体の3/4を1分で進んだので、1/4は20秒です。

歩いた1/4は8秒だったので、

速さの比はかかった時間の逆比で、8:20=2:5

動く歩道の速さを秒速□mとすると、

□:(□+1.2)=2:5

2×(□+1.2)=5×□

2×□+2.4=5×□

2.4=3×□ になるので、

□=0.8m

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2015年8月19日 (水)

アに入る数はいくつ?(鎌倉学園中学 2014年)

アに入る数はいくつ?

P819

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分子を合計すると、

(120+1)×120÷2=7260

ア=7260÷605=12

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正方形の一辺の長さは何cm?(2015年 愛知淑徳中学)

下の図のような底面が正方形で高さが30cmの四角すいの形をした容器と、

0.65dLの水が入るグラスがあります。

このグラス26はい分の水で、容器はちょうどいっぱいになります。

この容器の底面の正方形の一辺の長さは何cmですか。

819

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1dL=100mL=100立方cm なので、

0.65×26=16.9dL=1690立方cm=四角すいの体積

1690×3÷30=169c㎡=底面の面積

169=13×13 なので、

正方形の一辺=13cm

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2015年8月18日 (火)

これだけでほんとにわかるの??(2009年算数オリンピック、トライアル問題より)

1~13の数字が1つずつ書かれたカードがそれぞれ4枚ずつ、合計52枚あります。いま、26人にこのカードを2枚ずつ配ったところ、田中君と鈴木さんのカードの和だけが等しく、他の人たちのカードの和はすべて異なっていました。田中君の2枚のカードの和を求めなさい。

Toy3013s

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2枚のカードの和の最小の場合は、1が2枚で2です。

最大の場合は、13が2枚で26です。

したがって、和としてありえるのは2~26の25種類だとわかります。

26人に配ったとき、2人を除いて全員違う和になったので、

25種類の和がすべてあり、

さらにその中の1つの和だけ2人いるということになります。

52枚のカードの和は、(1+13)×13÷2×4=364

これから、2~26の和を引けば、

同じになった和の数になるはずです。

364-(2+26)×25÷2=14

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この中に正三角形はいくつある?(香蘭女学校中等科 2014年)

下の図は、正三角形のタイルで作った台形です。

この中に正三角形は大小合わせていくつありますか。

818

1辺が1の一番小さな正三角形は21個

1辺が2の図のような正三角形は、上向きが7個、

8181

下向きが3個

8182

1辺が3の正三角形は3個

8183

合計、21+7+3+3=34個

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2015年8月17日 (月)

9枚のカードの和は?(第10回算数オリンピック、トライアル問題より)

数字の5、9、17が書かれたカードがそれぞれ10枚ずつ合計30枚あります。 今、この30枚の中から適当に9枚のカードをとりだしてその和を計算しました。この9枚のカードの和として考えられる数は下の(ア)~(エ)のうちどれですか。

(ア)90(イ)95(ウ)100(エ)105

Apf0507s

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5、9、17はすべて奇数なので、奇数9個の和は奇数になります。

したがって、(イ)95か(エ)105が答です。

ここで5をx枚、9をy枚、17をz枚として、

面積図で考えると、以下のようになります。

1
(イ)95の場合、

白い部分の面積の和は、95-5×9=50

4×y+12×z=50 になるのですが、

これを満たす整数y、zは存在しません。

(エ)105の場合、

白い部分の面積の和は、105-5×9=60

4×y+12×z=60 より,

(y,z)=(0,5),(3,4),(6,3),(9,2)

x+y+z=9なので、

条件にあてはまるのは、

(x,y,z)=(4,0,5),(2,3,4),(0,6,3)

以上から求める答は(エ)105です。

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8つの頂点を含まない立体の体積は?(2015年 渋谷教育学園渋谷中学)

一辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHがあります。

8つの平面BDE,CAF,DBG,ACH,AFH,BGE,CHF,DEGで同時に切ったとき,

8つの頂点A,B,C,D,E,F,G,Hを含まない立体の体積は何立方cmですか。

Bandicam_20150817_071808844

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一つの切断面は図のような正三角形になります。

Capture_2015_08_17_06_48_17_468

残った立体は図のような上下に正四角すいをくっつけた正八面体 になります。

Capture_2015_08_17_06_43_43_562

体積は、6×6×1/2×6×1/3=36立方cm

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2015年8月16日 (日)

水泳だけを習っている人は?(昭和女子大学付属昭和中学 2014年)

40人のクラスで、水泳を習っている人は全体の60%です。

ピアノを習っている人の半分は水泳も習っています。

両方習っている人と、どちらも習っていない人の人数が同じとき、

水泳だけを習っている人は何人ですか。

Hiva0117cs

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黄=白なので、黄=緑 より 黄=緑=白=16÷2=8人

水泳だけ習っている人=水色=24-8=16人

816

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2015年8月15日 (土)

6つに区切られた36マス(2010年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題から)

図のような36マスに、次の4つの条件を満たすように数字を入れていきます。

①6つの行のどの行にも1~6が1つずつ入っている。

②6つの列のどの列にも1~6が1つずつ入っている。

③2つの対角線上の6マスにも1~6が1つずつ入っている。

④太線で囲まれた6つの部分に入る数字の積はすべて等しい。

1

太線で囲まれた部分に入る数字の積はいくつですか?

