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□の中に１つずつ整数を入れて、
図のような筆算を２通り完成させてください。
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２００８＝２×２×２×２５１ なので、
２５１×８ と
５０２×４
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下の図のような三角形ＡＢＣがあり，
辺ＡＢ，ＢＣをそれぞれ３等分した点をＤ，Ｅ，Ｆ，Ｇとします。
また，辺ＡＣの真ん中の点をＨとします。
ア，イ，ウの面積の合計とエの面積との差は，三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか。
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ア＋イ＋ウ－エ は
（△ＡＢＦ＋△ＢＣＨ＋△ＣＡＤ）－△ＡＢＣ
＝（ウ＋キ＋ア＋ア＋オ＋イ＋イ＋カ＋ウ）－（ア＋イ＋ウ＋エ＋オ＋カ＋キ）
＝ア＋イ＋ウ－エ となることから、
△ＡＢＣの面積を１とすると、
（１/３＋１/２＋１/３）－１＝１/６ なので、
１/６倍です。
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AB＝AC＝9cm、∠BAC＝120゜の三角形ABCがあります。辺BC上にCP＝6cmとなるように点Ｐをとり、辺AC上に∠APB＝∠CPQとなるように点Ｑをとります。このとき、三角形BPQの面積を求めなさい。
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BCに対してＡと対称な点Ｄをとります。
角DPB＝角APB＝角CPQより、
対頂角が等しいので、Ｑ，Ｐ，Ｄは一直線上にあります。
三角形ＡＢＣは二等辺三角形で、角ABPは30度、
よって角ＡＢＤ＝６０度、ＡＢ＝ＢＤなので、
三角形ＡＢＤは正三角形、よって、ＡＤ＝９ｃｍです。
角ＡＢＣ＝角ＡＣＢ＝角CBDより、ACとＢＤが平行、
三角形ＡＤＢの面積と三角形QBDの面積は等しく、
また、三角形ＡＢＤと三角形BCDの面積も等しいので、
三角形BPQ＝三角形BDQ－三角形BDP
＝三角形BDC－三角形BDP
＝三角形CPD
CP＝6cmなので、
6×(9÷2)÷2＝13.5ｃ㎡
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買い物をしたときに、
おつりの硬貨の枚数がなるべく少なくなるような支払い方について考えてみましょう。
ただし、お財布の中にある硬貨は、硬貨の枚数が最も少ない状態とします。
以下のとき、いくら支払うと、お財布に残る硬貨の枚数が最も少なくなりますか。
（１）お財布の中に３４０円あり、１６０円の買い物をした。
（２）お財布の中に７４２円あり、２８６円の買い物をした。
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（１）財布の中は、
１００円玉が３個、１０円玉が４個、全部で７個の硬貨があるので、
１００円×２＋１０円×１＝２１０円 →３個の硬貨を支払うと、
２１０－１６０＝５０円玉が１個戻ってきて、
３－１＝２個 硬貨が減り５個になります。
（２）財布の中は、
５００円玉が１個、１００円玉が２個、１０円玉が４個、１円玉が２個、
全部で９個の硬貨があるので、
５００円×１＋１０円×４＋１円×１＝５４１円 →６個の硬貨を支払うと、
５４１－２８６＝２５５円 で、
１００円玉が２個、５０円玉と５円玉が１個ずつ、全部で４個戻ってきて、
６－４＝２個 硬貨が減り７個になります。
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めぐさんのクラスでは遠足の行き先を，
遊園地，動物園，水族館のうちから選ぶことになりました。
クラス４０人全員が，必ず３つのうちのどれか１つ以上に賛成しなければなりません。
下の①～⑥を読んで，次の問いに答えてください。
①めぐさんは水族館だけに賛成しました。
②遊園地に賛成した人は２４人でした。
③動物園に賛成した人は２０人でした。
④２つだけに賛成した人は１０人でした。
⑤１つだけに賛成した人は２７人でした。
⑥遊園地と水族館の両方に賛成した人は１１人でした。
（１）３つすべてに賛成した人は何人ですか？
（２）動物園だけに賛成した人は何人ですか？
（２）遊園地だけに賛成した人は何人ですか？
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（１）
④と⑤より、 Ｇ＝４０－（１０＋２７）＝３人
（２）
⑥より、Ｅ＋Ｇ＝１１人なので、Ｅ＝１１－３＝８人
④より、Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＝１０人 なので、
Ｄ＋Ｆ＝１０－８＝２人 となり、
③より、Ｃ＝動物園全体－（Ｄ＋Ｇ＋Ｆ）＝２０－（３＋２）＝１５人
（３）
②とＣ＝１５人 より、
Ａ＋Ｄ＝４０－（２４＋１５）＝１人
Ａにはめぐさんが入っているので、Ｄ＝０人となります。
したがって、Ｆ＝２人、
Ｂ＝２４－（８＋３＋２）＝１１人
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たて４０ｃｍ，よこ３０ｃｍ，高さ「あ」ｃｍの直方体の形をした水そうがあり，
図のように仕切りで区切られています。
この仕切りの両側に図のような水道Ａ，Ｂがあり，
両方からそれぞれ毎秒１８と３/４ｍＬの割合で水を入れていきます。
水を入れ始めてから５分３６秒後にＡから入った方の水の高さと
Ｂから入った方の水の高さとが等しくなり，
水を入れ始めてから７分２８秒後にはＡ側とＢ側が同時にいっぱいになりました。
このとき，以下の問いに答えなさい。
ただし，図は正確とは限りません。また，仕切りの厚さi考えないものとします。
（１）「あ」は何ｃｍですか。
（２）「い」は何ｃｍですか。
（３）「う」は何ｃｍですか。
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（１）
１ｍＬ＝１立方ｃｍ、７分２８秒＝４４８秒 なので、
あ＝７５/４×４４８×２÷（３０×４０）＝１４ｃｍ
（２）
同じ時間でＡ、Ｂがいっぱいになったということは、断面積が等しいわけです。
つまり、５×１４＋い×８＝３０×１４×１/２ となるので、
い×８＝２１０－７０
い＝３５/２＝１７．５ｃｍ
（３）
５分３６秒＝３３６秒後に断面積が等しくなったわけで、
その高さは、１４×３３６/４４８＝２１/２＝１０．５ｃｍ
この高さは、同時にいっぱいになったことから、
（う＋８）ｃｍより高いとは考えられないので、
８ｃｍの間のどこかになります。
したがって、５×１０．５＋１７．５×（１０．５－う）＝３０×１０．５×１/２
（５＋１７．５）×１０．５－１７．５×う＝１５７．５
１７．５×う＝７８．７５
う＝４．５ｃｍ
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おもりア、イ、ウ、エ、オの重さは１ｇか２ｇか３ｇか４ｇで、同じ重さのおもりが２つあります。これらをてんびんにのせて量ったところ、図のようにすべてつりあいました。それぞれのおもりの重さを求めてください。
