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2015年7月21日 (火)

∠ABPの大きさは?(2009年算数オリンピック、トライアル問題より)

AB=1cm、BC=4cmの長方形ABCDの辺AD上に、APよりPDが長く、角BPC=90度となるように点Pをとります。この時、角ABPの大きさを求めなさい。

1_2

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2

図のように三角形BPCを、PCを軸にして反転させます。

EからAD、BCに垂線を下ろし、それぞれの交点をF、Gとします。

三角形BAPと三角形EFPはBP=EP、

角BAP=角EFP=90度、角BPA=角EPFなので、

合同な三角形です。

よって、AB=FE=1cmです。 FGも1cmなので、

EGの長さは2cmとわかります。

また、EC=BC=4cmです。

以上より、三角形EGCは角EGC=90度で、

EC=4cm、EG=2cmなので、角ECG=30度とわかります。

角ECP=角BCPなので、角PCB=15度とわかります。

これより、角PBC=75度と計算でき、

角ABPの大きさが15度とわかります。

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