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----------------------------------------------------

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①~③の条件より、1~6が6つずつあることがわかります。

太線で囲まれた部分は6つあって、

それぞれの部分に入る数字の積が等しいので、

その積は1~6を1回ずつかけた、

1×2×3×4×5×6=720 になります。

4個の場合(1×6=)6、(2×3=)6、4、5

8個の場合

1、1、2、2、2、3、5、6→(1×2=2)、(2×2=4)

など、まとめたり分解したりしても

1~6までを1つずつかけた720になります。

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この立体の体積は?( 清風南海中学 2014年)

図は、ある立体の展開図です。

三角形ABL、BCD、KHIはそれぞれ直角二等辺三角形であり、

四角形BDGL、DEFG、LGHKはそれぞれ1辺が6cmの正方形です。

この立体の体積は何立方cmですか。

815

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この立体を組み立てると、図のように、立方体から

直角二等辺三角形を底面とし、

高さが6cmの三角すいを切り取った立体になります。

Capture_2015_08_15_04_17_08_734

したがって、求める体積は、

6×6×6-6×6×1/2×6×1/3

=36×6-36

=36×5

=180立方cm

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2015年8月14日 (金)

最初の1束には何本の鉛筆が?(灘中学 2010年)

3600本の鉛筆を同じ本数のいくつかの束に分けました。

1束の鉛筆を3本ずつ減らすと束の数が60個増えました。

最初の1束には何本の鉛筆が入っていたでしょうか?

Akaao

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図のように、黄色部分の合計が60個の束を作りました。

P814

黄色1つ分は3本なので、

A本×60束=3本×□束

A×20=□ この関係を満たすAと□を探します。

ただし、(A+3)×□=3600 にならなくてはなりません。

A=10 でも □=200 となり、

13×200=2600 で 3600にはなりません。

A=12のとき、□=240 となり、

15×240=3600 となって、条件を満たします。

したがって、最初は12+3=15本の束が240個あったことになります。

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この本は全部で何ページ?(成城学園中学 2014年)

Aさんが読んだ本のページ数は、1日目が全体の1/5より6ページ多く、

2日目が残りの1/6より4ページ少なかったです。

また、2日目に読んだページ数は1日目の半分でした。

この本は全部で何ページですか。

1

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図のように2日目に読んだページ数をAとすると、

1日目は2×Aです。

814

全体を1、1ページを①とすると、

1日目は1/5+⑥ 読んだので、A=(1/5+⑥)÷2=1/10+③

1日目に読み終わった残りページの1/6は、1/10+③+④=1/10+⑦

全体は、2/10+⑥+(1/10+⑦)×6

=8/10+48マル

つまり、全体の2/10=1/5が48ページに相当することがわかります。

したがって、ページ数は48×5=240ページです。

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2015年8月13日 (木)

角ABCは何度?(2008年算数オリンピック、トライアル問題から)

下の三角形ABCと三角形DEFは、AB=AC=EF、DE=DF、

BC=AB+DE、角DEFは角ABCの2倍です。

このとき、角ABCは何度ですか。

1_4

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----------------------------------------------------

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同じ長さの辺と同じ大きさの角度をまとめてみます。

2

△DEFを△ABCに図のように重ねます。

3

∠DACは180-(①+①)+②=180゜ なので、

DACは直線です。

すると、△DBCは二等辺三角形になることがわかります。

∠D=①+②=③となるなので、

③×2+①=⑦=180゜

①=180/7 度です。

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色部分の面積は?(大阪星光学院中学 2014年)

下の図は半径18cmの半円です。

色部分の面積は何c㎡ですか。

円周率は3.14とします。

8131_2

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図のように、おうぎ形COBの中心角は30°になります。

また、△OACは二等辺三角形なので、Oから辺ACに垂線をおろすと、

直角三角形2つに分割でき、その2つを重ねると、

図のような△O’AOができます。

8132

△O’APは30、60、90°の直角三角形で正三角形の半分ですから、

O’Pは9cmになります。

したがって、求める面積は、

18×18×3.14×1/2-(18×18×3.14×1/12+18×9×1/2)

=508.68-(84.78+81)

=342.9c㎡

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2015年8月12日 (水)

流水算と旅人算(Sapix マンスリーテストより)

「(1)までしかできなくて・・・」

川の上流に甲地が、下流に乙地があります。船Aが甲地を、船Bが乙地を同時に出発しました。船Aと船Bは出発してから20分後にはじめてすれちがい、その10分後に船Aが乙地に着きました。船Aの静水上を進む速さは分速60m、船Bの静水上を進む速さは分速75mです。

(1)甲地から乙地までの距離は何mですか?