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図１より、ア＋イ＝ウ＋エ＋オ・・・・・①
図２より、ア＝ウ＋イ・・・・・②
図３より、エ＝オ＋イ・・・・・③
①の式に②を代入すると、
イ＋イ＋ウ＝ウ＋エ＋オ となり、
両辺からウを引くと、
イ×２＝エ＋オ・・・・・④
③の両辺にオをたすと、
オ＋エ＝オ×２＋イ
これに④を代入すると、
イ×２＝オ×２＋イ
両辺からイを引くと、
イ＝オ×２・・・・・⑤
イ＝２ｇか４ｇですが、
イ＝４ｇ、オ＝２ｇだと、
図３より、エが６ｇになってしまい不適当、
したがって、イ＝２ｇ、オ＝１ｇ、エ＝３ｇ
アかウの少なくとも１つは４ｇなので、
図２よりウより重いア＝４ｇとなり、
ウ＝２ｇになります。
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□と△には１～９の整数が入ります。
□＝△のときもあります。
３/□ ＋ ４/△ ＝ １ にあてはまる□と△を３組あげてください！
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①□＝６、△＝８ → ３/６＋４/８＝１
②□＝９、△＝６ → ３/９＋４/６＝１
③□＝７、△＝７ → ３/７＋４/７＝１
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下の図のように，蛇口Ａ，Ｂ，Ｃから水を流すと，
バケツＤからＨに水が入るような管があります。
管が分かれているところでは，水の量が半分ずつになって流れます。
蛇口ＡとＢから同じ量の水を流し，Ｃからも何ℓか水を流したら，
バケツＤに９ℓ，Ｅに２６ℓの水か入りました。Ｃから何ℓの水を流しましたか。
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図のように、下から順に赤字でリッター数を書き込んでみます。
ＡとＢから流された水の量を青字の１とすると、
３/４＋１/４＝１ に該当する水量は３２リッターであることがわかります。
Ｃの直前では、３/４×３２＝２４リッターなので、
Ｃは、３６－２４＝１２リッターの水を流しました。
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１辺１０ｃｍの正方形を図のように線を引いて１２個の長方形に分けました。
このとき、１２個の長方形のまわりの長さの和を求めなさい。
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個々の長方形のまわりの長さを計算する際に、
正方形の中の５本の線は、すべて２回数えられます。
正方形のまわりの４辺は１回です。
したがって、１０×５×２＋１０×４＝１４０ｃｍ
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下の図を一筆書きする書き方は何通りあるでしょうか？
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線が３本集まっているところからスタートします。
それぞれ、２＋２＋２＝６通りの書き方があるので、
６×２＝１２通りです。
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図のように，長方形とおうぎ形が重なっています。
緑部分とおうぎ形の面積は等しく，
三角形ＯＢＣの面積と黄色部分の面積の差は１２．３ｃ㎡です。
直線ＡＤの長さは６ｃｍです。
（１）黄色部分の面積は何ｃ㎡ですか。
（２）直線ＡＢの長さは何ｃｍですか。
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△ＯＢＣは二等辺三角形なので、∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°より正三角形となり、
ＯＢ＝ＯＣ＝ＢＣ＝ＡＤ＝６ｃｍ
おうぎ形の面積＝６×６×３．１４×６０/３６０＝６×３．１４＝１８．８４ｃ㎡
黄色部分の面積＝（１８．８４－１２．３）÷２＝３．２７ｃ㎡
長方形の面積＝１８．８４×２－３．２７＝３４．４１ より
ＡＢ＝３４．４１÷６＝５．７３５ｃｍ
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２けたの整数が３つあります。
この中の２つの整数の和と差を、
大きい順にすべて書き出したところ、
９４、７２、５０、４４、２８、２２ となりました。
３つの整数を求めなさい。
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和と差の中に０がないので、
３つの整数はすべて異なる整数だとわかります。
この３つの整数を大きい順にＡ、Ｂ、Ｃとおいて考えてみます。
６個の和と差は、
Ａ＋Ｂ、Ａ＋Ｃ、Ｂ＋Ｃ、Ａ－Ｃ、Ａ－Ｂ、Ｂ－Ｃ です。
この６個の数字を全部たすと、
Ａ＋Ａ＋Ａ＋A＋Ｂ＋Ｂ＝３１０ となります。
この６個の数字の中で最も大きい数はＡ＋Ｂ＝９４なので、
Ａ＋Ａ＋９４×２＝３１０
２×Ａ＝１２２
Ａ＝６１ とわかります。
Ｂ＝９４－６１＝３３、
２番目に大きい数は、Ａ＋Ｃ＝７２より、
Ｃ＝７２－６１＝１１ とわかります。
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（１）
Ａ→２３/５＝４と３/５ なので、□＝４＋５＋３＝１２
Ｂ→１５/１２＝１と１/４ なので、１＋４＋１＝６より、
□＝３０－６＝２４
Ｃ→分子が４のままでは、□＝８となり約分できるので、不適当
分子が２では、□＝１０となり約分できるので、不適当
分子を１にすると、分母は１２－１＝１１
□＝１１×４＝４４
（２）
５＝１＋４、５＝２＋３
５＝１＋１＋３、５＝１＋２＋２ より、
１/４、２/３、１と１/３、２と１/２、５
（３）
小さいほうから５番目
１以下では、２６/２７が最大ですが２７＋２６＝５３になり不適当、
一番小さい分数は、１と２６/２７
２番目は、２と２５/２７
３と２４/２７は約分できるので不適当、
３番目は、４と２３/２７
４番目は、５と２２/２７
６と２１/２７も約分できるので不適当、
５番目は７と２０/２７ なので、２０９/２７
大きいほうから５番目
一番大きいのは、（５４×２７）/２７＝１４５８/２７
２７を約分できるのは、分子が３の倍数になる場合で、
分母と分子をたして小さいほうから考えていくと、
２番目は、１/３＝９/２７ → ５０と１/３＝５０と９/２７＝１３５９/２７
３番目は、２/３＝１８/２７ → ４９と２/３＝４９と１８/２７＝１３４１/２７
４番目は、１/９＝３/２７ → ４４と１/９＝４４と３/２７＝１１９１/２７
５番目は、２/９＝６/２７ → ４３と２/９＝４３と６/２７＝１１６７/２７
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１段目は１×１個、２段目は２×２個のレンガを使い、２００段のピラミッドを作るとき、使われているレンガの数は全部で何個？
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「一番上が１、次が４、次が９・・・最後が４００００、これ全部たすんだ」
「もちろん規則性がある」
