面積は？（２０１１年算数オリンピック、トライアル問題より）

AB＝AC＝9cm、∠BAC＝120゜の三角形ABCがあります。辺BC上にCP＝6cmとなるように点Ｐをとり、辺AC上に∠APB＝∠CPQとなるように点Ｑをとります。このとき、三角形BPQの面積を求めなさい。

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BCに対してＡと対称な点Ｄをとります。

角DPB＝角APB＝角CPQより、

対頂角が等しいので、Ｑ，Ｐ，Ｄは一直線上にあります。

三角形ＡＢＣは二等辺三角形で、角ABPは30度、

よって角ＡＢＤ＝６０度、ＡＢ＝ＢＤなので、

三角形ＡＢＤは正三角形、よって、ＡＤ＝９ｃｍです。

角ＡＢＣ＝角ＡＣＢ＝角CBDより、ACとＢＤが平行、

三角形ＡＤＢの面積と三角形QBDの面積は等しく、

また、三角形ＡＢＤと三角形BCDの面積も等しいので、

三角形BPQ＝三角形BDQ－三角形BDP

＝三角形BDC－三角形BDP

＝三角形CPD

CP＝6cmなので、

6×(9÷2)÷2＝13.5ｃ㎡

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