(2)この川の流れの速さは分速何mですか?

(3)船Aと船Bは甲地、乙地に着くとすぐに折り返して、それぞれが出発した地点に向かいました。船Aと船Bが2度目にすれちがうのは、甲地から何mのところですか?

「まず図にしてみようね」

Zu1

「イメージしやすくなった」

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「川の流れの速さを

Nagare

で表してみると、20分後にはじめてすれちがったときは・・・」

Gif8121

 

「Aの速さは 60m+川の速さ、Bの速さは75m-川の速さ」

「向かい合って近づく旅人算だから、速さはA+B」

(60m+川の速さ)+(75m-川の速さ)=135m

「川の速さがなくなっちゃう」

「つまり静水上と同じ」

「20分だから135m×20分で2700m」

「(2)はその10分後に注目」

Gif8122

 

「10分後だからAは甲から乙まで30分で行ったわけだ」

「2700mをね」

「分速90m」

「静水上が60mなんだから?」

Nagare

「この川の流れの速さは、90-60で分速30mだ」

「(3)だけど、Bが甲地に着くのは出発してから何分後かな?」

Gif8123

 

「えーと、75mから川の流れを引いて45mだから、2700を45mで割って60分」

「そのときAはもう乙を折り返してきているね」

「折り返してから30分たってる」

「どのくらい進んでいる?」

「これも60mから30m引いて30m×30分だから900m」

「AとBの距離は?」

「2700-900で1800m」

「あとはまた向かい合う旅人算」

Nagare

「これは考えなくていいから・・・」

1800÷(60+75)=13と1/3分

Gif8124

 

「Bの下りの速さは?」

「75+30で105m、13と1/3分だから甲地から1400m」

「そうだね」

「これ流水算と旅人算が混ざってる」

「試験の大問はこうなってくるでしょ」

Ha

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西暦が昭和の年数の倍数?(2012年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題から)

昭和は1年~64年まであり、昭和元年(1年)は西暦1926年です。西暦が昭和の年数の倍数になっている年数は全部でいくつありますか。

Ilm03_aa08014s

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西暦と昭和の年数差は常に1925です。

したがって、西暦が昭和の年数の倍数になるのは、

昭和の年数が1925の約数になるときです。

64以下の約数は、

1、5、7、11、25、35、55 の7通りです。

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海へ行く人は何人?(工学院大学附属中学 2014年)

K中学校の1年生の男女比は31:21です。

遠足で海へ行く人と山へ行く人の比が8:5でした。

もし、あと10人山へ行く人が多ければ、海へ行く人と山へ行く人の比は7:5となります。

(1)海へ行く人は何人ですか。

(2)中学1年生の女子は何人ですか。

Ilm22_bc04025s

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図のように、全体の1/13を①としてみると、

1/12は13/12マルになります。

812

5×13/12マル-5×①=10人 なので、

5×(13/12マル-①)=10人

1/12マル=2人

①=24人 になります。

(1)は、24×8=192人

(2)は、24×13×21/52=126人

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2015年8月11日 (火)

いくつ取り出せばいいか?(2008年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題から)

袋の中に同じ大きさの8種類の色の玉がそれぞれ50個ずつ入っています。この袋の中から色を見ないで1回だけいくつかの玉を取り出し、どのような取り出しかたをしてもその中に少なくとも3種類の色の玉がそれぞれ10個以上含まれるようにしたいと思います。最も少ない場合で何個の玉を取り出せばよいですか。

Ilm11_dc01123s

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最も運の悪い場合、

つまり最もむだに多く取り出す場合でも、

3種類の玉が10個以上入る場合を考えます。

まず8種類の色の玉が9個ずつ混ざってしまう場合、

8×9=72個取り出しても、

10個以上の色が1種類もないことになります。

さらに1個(73個目)取り出すと、

その色が何色であろうと必ず1種類の色が10個そろいますが、

それから先、この色が50-9=41個続いてしまった場合、

10個以上ある色が1種類しかない状態が続くことになります。

72+41=113個目まで10個以上は1種類です。

114個目に2種類の玉が10個以上になりますが、

またこの色が41個続いてしまうと、

2種類の状態が、113+41=154個目まで続くことになります。

したがって、最悪の場合、154+1=155個 です。

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三角形EFHの面積は?(白百合学園中学 2012年)

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下の図のような面積105c㎡の三角形ABCがあります。

辺の比が次のような場合、三角形EFHの面積は何c㎡ですか。

BG:GC=2:5、GH:HD=2:3、AE:EF=1:2、

EF:FG=1:1、ED:DC=1:1とします。

811

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△AGCは△ABCの5/7

△EGCは△AGCの4/5

△EGDは△EGCの1/2

△EGHは△EGDの2/5

△EFHは△EGHの1/2

したがって、△EGHは△ABCの、5/7×4/5×1/2×2/5×1/2=2/35

105×2/35=6c㎡

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2015年8月10日 (月)

?に入る数字は?(2009年算数オリンピック、トライアル問題から)

下の図は、例のように1つの線の上にある5つの数字が同じ数だけ増えるように並んでいます。?にはいる数字はいくつですか?