「ガウス算使うみたいだけど・・・」
「使うけど、ちょっと工夫しないと。たとえば５段の場合、
段を一箇所にそろえて横に倒してみると・・・」
「この数は？」
「左のピラミッドを横から見たときのレンガの数と
倒したピラミッドを上から見たときのレンガの数」
「両方とも同じ個数だ」
「数字の位置を動かしたピラミッドを3通り作って重ねると、それぞれの位置の和がどれも等しくなる」
「えっ？意味わかんない」
「こんな風に重ねていくの」
「まだよくわからない」
「アニメーションを見てごらん」
「おお、なるほど・・・」
「全部同じ個数になったでしょ」
「これでガウス算が使えそう」
１＋２＋３＋・・・・・＋２００
＋）
２００＋１９９＋１９８＋・・・・・・＋１
２０１×２００÷２＝２０１００
「これが２００×２＋１段」
４０１段×２０１００個＝８０６０１００個
「同じ個数のピラミッドを３つ重ねたから・・・」
８０６０１００個÷３＝２６８万６７００個
「早くできた高校生は式を知ってたわけ」
「どんな式？」
段数×（段数＋１）×（段数×２＋１）×１/６
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AB＝AC＝9cm、∠BAC＝120゜の三角形ABCがあります。辺BC上にCP＝6cmとなるように点Ｐをとり、辺AC上に∠APB＝∠CPQとなるように点Ｑをとります。このとき、三角形BPQの面積を求めなさい。
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BCに対してＡと対称な点Ｄをとります。
角DPB＝角APB＝角CPQより、
対頂角が等しいので、Ｑ，Ｐ，Ｄは一直線上にあります。
三角形ＡＢＣは二等辺三角形で、角ABPは30度、
よって角ＡＢＤ＝６０度、ＡＢ＝ＢＤなので、
三角形ＡＢＤは正三角形、よって、ＡＤ＝９ｃｍです。
角ＡＢＣ＝角ＡＣＢ＝角CBDより、ACとＢＤが平行、
三角形ＡＤＢの面積と三角形QBDの面積は等しく、
また、三角形ＡＢＤと三角形BCDの面積も等しいので、
三角形BPQ＝三角形BDQ－三角形BDP
＝三角形BDC－三角形BDP
＝三角形CPD
CP＝6cmなので、
6×(9÷2)÷2＝13.5ｃ㎡
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円周上を点Ａ，Ｂが移動します。円周を４等分する点あ、い、う、え、があり、点Ａは地点「い」で１秒、地点「う」で２秒、地点「え」で３秒、地点「あ」で４秒止まり、各地点間の移動には２秒かかります。点Ｂは、どこにも止まることなく一定の速さで動きます。はじめに点Ａ，Ｂともに地点「あ」を出発し、点Ａは左回りに、点Ｂは右回りに動き出し、点Ａがちょうど１周して地点「あ」に着いたときに点Ｂと出会いました。
（１）点Ａと点Ｂが初めて出会うのは、地点「あ」を出発してから何秒後ですか？
（２）点Ａと点Ｂの速さの比は何対何ですか？
（３）３回目に点Ａと点Ｂが出会うのは、地点「あ」を出発してから何秒後になりますか？
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「（１）はまん中あたりだから、うじゃないのかな？」
「ちゃんと計算してみて」
「Aは１周するのに２×４＋１＋２＋３で１４秒だからBも１４秒」
「Bはまん中のうでは、７秒だね」
「Aはうまで２＋１＋２で５秒で着く、で、２秒止まっているから７秒、ほら、やっぱりうだ！」
「なんだか当たったっていう感じ！」
「（２）はAの方が速いから・・・」
「どのくらい？」
「Aは動いた８秒で１周する」
「Bは１４秒だね」
「速さは逆比だから１４：８＝７：４」
「（３）は？」
「またうあたりじゃないの？」
「こんどはそう単純ではないの！」
「いとうのあいだあたりだな」
Ａは１８秒で「あ」を出発
「い」に２０秒で到着、
２１秒で「い」を出発
２３秒で「う」に到着、
２５秒で「う」を出発。
Ｂは１周１４秒だから
２１秒で「う」に到着、
２４．５秒で「い」に到着
「２１秒でAはいを出発し、Bはうを出発しているね」
「３回目の出会いはAがいを出発して、うに着くまでにおこるな」
「AとBの速さの比が７：４だから、点Ａは地点「い」→「う」を２秒、点Ｂは地点「う」→「い」を３．５秒で移動するので、２点が出会うのは・・・」
点Ａで計算すると、
２１＋２×｛７/（７＋４）｝＝２２と３/１１秒後
点Ｂで計算しても、
２１＋３．５×｛４/（７＋４）｝＝２２と３/１１秒後
「２２秒はわかるけど、３/１１秒って割り切れないじゃないか。どこで出合ったんだろう？」
「すれちがっているんだから、出会ったことは間違いないでしょ」
「ぴったりこない・・・」
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○にはすべて同じ整数が入ります。
○にあてはまる整数はいくつでしょうか？
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○が共通分母なので、分子をたすと
１＋２＋３＋４＋５＝１５ なので、
○＝１５÷５＝３
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はるかさんは，ケーキ屋さんに行きました。
ケーキ屋さんには，円柱の形をしたケーキが売られていました。
店員さんにケーキの大きさのことを聞いたら，
「一番小さいケーキの大きさは５号です。このケーキの大きさは，直径１５ｃｍ，高さ５ｃｍです。そして，１号大きくなるごとに，直径が３ｃｍずつ大きくなります。でもケーキの高さは変わりません｡」
と教えてくれました。
このとき，次の各問に答えなさい。ただし，円周率はは３．１４とします。
（１）８号のケーキを１０人に等しく分けると，１人分のケーキの体積は何立方ｃｍですか。
（２）分ける人数を１０人から１６人にすると，１人分のケーキの体積は何倍になりますか。
（３）高さを変えずに，底面の形を円から正方形に変えて，９号のケーキと同じ体積の直方体のケーキを作ってもらうことにしました。底面の１辺の長さはおよそ何ｃｍになりますか。底面の１辺の長さを整数で答えなさい。
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（１）８号ケーキの直径は２４ｃｍですから、半径は１２ｃｍ
ケーキの体積は、１２×１２×５×３．１４＝７２０×３．１４
１人分の体積＝７２×３．１４＝２２６．０８立方ｃｍ
（２）ケーキの体積を□とすると、
１０人のときの１人分は、□/１０
１６人のときの１人分は、□/１６
□/１６ ÷ □/１０ ＝ □/１６ × １０/□ ＝ １０/１６ ＝５/８倍
（３）９号ケーキの直径は２７ｃｍ、半径は１３．５ｃｍ
円の面積は、１３．５×１３．５×３．１４＝５７２．２・・・・ｃ㎡
２４×２４＝５７６ より、
正方形の１辺は、およそ２４ｃｍです。
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１ｇ，２ｇ，３ｇ，４ｇ，５ｇのおもりが１個ずつあります｡それぞれのおもりにはア～オのラベルがはられています。重さのわからない荷物（△）があります。てんびんに３通りののせ方をしたところ,下の図のようになりました。このとき，ア～オのおもりの重さと荷物（△）の重さがそれぞれ何gであるかを求めなさい。
