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2015年8月26日 (水)

点Pが出発してから何秒後?(大阪星光学院中学 2012年)

下の図のように、

AB=10cm、BC=8cm、CA=6cm の直角三角形ABCがあり、

辺AB、AC上にそれぞれAD=5cm、AE=2cmとなる点D,E をとります。

いま三角形ABCの辺上を点P がBを出発して

毎秒2cmで B→C→A→D の順にDまで動きます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3126q

(1)三角形ADE の面積を求めなさい。

(2)三角形PDE の面積が 6c㎡ となるのは出発して何秒後ですか。

   すべて求めなさい。

(3)三角形PDE の面積が 3c㎡ となるのは出発して何秒後ですか。

   すべて求めなさい。

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(1)点Dから辺AC に垂線を下ろし、交点を点F とすると、

三角形ADF と三角形ABC は相似で、AD:AB=1:2 より、

下の図1のように、DF=8÷2=4cm とわかります。

Pic_3127a

よって、三角形ADE の面積=2×4÷2=4c㎡ です。

 

(2)まず、点P がBを出発するとき、三角形PDE の面積、

すなわち三角形BDE の面積を調べると、

下の図2のように点E から辺AB に垂線を下ろし、交点を点G とすると、

Pic_3128a

EG の長さは、(1)より、三角形ADE の面積=4c㎡ なので、

4×2÷5=1.6cm とわかり、

三角形BDE の面積=5×1.6÷2=4c㎡ です。

(BD=AD=5cmなので、BD : AD = 1 : 1 より、

  三角形ADEの面積=三角形BDEの面積)

また、点PがC に達したときの面積=三角形CDE の面積 は、

4×4÷2=8c㎡ です。

 

面積が 4c㎡ → 8c㎡ に、4秒かかって変化するとき、

面積が 6c㎡ になるのは、いつか考えると、4c㎡ 増えるのに4秒かかるので、

2c㎡ 増えるのは 2秒後とわかります。

次に、点P が点E に達すると、三角形PDE の面積は 0 になり、

頂点C から点E まで移動する間の2秒間に、面積が 8c㎡から0になるので、

三角形PDE の面積が6c㎡ になるのは、

 8c㎡ 減少するのに 2秒かかるので、

 2c㎡ 減少するのに 0.5秒かかります。

頂点C には4秒かかって達するので、

辺AC上に点Pが移動して三角形PDE の面積が6c㎡ となるのは、

4+0.5=4.5秒後

とわかります。

点P が点E → 点A → 点D へ移動する間には、三角形ADE=4c㎡ なので、

三角形PDE の面積が6c㎡ になることはありません。

ゆえに、三角形PDE の面積が6c㎡ となるのは、 

2秒後 と 4.5秒後 です。

 

(3)三角形BDE の面積=4c㎡、三角形CDE の面積=8c㎡なので、

点P が点B → 点C へ移動する間に

三角形PDE の面積が3c㎡ となることはありません。

点Pが点C → 点E に移動する間に三角形PDE の面積が3c㎡になるのは、

(2)と同様に考えると、三角形CDE→三角形DEE

8c㎡ 減少するのに2秒かかる

5c㎡ 減少するのには、2÷8×5=1.25秒かかります。

 

次に、点Pが点E → 点A に移動する間に三角形PDE の面積が3c㎡ となるのは、

三角形DEE→三角形DEA

4c㎡ 増加するのに1秒かかる

3c㎡ 増加するのには、0.75秒かかります。

さらに、点Pが点A → 点D に移動する間に

三角形PDE の面積が3c㎡ となるのは、点A から点D への移動に、

5÷2=2.5秒 かかるので、

三角形DEA→三角形DDE

4c㎡ 減少するのに 2.5秒かかる

1c㎡ 減少するのに 2.5÷4=0.625秒かかります。

よって、点C に点P が達するのに4秒かかるので、

三角形PDE の面積が3c㎡ となるのは、

 4+1.25=5.25秒後

 6+0.75=6.75秒後

 7+0.625=7.625秒後

の3回です。

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