3

1_2

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2_2

図のように○の中に入る数字をア~工とします。

アと33の差は、33とイの差と同じなので、

ア+イ=66です。

また同様に35とアの差はアとウの差と等しく、

53とイの差は、イとエの差に等しいので、

ウ+エ+35+53=2×(ア+イ)=132です。

なので、ウ+エ=44とわかります。

同様に、アとウの差はウと?の差に等しく、

イとエの差はエと?の差に等しいので、

ア+?+イ+?=2×(ウ+エ)です。

66+2×?=88

2×?=22

このことから、?=11とわかります。

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A~Cの組のうち、どの組?(獨協埼玉中学 2014年)

1、2、3、・・・・・の整数を、次のように、A、B、Cの3つの組に分けました。

Aの組は、3で割り切れる整数

Bの組は、3で割って1余る整数

Cの組は、3で割って2余る整数

Bの組から整数を2つ、Cの組から整数を3つ取り出して、それらの整数をたすとき、

その答えとなる整数は、A~Cの組のうち、どの組に入っていますか?

Hpsa1101cs

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3で割り切れる部分はいくつたしても3で割り切れるので、

あまりだけを考えます。

Bの組から2個なので、あまりの合計は、1×2=2

Cの組から3個なので、あまりの合計は、2×3=6

あまりの合計は、2+6=8

8÷3=2 あまり 2 なので、Cの組です。

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水泳大会の順位は?(東京学芸大学附属竹早中学 2014年)

校内水泳大会で学級対抗りレーを行いました。下のグラフは、A組とB組について、スタートしてからの時間と泳いだ距離との関係を表したものです。リレーは25mプールで、1人が25mずつ4人泳いで争われます。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)A組とB組のどちらが勝ちましたか。

(2)スタートしてからゴールするまで、何回順位が入れかわっていますか。

(3)B組が第1泳者から第2泳者ヘバトンタッチをしたとき、A組はB組よりも何m先、

   または何m後にいましたか。

810

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(1)B組が早く100mに達したので、B組です。

(2)グラフは2回交差しているので、順位は2回入れ替わっています。

(3)25mでは2秒差がついているので、

おくれたA組はB組より、25÷20×2=2.5m後にいました。

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2015年8月 9日 (日)

図形の重なりはどんな図形に?(桐朋中学 2009年)

1cmの方眼があります。この方眼の上で、ある図形を右に1cm、上に1cm動かしてできる図形ともとの図形の重なった部分を黒くぬります。たとえば、たての長さが2cm、横の長さが3cmの長方形を動かすと、黒くぬる部分は図のようになります。

Gif8091

(1)もとの図形が、次の①、②の太線で表された図形であるとき、黒くぬる部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は3.14とします。

Gif8092Gif8093

 

「右1cm、上1cm動かしたところに同じ図形を描いてみるといいね」

「①は台形だから、

(1.5+2)×1÷2=1.75c㎡

② は木の葉形の面積になるから、

(1×1×3.14÷4-1×1÷2)×2=0.57c㎡

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(2)黒くぬる部分が図1のようになるとき、元の図形を1つ図1にかきなさい。

Bandicam_20150809_100443326

Gif8094

 

「かけた?」

「水色はかけた」

(3)黒くぬる部分が図2のようになるとき、もとの図形が、三角形であるものと五角形であるものをそれぞれ1つずつかきなさい。

Bandicam_20150809_100538301

Gif8095

Gif8096

Gif8097

 

「図2で黒と黄色の三角形を2つとも含む図形を考えればいいね」

「黒は動かない、黄色はなくなる」

「それが手がかりになるかもね」

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1番小さい数はいくつ?(神奈川大学附属中学 2013年)

連続した49個の整数があります。

そのうちの偶数だけの和と奇数だけの和を求め、

その大きいほうから小さいほうを引いた差は48です。

この連続した整数のうち、一番小さい数はいくつですか?