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△＋エ＝ア＋オ…①
△＋ア＝イ＋ウ＋エ＋オ…②
△＋イ＝ウ＋オ…③
①と③より、
△＋エ＋ウ＋オ＝△＋イ＋ア＋オ………④
④の両辺から△とオを除くと、
ウ＋エ＝ア＋イ…⑤
同様に、②と③より、
ア＝イ＋イ＋エ…⑥
⑤に⑥を代人すると、
ウ＝イ＋イ＋イ
となり、よって、ウが3gでイが１ｇとわかります。
次に⑤の関係からアが４ｇ．エが２ｇとなります。
このことから、残ったオが５ｇとなります。
以上の結果を①に代人すると△が７ｇとわかります｡
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図は1辺の長さが１ｃｍの立方体を２７個積み重ねてできた立体で、
この立体の影をつけた部分を面に垂直に反対側まで押し出して取り除きます。
このとき、残った立体の表面積は何ｃ㎡ですか？
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１段目で３つの面が見えるのは４つなので、３×４＝１２ｃ㎡
１段目で４つの面が見えるのは４つなので、４×４＝１６ｃ㎡
２段目は４つの面が見える４個だけなので、４×４＝１６ｃ㎡
３段目は１段目と同じなので、
全部で、１２×２＋１６×２＋１６＝７２ｃ㎡
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↓こちらファミリーページにもどうぞ！
下の図は、中心角９０°のおうぎ形と半径４ｃｍの円を組み合わせたものです。
影のついた部分と同じ面積になる部分をぬりつぶしてください。
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円の面積は、４×４×３．１４＝１６×３．１４
おうぎ形の面積は、８×８×３．１４÷４＝１６×３．１４
同じ面積なので、黄色部分が共通になることから、
影部分と緑部分が同じ面積です。
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図１と図２は同じ規則で数字が書かれていますが、図２の方は３ヶ所以外の数字が消えています。図２の「？」に入る数字はいくつになりますか。
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以下のように、一番下の段を左からＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとすると、
一つ上のマスには下の２つのマスの和が入ります。
２Ｂは２×Ｂ、２Ｃは２×Ｃとすると、
黄＝Ａ＋３×Ｂ＋３×Ｃ＋Ｄ
Ｂ＋Ｃ＝６２２ なので、３×Ｂ＋３×Ｃ＝３×（Ｂ＋Ｃ）＝１８６６
黄＝？＝１７＋１８６６＋１２５＝２００８
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↓こちらファミリーページにもどうぞ！
分母が８以下で、それ以上約分できない分数を小さい順に並べます。
アにあてはまる分数とイにあてはまる分数はいくつですか？
・・・・、３/７、ア、４/７、イ、５/８、・・・・
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３/７＝０．４２・・・・
４/７＝０．５７・・・・
ア＝０．５＝１/２
５/８＝０．６２５
イ＝０．６＝３/５
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三角形ＡＢＣと三角形ＣＤＥは共に直角二等辺三角形で、アの面積は２８ｃ㎡です。
また、点Ｆは辺ＣＤを２：１の比に分ける点です。
（１）辺ＣＤの長さは何ｃｍですか。
（２）イの面積は何ｃ㎡ですか。
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図のように線を引いてみると、△ＡＧＤは□と面積が等しくなります。
したがって、□＋△＝２８ｃ㎡より、
大きな正方形の面積は、４×（□＋△）＋３×３＝１２１ｃ㎡
大きな正方形の１辺は１１×１１＝１２１ より、１１ｃｍ
ＣＤ＝１１－３＝８ｃｍ
ＥＫ＝ＪＫ＝ ＣＫ＝８÷２＝４ｃｍ
△ＪＢＥの面積＝３×４÷２＝６ｃ㎡
ＢＩ＝３ｃｍ
ＡＨ：ＨＩ＝２：１ より、
ＢＨ＝１４/３－３＝５/３ｃｍ
△ＪＨＢの面積＝５/３×７÷２＝３５/６ｃ㎡
イ＝６＋３５/６＝７１/６ｃ㎡
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1辺１ｃｍの立方体を８個積んで、図のような立体を作りました。この立体をＡＢ，ＣＤを通る平面で切ったときにできる小さい方の立体の体積を求めなさい。
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「切った立体が想像できない」
「切った面を横から見たとしたらどうなる？」
「そうか、これならわかりそう」
「この立体を二つの部分に分けて考えてみると・・・」
「黄色部分の方が小さい！」
「そうだね」
「左側の立体の体積は、（２ｘ３÷２－１ｘ１）ｘ１＝２立方ｃｍ」
「右側は？」
「ピラミッド型の相似を使って１/３と２/３がわかるから、
（１/２ｘ１/３÷２＋２/３ｘ１÷２）ｘ１＝５/１２立方ｃｍ」
「合計で？」
「２と５/１２立方ｃｍ」
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AB＝1cm、BC＝4cmの長方形ABCDの辺AD上に、APよりPDが長く、角BPC＝90度となるように点Pをとります。この時、角ABPの大きさを求めなさい。
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図のように三角形BPCを、PCを軸にして反転させます。
ＥからＡＤ、ＢＣに垂線を下ろし、それぞれの交点をＦ、Ｇとします。
三角形BAPと三角形EFPはBP＝EP、
角BAP＝角EFP＝90度、角ＢＰＡ＝角EPFなので、
合同な三角形です。
よって、AB＝FE＝1cmです。 FGも１ｃｍなので、
EGの長さは２ｃｍとわかります。
また、EC＝BC＝４ｃｍです。
以上より、三角形EGCは角EGC＝90度で、
EC＝4cm、EG＝2cmなので､角ECG＝30度とわかります。
角ECP＝角BCPなので、角PCB＝15度とわかります。
これより、角PBC＝75度と計算でき、
角ABPの大きさが15度とわかります。
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図１の直角三角形ＡＢＣの面積は７ｃ㎡です。
辺ＡＢの２倍の長さを１辺とする正六角形の面積は何ｃ㎡ですか？
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図のようにＡＢの２倍の長さを１辺とする正六角形を作ると、
△ＡＢＣが６×６＝３６個入ることがわかります。
したがってその面積は、７×３６＝２５２ｃ㎡ です。
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図の長方形ＡＢＣＤと正方形ＥＦＧＨの面積は等しく、
重なった（斜線の）部分は正方形です。
重なった部分の正方形の１辺の長さは何cmですか。
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図のように、Ａの部分の面積を６個ずつ等しくとってみると、
