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2015年7月 3日 (金)

2013年の灘中学、1日目の問題から(八角形の面積)

下の図は1辺の長さが12cmの正方形ABCDと、

それぞれの辺を3等分する点を1つおきに結んでできる図形です。

このとき斜線部分の八角形の面積は何c㎡ですか。

1

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Zu1_2

図1の黄色部分について考ます。

下図のように補助線を引き、ア、イ、ウの3つの三角形に分けてみます。

Zu2

アとイが同じ面積で、イとウも同じ面積です。

ですから、黄色部分は底辺8cm高さ4cmの直角三角形の面積の1/3、

(8×4÷2)÷3=16/3c㎡

図2はこの面積を使っていきます。

Zu4

図2のように補助線を引いて考えると、

緑と青の三角形は、例の砂時計形の相似、

底辺が3:1ですから高さも3:1、

△緑の高さは4cm÷4×1で1cm、

面積は4cm×1cm÷2で2c㎡、

これを△アから引けば△赤が求められます。

16/3-2=3と1/3c㎡

Zu3

あとは、全体の正方形から4つの緑直角三角形と、

4つの△赤を引けばいいわけです。

△緑+△赤=(8×4÷2)×4+(3と1/3)×4=77と1/3

12×12-77と1/3=66と2/3c㎡

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