Apa0107s

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49個は奇数なので、一番小さい数が偶数なら、一番大きい数も偶数になり、

一番小さい数が奇数なら、一番大きい数も奇数になります。

小さい方から2番目と3番目、4番目と5番目、・・・・・、48番目と49番目

差が1の組が(49-1)÷2=24個できるので、

その差は、24+(一番小さい数)=48 となり、

一番小さい数=48-24=24 です。

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一筆書きする方法は何通り?(浅野中学 2014年)

図において、点Xから点Yまですべての線をなぞって一筆書きする方法は

何通りありますか。

809

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①Xから、XABABCBCDCDYの順序でYに行く場合、

3×2×1×3×2×1×3×2×1=216通り

②Xから、XABCBABCDCDYの順序でYに行く場合、

3×3×2×2×1×3×2×1=216通り

③Xから、XABABCDCBCDYの順序でYに行く場合、

3×2×1×3×3×2×2×1=216通り

④Xから、XABCDCBABCDYの順序でYに行く場合、

3×3×3×2×2×2×1=216通り

全部で、216×4=864通り

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2015年8月 8日 (土)

虫食い筆算を完成させて!(2011年算数オリンピック、トライアル問題から)

第20回算数オリンピック大会が開催される日は、

2011年5月22日です。

□の中に1けたの整数を1つずつ入れて、

計算を完成させてください!

1_3

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2_2

まず、繰り上がりを考えると、G=1、H=7がわかります。

また、ABC×5の上位2けたが22なので、Aが4とわかり、

GHが17なので、4BC×Dの上2けたが17となります。

よって、Dが4。

このことからABC×45の計算とわかります。

20110は45の倍数ではなく、20115が45の倍数なので、

ABCが447となります。

IJは88、Kは5です。

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50gのおもりは何個?(足立学園中学 2014年)

10g、30g、50g、の3種類のおもりが合わせて20個あり、

そのすべての重さは700gです。

10gと30gのおもりの数が同じであるとき、50gのおもりは何個ありますか?

Photo

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図のように、20個×50g=1000g なので、

黄+緑=1000g-700g=300g です。

P8083

(50-10)×□+(50-30)×□=300

60×□=300

□=5

したがって、△=20-5×2=10個

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どの部分が切り取られたか?(聖セシリア女子中学 2014年)

下の図のように正方形の紙を折り、斜線部分を切り取ります。

この紙を広げると(ア)~(オ)のどれになりますか。

808

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図のように、切り取ったところから逆に考えていくと、(ア)になります。

8082

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2015年8月 7日 (金)

平均の魔方陣(2011年算数オリンピック、ファイナル問題から)

図のように、同じ大きさの正方形が5つあり、それぞれの正方形の真ん中の○の中の数字は、その正方形の頂点にある4つの○の中の数字の平均になっています。いま、いくつかの○の中に数字が入っているとき、残りの○の中に数字を書き入れなさい。

1

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2

それぞれの正方形の関係式を書いてみます。

ア+イ+エ+オ=4×ウ…①

15+9+12+ウ=4×ア…②

16+9+7+ウ=4×イ…③

12+1+3+ウ=4×エ…④

7+2+3+ウ=4×オ…⑤

②+③+④+⑤は、

96+4×ウ=4×(ア+イ+エ+オ)

この式に①を代入すると、

96+4×ウ=4×4×ウ

よって、ウ=8とわかります。

ウ=8を②~⑤の式に代入すると、

ア=11、イ=10、エ=6、オ=5、

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受験者数は何人?(長崎日本大学中学 2013年)

A中学校で入学試験を行ったところ、

合格者数は受験者数の10/21よりも9人少なく、

不合格者数は受験者数の8/15よりも3人多かったそうです。

このときの受験者数は何人でしたか?

2203

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分母を同じにすると、

10/21=50/105

8/15=56/105

重なっているところは、9-3=6人

807_2

50/105+56/105=106/105 なので、

106/105-1=1/105 が6人に相当することがわかります。

したがって、受験者数は、6÷1/105=630人

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水の高さは何cm?( 同志社中学 2013年)

たて70cm、よこ100cm、高さ30cmの直方体の水そうに

いっぱいの水が入っています。

水そうを45°傾けると水がこぼれました。

元の位置に戻したとき、水の高さは何cmになっていますか。

807

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45°傾けたときの水の断面は直角二等辺三角形なので、

面積は、30×30÷2=450c㎡

体積は、450×70立方cm

もとに戻したときの底面積は、70×100c㎡

高さは、(450×70)÷(70×100)=4.5cm

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2015年8月 6日 (木)

誰もできなかったビンゴゲーム問題(2009年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

図のような25個のマスに、1~25の数字が1つずつ書かれたカードを使って、以下のルールで、ビンゴゲームを行います。さて、必ずビンゴになるためには、最低何個のボールを箱から取り出せばよいでしょうか?

1

ビンゴのルール

①1~25の数字が1つずつ書かれたボールが箱の中に入っており、箱から取り出したボールの番号と同じ数字のマスを開く(白くする)。

②たて、横、斜めのいずれかで、開いた(白い)マスが5つ並べばビンゴ。

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----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

2

最悪の場合は、図のように、たて、横、斜めのどの列も

最高4つが白くなっているのに、ビンゴにならない状態です。

この例のように、20個のマスが開いてもビンゴにならないので、

21個目は必ずビンゴになります。

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色のついた部分の面積は?(頌栄女子学院中学 2010年)

長方形ABCDにおいて,点I,点Jは辺ADを,

点G,点Hは辺BCをそれぞれ3等分する点です。

また,点Eは辺ABを,点Fは辺DCをそれぞれ2等分する点です。

色のついた部分の面積は何c㎡ですか?