緑部分が８１－６０＝２１ｃ㎡であることがわかります。
したがって、重なった正方形の１辺の長さは、
２１÷５－４．２ｃｍ です。
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「（１）はできたんだけど（２）ができなかった」
図の長方形ABCDはたての長さが１２ｃｍです。この長方形の辺上を、１辺の長さが６ｃｍの正三角形を、矢印の方向にすべることなく転がして１周させました。このとき、図１の位置からスタートして、途中で図２のような位置になり、１周したときには、図１とまったく同じ位置にもどり、正三角形の頂点Pも元の位置にもどりました。長方形ABCDの横の長さが６ｃｍより長く３０ｃｍ以下であるものとして、次の問題に答えなさい。
（１）長方形ABCDの横の長さは何ｃｍですか。
（２）頂点Pが移動した長さの合計は何ｃｍですか。
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1辺の長さが1cmの黄と白の正方形が図のようにしきつめられています。
このとき，太線で示された(1)から(3)の各図形の中の，
黄の部分の面積と白の部分の面積はどちらがどれだけ大きいですか。
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（１）△ABC内には相似の直角三角形が４つ見つかります。
△赤は底辺が１/４ですから面積は１/４×１÷２＝１/８
黄→（２/４×２÷２）－１/８＝３/８
緑→（３/４×３÷２）－（１/８＋３/８）＝５/８
青→（４/４×４÷２）－（１/８＋３/８＋５/８）＝７/８
面積比は赤：黄：緑：青＝１：３：５：７
△ABCの黄部分＝７＋３＝１０
△ABCの白部分＝５＋１＝６
（１０－６）×１/８＝４/８＝１/２＝０．５ｃ㎡黄色部分が大きくなります。
（２）は同数です。
（３）は（１）と（２）の結果を利用します。
全体が同数ですから、（２）の同数の水色部分を引いても残り部分は同数です。
青部分は黄色が０．５ｃ㎡大きいので、残りは白部分が０．５ｃ㎡大きくなります。
そこから（１）の白部分が０．５ｃ㎡大きい赤い直角三角形２つを引くと、残りは黒部分が０．５ｃ㎡大きくなります。
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１～６ｇのおもりが１つずつあり、それぞれのおもりには１～６ｇまでのラベルが貼られています。いま、天びんに２通りの乗せ方をしたら、図１、図２ようになりました。このとき、ある２つのおもりのラベルが入れ替わって貼られていることに気づきました。ラベルが入れ替わって貼られているのは何ｇと何ｇのおもりですか？
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図１より、１ｇと４ｇか、２ｇと３ｇか、５ｇと６ｇかが
入れ替わっていることがわかります。
２－３だと、図２で右が９ｇになり、
つりあうので、２－３ではありません。
５－６だと、図２で左が１０ｇ、右が７ｇになり、
左が重くなるので、５－６ではありません。
１－４だと、図２で左は６ｇになりますが、
そのままなので、１ｇと４ｇのラベルが入れ替わっています。
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図のように、半径１０ｃｍの円をみぎに４ｃｍ移動しました。
斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか？
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図のように、黄色部分の半円を緑部分に移動すると、
求める面積は長方形の面積になります。
１０×２×１４＝２８０ｃ㎡
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太郎さんは、正方形の折り紙を次のように２回折りました。
その後、折った折り紙の斜線部分をハサミで切り取った後に広げて、
ある模様をつくりました。
花子さんは、正方形の折り紙を次のように２回折りました。
太郎さんがつくった模様と同じ模様をつくるためには、
花子さんは２回折った折り紙のどの部分をハサミで切ればよいですか。
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太郎君の模様は下の図のようになります。
したがって、花子さんの折り紙は図のように切れば同じになります。
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図のような１辺１２ｃｍの正方形の紙があります。
この紙に図のように２本の線を引き、この線にそって紙を切ると、
３つの部分に分かれます。
３つの紙は置き方をかえて長方形を作ることができます。
そのときの長方形の短い方の辺の長さを求めなさい。
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「正方形の線にそって紙を切ると、黄色、青、緑の３つの部分に分けられるね」
「青と緑は直角三角形」
「直角以外の２つの角度を「×」と「○」として図１のように描きこんでみると・・・」
「２つの直角三角形は相似だ」
「黄色い部分を動かさないで、青と緑の直角三角形を黄色の周りに移動させてみるよ」
「長方形の１つの辺の長さは、緑の直角三角形の斜辺の長さと等しいから１３ｃｍ」
「もう１つの辺の長さは？」
「面積が同じだから１２×１２÷１３で１１と１/１３ｃｍ」
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図のような１辺が３ｃｍの立方体があります。P、Q、Rはそれぞれ辺AE、AD、CD上にあり、AP、AQ、CRの長さはそれぞれ２ｃｍです。
この立方体をA、C、Fを通る平面で切ったときの切り口の面積と、P、Q、Rを通る平面で切ったときの切り口の面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。
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まず、ＡＣＦを通る平面で切ってみます。
正三角形になります。
次はＰＱＲを通る平面で切ってみます。
これは六角形。
切り口を比べてみます。
六角形の切り口を伸ばすと大きな三角形ができます。
大きな三角形も、小さな３つの三角形も正三角形です。
相似比で、ＡＦが３ならＰＱは２、
小さな三角形の１辺はみんな１になります。
正三角形の辺の比は、
大：黄：小＝４：３：１
したがって、面積比は、１６：９：１
黄：緑＝９：（１６－１×３）＝９：１３
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マス目の上にサイコロが置かれています。マス目の大きさとサイコロの面の大きさは等しいものとします。図のような位置にサイコロを置き、緑のマス目まで矢印のようにサイコロをすべることなく転がしました。このとき緑のマス目と接しているのは、サイコロの何の目ですか？
ただし、サイコロの「１」の裏は「６」、「２」の裏は「５」、「３」の裏は「４」の面とします。
