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2015年7月30日 (木)

面積は?(2011年算数オリンピック、トライアル問題より)

AB=AC=9cm、∠BAC=120゜の三角形ABCがあります。辺BC上にCP=6cmとなるように点Pをとり、辺AC上に∠APB=∠CPQとなるように点Qをとります。このとき、三角形BPQの面積を求めなさい。

1_2

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BCに対してAと対称な点Dをとります。

2

角DPB=角APB=角CPQより、

対頂角が等しいので、Q,P,Dは一直線上にあります。

三角形ABCは二等辺三角形で、角ABPは30度、

よって角ABD=60度、AB=BDなので、

三角形ABDは正三角形、よって、AD=9cmです。

角ABC=角ACB=角CBDより、ACとBDが平行、

三角形ADBの面積と三角形QBDの面積は等しく、

また、三角形ABDと三角形BCDの面積も等しいので、

三角形BPQ=三角形BDQ-三角形BDP

=三角形BDC-三角形BDP

=三角形CPD

CP=6cmなので、

6×(9÷2)÷2=13.5c㎡

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