P8061

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---------------------------------------------------

相似比の関係から、図のような長さ比になり、

真ん中の重なった平行四辺形の面積は、緑の平行四辺形の面積と等しく、

平行四辺形AHCIの3/8になります。

P8062

したがって、求める面積は、

10×30+10×20-10×20×3/8=425c㎡

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DFとEGの長さの比は?(2015年 甲陽学院中学 2日目)

図のような三角形ABCがあります。

D、Eはそれぞれ辺AB、AC上の点で、

AD:DB=2:3、AE:EC=2:1となっています。

また、F、Gは辺BC上の点で、DFとEGは平行です。

このとき、DFとEGの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

806

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AからBCに、DFとEGに平行な線を引き、BCとの交点をHとします。

8062

△CEGと△CAHが相似になるので、

AE:EC=2:1より、EG:AH=1:3、

また、

△BDFと△BAHも相似になるので、

AD:DB=2:3より、DF:AH=3:5、

AHを3と5の最小公倍数15とすると、

EG:AH=5:15、DF:AH=9:15、

したがって、DF:EG=9:5

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2015年8月 5日 (水)

1位は誰?(2010年算数オリンピック、ファイナル問題より)

A~H君の8人が100m競走を8回しました。

Aは8回のうち7回Bに勝ちました。

Bは8回のうち7回Cに勝ちました。

Cは8回のうち7回Dに勝ちました。

Dは8回のうち7回Eに勝ちました。

Eは8回のうち7回Fに勝ちました。

Fは8回のうち7回Gに勝ちました。

Gは8回のうち7回Hに勝ちました。

Hは8回のうち7回Aに勝ちました。

B君が8位だったときの1位はだれでしょうか。ただし、どの回も同着(2人以上が同じ順位になること)はありませんでした。

4141

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最下位に2回なった人がいたとします。

すると、その人は、必ず全員に少なくとも2回負けたことになり、

7回勝つことはないので、どれかの条件と必ず矛盾します。

つまり、全員が一度ずつ最下位になっていることがわかります。

次に、1位に2回なった人がいたとします。

すると、この人は必ず全員に2回は勝っています。

これも、誰かは7回勝つことはなくなるので、

どれかの条件と必ず矛盾します。

つまり、全員が一度ずつは必ず1位になっているます。

いま、Bが最下位だったときに、Cが1位ではなかったとします。

すると、CはBが最下位たったときと、

CがI位だったときの2回Bに勝つことになりますが、

これは条件に矛盾しています。

よって、Bが最下位たったときにCが1位だったとわかります。

実際に、

  A→B→C→D→E→F→G→H

  B→C→D→E→F→G→H→A

  C→D→E→F→G→H→A→B

  D→E→F→G→H→A→B→C

  E→F→G→H→A→B→C→D

  F→G→H→A→B→C→D→E

  G→H→A→B→C→D→E→F

  H→A→B→C→D→E→F→G

の場合に成りたちます。

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一郎と二郎がAに到着するのは何時何分?(学習院女子中等科 2014年)

まっすぐな道に沿って地点A,B,C,D,E,Fがこの順で等間隔に並んでいます。

さくらさんはAからFへ,一郎さんと二郎さんはFからAへ

8時に3人同時に出発しました。

さくらさんは,Bで一郎さんと,Dで二郎さんとすれ違い,

8時40分にFに到着しました。

一郎さんと二郎さんがAに到着するのはそれぞれ何時何分ですか?

Hasiru

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A-B-C-D-E-Fの区間(-)は全部で5区間あります。

さくらは8時40分にFに着いたので、一区間40÷5=8分なので、

Bに着いたのは8時8分、

一郎はBまで4区間を8分で来ているので一区間8÷4=2分

したがって、一郎がAに着いたのは8時8分+2分=8時10分

さくらがDに着いたのは8時24分、

二郎はDまで2区間を24分で来ているので一区間24÷2=12分

したがって、二郎がAに着いたのは8時24分+12分×3=9時

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黒い面の面積の合計は?(2015年 浦和明の星女子中学)

図1の展開図を,

黒い面が表面にくるように組み立てた1辺の長さが1cmの立方体が9個あります。

この立方体を図2のように机の上に積み上げます。

黒い面が最も多く見えるように置いたとき,

その見えている黒い面の面積の合計を求めなさい。

ただし,この立体が机に接する面は見えないものとします。

805

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図1の展開図を組み立てると、黒い部分はコの字型の赤い部分になります。