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「本当にころがしてみないとわからない」
「頭の中でころがすの」
「だと、こんな感じになる」
「じゃあ、実際にころがしてみて」
「３だ」
「試験では順番に考えていかないと・・・、
最初のサイコロをこんな風に描いてみたら？」
「これなら順番に書いていけそうだな」
「間違えないようにね」
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各けたの数字が２、０、９のいずれかで、
２、０、９のどれもが、いずれかのけたに現れる整数（たとえば９２０、２００９など）のうち、
４けたの平方数（同じ整数を２個かけ合わせた数）はあるでしょうか？
あるとすれば、それはいくつですか？
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４けたなので、千の位は２か９になります。
２００９～２９９０ の範囲で考えると、
４５×４５ ～ ５４×５４
９００２～９９２０ の範囲で考えると、
９５×９５ ～ ９９×９９
ただし、一の位が２になる平方数は存在しないので、
一の位は０か９です。
これは一の位が０か３か７の整数同士をかけ合わせた数になり、
４７×４７、５０×５０、５３×５３、９７×９７が候補です。
それぞれ計算してみると、
４７×４７＝２２０９ になり、条件に合う４けたの平方数です。
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図の２点Ｅ､Ｆは、長方形ＡＢＣＤの辺ＢＣを３等分する点です。
ア、イ、ウ、エの４つの部分の面積の和が、
長方形ＡＢＣＤの面積の５/８に等しくなりました。
長方形ＡＢＣＤの面積は、オの部分の面積の何倍ですか。
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△黄は長方形ＡＢＣＤの１/２
△青は長方形ＡＢＣＤの１/２×２/３＝１/３です。
エ＋オ＋イ＝１/２
ア＋オ＋ウ＝１/３
ア＋イ＋ウ＋エ＋２×オ＝１/２＋１/３＝５/６
５/８＋２×オ＝５/６ なので、
２×オ＝５/６－５/８＝２０/２４－１５/２４＝５/２４
オ＝５/４８
長方形ＡＢＣＤはオの ９と３/５倍
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大型エレベーターが1階に停止しており、５０人乗っています。
２階で１３人降りて１０人乗ってきました。
３階で８人降りて１２人乗ってきました。
４階で２０人降りて１５人乗ってきました。
５階で乗っている人が全員降りたとき、
1階からずっと乗っていた人は何人以上何人以下でしょうか？
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最も少ない場合は、
２階で、５０－１３＝３７人
３階で、３７－８＝２９人
４階で、２９－２０＝９人
最も多い場合は、
２階で、５０－１３＝３７人
３階では、２階で乗ってきた１０人のうち８人が降りたと考えれば、
３７人のまま変わらず、
４階では、２階から乗ってきた残り２人と、
３階から乗ってきた１２人のあわせて１４人が降り、
さらに降りた人の、２０－１４＝６人が１階から乗っていた人数と考えれば、
３７－６＝３１人が残ります。
したがって、９人以上３１人以下です。
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下の図のような正六角形があり，
その頂点ア，イ，ウ，エ，オ，カすべてを通るような半径１０ｃｍの円があります。
また円の外側に，正六角形の頂点ウ，カと，円周の上にある点キ，クを通るような
正方形ケ，コ，サ，シがあります。この図を用いて，
円周が直径の３倍より大きく，４倍より小さい値であることを鋭明しなさい。
なお，円周率が３．１４であることは使ってはいけません。
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図のように正六角形の１辺は円の半径１０ｃｍに等しく、
その周囲は６０ｃｍで、直径２０ｃｍの３倍です。
円周はこれより大きいことがわかります。
正方形の１辺は円の直径と等しく２０ｃｍ、
その周囲は８０ｃｍで、直径の４倍です。
円周はこれより小さいことわかります。
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下の二等辺三角形は、まっすぐな線で２つに切り、その２つを図のようにくっつけて長方形にすることができます。
では、次の６つの図形は、例のようにまっすぐな線で２つに切って、長方形にすることができるでしょうか？
できる図形には○、できない図形には×を書きなさい。
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（６）の図形はどう切っても、10°か20゜の角度が残ります。
長方形にするためには、角度をうまく組み合わせ、
180゜か90°にする必要があるので、これは不可能です。
（１）～（５）→○
（６）→×
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A、B、Cはどれも２以上の整数で、AはBより小さく、BはCより小さいとします。
A×B×C＝７７０となるA、B、Cの組は何通りありますか。
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図のように長方形の紙を２点Ｐ、Ｑを結ぶ直線で折り返すとＣはＥに移りました。
角アの大きさは何度ですか。
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∠PQC＝∠PQE＝７０° なので、
∠EQD＝１８０－７０×２＝４０°
∠○＝５０°なので、∠ア＝１８０－５０＝１３０°
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下のように、３けたの整数の一の位からはじまる整数を次々と書いていく「３けた整数しりとり」をします。
３３５→５０２→２９９→Ａ→Ｂ→２２２
このとき、Ａ、Ｂにあてはまる３けたの整数の組み合わせは全部で何通りありますか？
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Ａ＝９□○
Ｂ＝○△２ と考えると、
○は１～９の９通り
□は０～９の１０通り
△も０～９の１０通り なので、
９×１０×１０＝９００通り
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面積３２ｃ㎡の平行四辺形ＡＢＣＤがあり、
図のように、ＢＣは４等分、ＣＤは２等分、ＤＡは３等分されています。
このとき、三角形EFGの面積は何ｃ㎡ですか？
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ＡＤの長さを⑫にしてみると、
図のように、相似の関係からＨＩ：ＩＧ＝５．５：６．５＝１１：１３ になります。
△ＥＦＧ＝△黄 で、△赤＝３２÷２＝１６ｃ㎡ なので、
（１１＋１３）：１６＝１３：△黄の面積
△ＥＦＧ＝△黄の面積＝１６×１３÷２４＝２６/３ より、
８と２/３ｃ㎡
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深さ５０ｃｍの直方体の水そうがあります。