Gif805

したがって、○をつけた立方体は黒の3面が見えるように置くことができます。

8053

残り2個は黒い面が2面 見えるので、

合計、3×7+2×2=25c㎡

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2015年8月 4日 (火)

黄色部分の面積は?(ラ・サール中学 2011年)

面積が3c㎡の正三角形を図のように3つ並べます。

点Aは辺の真ん中の点です。

黄色部分の面積は何c㎡ですか。

8041

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△赤どうしは相似で相似比は図のように②:①

△緑と△水色も相似で、相似比は1:2になるので、

△緑は正三角形の、底辺は1/4、高さは1/3となり、

面積は、1/4×1/3=1/12 になります。

8042

したがって、黄色部分の面積は、

3×(1-1/12)=11/4=2と3/4c㎡

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決勝戦に出る確率は?( 淑徳巣鴨中学 2012年)

A,B,C,D,E,Fの6チームがトーナメント戦を行います。

どのチームも勝つ確率は1/2です。

「あ」~「か」のどこにどのチームが入るかは,くじ引きで決めることにします。

Bチームが決勝戦に出る確率は?

P8041

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に入れば1/2の確率で決勝戦に進めます。

に入る確率は2/6=1/3なので、

決勝戦に進める確率は、1/2×1/3=1/6

あ~えに入ると1/2×1/2=1/4の確率で決勝戦に進みます。

あ~え に入る確率は4/6=2/3なので、

決勝戦に進める確率は、1/4×2/3=1/6

したがって、決勝戦に進める確率は、1/6+1/6=2/6=1/3

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おもりは何個ある?(2012年算数オリンピック、トライアル問題から)

7g赤い○のおもり、3gの赤い□のおもり、5gの青い○のおもり、4gの青い□のおもりがそれぞれ少なくとも1個、多くとも20個あるとします。それぞれの重さの個数は等しいとは限りません。

いま、次の1~3の条件を満たしています。

1.○のおもりの重さの和と□のおもりの重さの和が等しい。

2.赤いおもりの重さの和と青いおもりの重さの和が等しい。

3.赤いおもりの個数の和と青いおもりの個数の和が等しい。

このとき、それぞれのおもりは何個ずつありますか。

Photo

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問題の条件を式であらわしてみます。

赤い○のおもりの個数をA,□の個数をB,

青い○のおもりの個数をC,□の個数をDとします。

①7×A+5×C=3×B+4×D

②7×A+3×B=5×C+4×D

③A+B=C+D

①と②の式から,7×A=4×Dと3×B=5×Cが成り立つので,

AとDの個数の組み合わせは(4,7),(8,14)

BとCの個数の組み合わせは(5,3),(10,6),(15,9),(20,12)

のいずれかとなります。

これを③の条件で選ぶと,A=8,B=15,C=9,.D=14

とわかります。

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2015年8月 3日 (月)

直方体に描かれた図形の面積は?(栄光学園中学 2008年)

Mon1

図のような1辺の長さが3cm、4cm、5cmの直方体があります。

AB=4cm、AF=3cm、AD=5cmです。

この直方体に、頂点Aを中心に、半径3cmの円を3面に、半径5cmの円を2面に描いたとき、図のようになり、BI=3cm、FH=4cmでした。

このとき、色の付いた部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

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「直方体だとわかりにくい」

「展開してこんな風に図形が描けるかどうか」

Mon3_2 

「AIとAHの線なんてないよ」

「補助線、補助線!

△ABIと△AFHは同じ形の直角三角形だから、角HAF+角IAB=90度で、角HAIも90度になることがわかるかな?」

「うん」

「ここで図形を移動して考えてみると・・・」

Mon5_2

「ここまで見えたらもうわかる」

青色部分の面積=扇形AHI-半径3cmの90度の扇形

+(長方形ABEFの面積×2-半径3cmの半円 )

=5×5×3.14×90/360-3×3×3.14×90/360

+3×4×2-3×3×3.14×180/360

=4×3.14+24-4.5×3.14

=36.56-14.13=22.43c㎡

Gif803

「こんな動きが頭の中で描けたらなぁー」

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あみだくじを完成させて!(2015年 品川女子学院中等部)

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1が1、2が2、3が3、……にいくようなあみだくじを作ろうとしています。

もっとも少ない本数の横線を入れてあみだくじを完成させてください。

ただし、入れる横線はとなり合うたて線2本を結ぶものに限り、

横線どうしが交差しないようにしてください。

P8031

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1→1となるように3本横線を入れます。

P8032

2と3、4と5が逆になっているので、青線を入れて完成です。

P8033

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□にあてはまる最も大きい整数は?(2015年 桐蔭学園中学)

半径が10cmの円の中に入る正方形の1辺の長さは□cmです。

□にあてはまる最も大きい整数はいくつですか。

8031

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円内にぴったり入る正方形の対角線は20cmで、

面積は、20×20÷2=200c㎡、

1辺が整数になり、面積が200c㎡に最も近くなるのは、

14×14=196c㎡ なので、

□=14

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2015年8月 2日 (日)