この水そうを空にして、１辺１０ｃｍの立方体の形をしたおもりを３個入れました。
その後、水そうに、４ℓ／分で水を入れていきます。
（１）下の図のように、おもりをたてに３個積み上げて入れたとき、
水を入れ始めてから１８分後に深さが３０ｃｍになりまた。
水そうの底面積は何ｃ㎡ですか。ただし、水そうの厚さは考えません。
（２）下の図のように、おもりを横に３個ならべて入れたとき、
水を入れ始めてから２０分後の水の深さは何ｃｍですか。
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図のように、深さ３０ｃｍになると、おもり３個分の高さです。
１８分間に水は、４×１８＝７２リットル入っているので、
おもりと合わせた体積は、
７２０００＋３×１０×１０×１０＝７５０００立方ｃｍ
底面積＝７５０００÷３０＝２５００ｃ㎡
２０分間に水は、４×２０＝８０リットル
おもりをたして、８００００＋３０００＝８３０００ｃ㎡
高さ＝８３０００÷２５００＝３３．２ｃｍ
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黒と白の丸い石がたくさんあります。このうち７個を図のように並べます。このとき、黒の石が隣り合わないような並べ方は何通りあるでしょうか？ただし、回転して同じになるものは１通りと数えます。
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黒石の個数で考えていきます。
０個→全部白石で１通り
１個→真ん中に置く場合と、周りに置く場合の２通り
２個→１つ離して置く場合と、２つ離して置く場合の２通り
（真ん中には置けません）
３個→１つおきに並べる１通り
全部で、１＋２＋２＋１＝６通り
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１個１０円、２０円、４０円、５０円、７０円の５種類のお菓子から３種類を選び、
それぞれ同じ個数ずつ買ったとき、代金の合計が９９０円になりました。
いくらのお菓子を何個ずつ買ったのでしょうか？
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買った個数を□、買った種類をＡ×１０円、Ｂ×１０円、Ｃ×１０円とすると、
Ａ×１０×□＋Ｂ×１０×□＋Ｃ×１０×□＝９９０ なので、
□×（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝９９ となり、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ は９９の約数です。
９９＝３×３×１１ なので、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ が ９か１１となる場合を考えます。
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２＋４＋５＝１１ があてはまるので、
９９÷１１＝９ となり、
２０円、４０円、５０円のお菓子を９個ずつ買いました。
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１辺が３ｃｍの正三角形が、図２のように、折れ線ＡＢＣＤＥＦにそって、
（い）の位置からすべらずに回転して（う）の位置まで動きました。
頂点Ｐが動いたあとを図２の中にコンパスで書きましょう。
また、頂点Ｐが動いた道のりは何ｃｍですか。
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図の太線部分がＰの軌跡です。
おうぎ形の中心角の合計は、
１２０×２＋３０×２＋２１０＝５１０度
長さは、
３×２×３．１４×５１０/３６０＝
６×１７/１２×３．１４＝
８．５×３．１４＝
２６．６９ｃｍ
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日付を数字として考えます。たとえば、1月1日なら101、10月12日なら1012と考えます｡□月△日の○日後に対応する数字が、□月△日に対応する数字のちょうど２倍になりました。○としてありえる数字は何通りありますか｡ただし、２月は28日までとして考え、○は365以下の整数とします。
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１月１日は１０１、２倍すると２０２で２月２日となり、３２日後、
１月２日は１０２、２倍すると２０４で２月４日となり、３３日後、
１６日からは倍の３２日がないので、各月１５日まで考えます。
月は７月からは倍にすると１４となり不適当、
６月１５日までとなります。
１～６まで１５日が１５×６＝９０日、
ただし、１月１５日だけ１１５の２倍は２３０となり、
２月は２８日までなので、この１日を除くと、
９０－１＝８９通りとなります。
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「これ間違ったの？」
「数え間違いかな？」
図のように、同じ大きさの立方体をたて４個、横６個を１段とし、
５段積んで直方体を作りました。
そして、この直方体の表面のうち、この見取り図に表れている３つの面を赤く、
表れていない３つの面を青くぬりました。
このとき、赤と青の両方の色がぬられている立方体は何個ありますか。
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見えている３つの面を赤く塗って・・・
見えない３つの面を青く塗ります。
この部分を数えると・・・
２４個
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【図１】のように，、校庭に「中」の字を書き、８ヵ所の●に木を植えました。
さらに、となりどうしの木と木の間が２ｍ以下になるように、
「中」の字の上に木を植えます。
あと、最低何本の木が必要ですか。ただし、木の太さは考えないものとします。
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３．８ｍのところには１本、
５．５ｍのところには２本で、合計２×４＝８本
６ｍのところには２本で、合計２×３＝６本
７ｍのところには３本、
全部で、１＋８＋６＋３＝１８本
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図１のように、
丸のおもりと四角のおもりをつり下げた棒が水平な状態になりました。
図２、図３のようにおもりを付けかえても、棒は水平になりました。
（１）アとイの長さの比を最も簡単な整数で表すと何対何ですか？
（２）三角のおもりの重さは四角のおもりの重さの何倍ですか？
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てんびん図では、重さの比は長さの比の逆比になるので、
重さの比は、○：□＝３：２ です。
図２では重さの比が、○：２×□＝３：４ になるので、
長さの比は、ア：イ＝４：３
図３で重さの比が、２×○＝□＋△＝６ なので、
△＝６－２＝４ となり、
△は□の２倍の重さになります。