すべてのマス目を通るルークは?(筑波大附属中学 2009年)

チェスというゲームに「ルーク」 Ruku_3 という駒があります。

ただし、「ルーク」は、盤上を縦・横の方向にしか動くことができません。

次の①~⑥の中で、「ルーク」がすべてのマス目を1回ずつ通って、

まで行くことのできるものをすべて選んでください。 

Rei

Mon16

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Gif8021

Gif8022

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三角形ABCの面積は?(2011年算数オリンピック、トライアル問題より)

三角形ABCは直角三角形です。

辺AB,BC,CA上にAD=AF=FC=CEとなるようにD,E,Fをとりました。

三角形DEFが直角二等辺三角形で,BE=3cm,DB=1cmの時,

三角形ABCの面積を求めなさい。

1_2

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FからABとBCに垂線を下ろし、それぞれG、Hとします。

2

三角形DBEと三角形EHFは合同、

したがって、EH=1cm、FH=3cmとわかります。

また、三角形AGFと三角形FHCも合同、

よって、AG=3cm、HC=4cm、

以上より、AB=6cm、BC=8cmなので、

三角形ABCの面積=8×6÷2=24c㎡

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赤い鉛筆は何本?(恵泉女学園中学 2014年)

赤い鉛筆と青い鉛筆、赤いペンと青いペンがあります。

赤い鉛筆と赤いペンは合計300本あります。

赤いペンの本数と青い鉛筆の本数は同じです。

鉛筆とペンの本数の比は5:7です。

青いペンは青い鉛筆より16本多いです。

赤い鉛筆は何本でしょうか?

Red313521_640

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赤い鉛筆+赤いペン=300本 なので、

赤いペン=青い鉛筆 より、

赤い鉛筆+青い鉛筆=300本、

つまり鉛筆は300本あることがわかります。

鉛筆:ペン=5:7 なので、

300:ペン=5:7

ペン=420本

鉛筆+ペン=300+420=720本 なので、

青い鉛筆+青いペン=720-300=420本

青いペン-青い鉛筆=16本 より、

和差算で、青い鉛筆=(420-16)÷2=202本=赤いペン

赤い鉛筆=300-202=98本

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四角形PQRSの面積は?(攻玉社中学 2013年)

辺ABの長さが8cm、辺ADの長さが13cmの長方形ABCDがあります。

この長方形の4つの角それぞれから、角度を2等分する直線をのばして

辺と交わったところを、図のようにE、F、G、Hとします。

このとき、内側にできた四角形PQRSの面積は何c㎡ですか。

8021

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合同な緑の直角二等辺三角形6個を長方形から引いて求めますが、

赤い直角二等辺三角形2個分が重複しているので、

その分を差し引きます。

GF=HE=8×2-13=3cm

8022

13×8-(8×8÷2×3-3×3÷2) =12.5c㎡

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2015年8月 1日 (土)

「あ」はどのようなときですか?(東洋英和女学院中学 2013年)

兄と弟が直線のマラソンコースを往復しました。下のグラフは、

2人が同時に出発してからの時間と2人の間の距離の関係を表しています。

ただし、2人とも一定の速さで走り、兄は先に走り終えてその場所で待っていました。

(1)「あ」はどのようなときですか?10字以内で述べてください!

(2)2人の速さはそれぞれ毎分何mですか?

(3)A、Bにあてはまる数は何ですか?

P8012

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(1)兄がゴールしたとき。

(2)兄がゴールしたとき、720m差がついていて、

弟はそれから30-24=6分でゴールしたので、

弟→720÷6=120m/分

24分間で720mの差がついたので、

(兄-120m)×24分=720m

兄-120m=30m

兄→150m/分

(3)マラソンコースは全体で、120m×30分=3600m

片道1800m

Aは弟が折り返した時なので、1800m÷120m=15分後

Bは2人がすれ違った時、つまり、2人合わせて3600m走った時なので、

B=3600m÷(150m+120m)=13と1/3分後

15-13と1/3=1と2/3分で2人はどのくらい離れるか計算すると、

A=(150m+120m)×1と2/3=450m

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最も短くなるような場合とは?(2015年 市川中学)

下の図のように、AB=5cm、AD=10cmの長方形ABCDの辺CD上に

点EをCE=3cmなるようにとります。

さらに、辺BC上に2点P、QをPQ=3cm、AP+QEが最も短くなるようにとります。

このとき、QCの長さは何cmですか。

8011

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AP+QEがもっとも短くなる場合を考えます。

図のように、PとQをくっつけて、その点をRとします。

8012

Aから出た光がRで反射し、Eに到達する最短距離は、

光がFに向かう直線になる場合です。

△ERCと△FRCは合同で、△黄と△緑は相似になります。

BR:RC=5:3 より、

RC=QC=7×3/8=2と5/8cm になります。

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