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透明なカードが４まいあります。それぞれには，2，0，1，0が書いてあります。これらをならべかえてできる４けたの整数は何通りありますか。ただし，２のカードはうら返して５のカードとして使うことができます。
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千の位に２、５を置く場合、
百、十、一の各位に１を置けるので、３通り、
千の位が２の場合と５の場合で、合計６通り、
千の位に１を置く場合、
百、十、一の各位に２か５を置けるので、それぞれ３通り、
合計６通り、
全部で６＋６＝１２通り
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図のように三角形ＡＢＣがあり、ＡＤ：ＤＢ＝５：２で辺ＤＥと辺ＢＣは平行です。
この三角形を辺ＤＥで折り返したときに、頂点Ａが移る点をＦとします。
また、辺ＤＦ、辺ＥＦが辺ＢＣと交わる点をそれぞれＧ、Ｈとします。
このとき四角形ＤＧＨＥの面積は三角形ＡＢＣの何倍になりますか？
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図のように、角度●はすべて等しくなるので、
△ＡＢＣと△黄と△緑は相似で、△赤は二等辺三角形になります。
△ABCと△黄の面積比は、（５＋２）×（５＋２） ： ５×５＝４９：２５
△黄と△緑の面積比は、５×５ ： （５－２）×（５－２） ： ＝２５：９
四角形ＤＧＨＥの面積比は、２５－９＝１６ なので、
四角形ＤＧＨＥの面積は△ＡＢＣの面積の１６/４９
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１ｇ，２ｇ，３ｇ，４ｇ，５ｇのおもりが１個ずつあります｡それぞれのおもりにはア～オのラベルがはられています。重さのわからない荷物（△）があります。てんびんに３通りののせ方をしたところ,下の図のようになりました。このとき，ア～オのおもりの重さと荷物（△）の重さがそれぞれ何gであるかを求めなさい。
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△＋エ＝ア＋オ…①
△＋ア＝イ＋ウ＋エ＋オ…②
△＋イ＝ウ＋オ…③
①と③より、
△＋エ＋ウ＋オ＝△＋イ＋ア＋オ………④
④の両辺から△とオを除くと、
ウ＋エ＝ア＋イ…⑤
同様に、②と③より、
ア＝イ＋イ＋エ…⑥
⑤に⑥を代人すると、
ウ＝イ＋イ＋イ
となり、よって、ウが3gでイが１ｇとわかります。
次に⑤の関係からアが４ｇ．エが２ｇとなります。
このことから、残ったオが５ｇとなります。
以上の結果を①に代人すると△が７ｇとわかります｡
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下の図のような１辺の長さが1cmの立方体があります。
点Ｐが頂点Ａから頂点Ｂまで立方体の辺上を移動します。
動いた距離は７cmでした。
ただし、同じ辺はくり返し通らず、頂点については同じ頂点をくり返し通ってもよいが、
頂点Ｂは通り過ぎることがないものとします。
このとき、何通りの行き方があるでしょうか？
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図のように、上面を１周してAにもどり、それからBに向かう道順は２通りあります。
上面を逆周りでも２通りなので、全部で４通りです。
同様に、黄面、緑面についても ４通りずつなので、
Aに集まる３面を１周する行き方は全部で ４×３＝１２通りです。
次に、この３面について、
３辺進んでからBに行く行き方は、図のようにスタートの逆周りを含めて２通り、
３面なので、２×３＝６通り
２辺進んでからの方向転換はいずれもBに到達してしまうので不適当、
したがって、１２＋６＝１８通りです。
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３/７より大きく、５/７より小さい分数で、
分母を６０とする約分できない分数はいくつありますか。
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３/７の分母と分子に６０/７をかけると分母が６０になり、
分子は、１８０/７＝２５．７・・・・・・
５/７の分母と分子に６０/７をかけると分母が６０になり、
分子は、３００/７＝４２．８・・・・・・
２６～４２までの分子の中で約分できないものをさがします。
偶数は約分できるので、
２７、２９、３１、３３、３５、３７、３９、４１ の中で３や５の倍数をのぞくと、
２９、３１、３７、４１ の４つになります。
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たて、よこ、ななめの和がどれも等しくなる魔方陣があります。
？に入る数はいくつでしょうか？
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たて２列の合計＝よこ２行の合計 なので、
１７＋ア＋イ＋？＋１３＋ウ＋エ＋１０
＝２０＋ア＋ウ＋８＋１９＋イ＋エ＋７
４０＋？＝５４
？＝１４
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下の図形の黄色部分の面積は何ｃ㎡ですか？
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△緑は直角二等辺三角形になるので、
面積は、６×６÷２÷２＝９ｃ㎡
△水色：△緑＝４：６ なので、
△水色の面積＝９×２/３＝６ｃ㎡
全体の直角二等辺三角形の面積は、１０×１０÷２＝５０ｃ㎡
△ピンクの面積＝（５０－１５）÷２＝１７．５ｃ㎡
求める面積＝６＋１７．５＝２３．５ｃ㎡
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消費税が１０％になったとき，１００円未満の消費税込みの価格として
ありえないものの中で，最も大きいのは何円ですか。
ただし，消費税抜きの価格，および消費税込みの価格は１円単位とし，
消費税を加えるときに１円未満は切り捨てられるものとします。
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９１円は、９１＋９．１円＝１００円 で、
９１円以上では、消費税込みの価格は１００円以上になります。
９０円は、９０＋９．０＝９９円
８９円は、８９＋８．９＝９７円
８８円は、８８＋８．８＝９６円
・・・・・・となり、
９８円がありえない最大の価格です。
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図の四角形ＡＢＣＤは、
角ＤＡＢ＝角ＤＣＢ＝９０度、ＤＣ＝ＢＣです。
ＡＢ＋ＡＤ＝６ｃｍのとき、四角形ＡＢＣＤの面積は何ｃ㎡ですか。
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図のように、四角形ＡＢＣＤをＣを中心に90度ずつ回転させると、
1辺が６ｃｍの正方形ができます。
したがって、四角形ＡＢＣＤの面積は、
６×６÷４＝９ｃ㎡
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Ａさん、Ｂさん、Ｃさん、Ｄさんの４人が算数のテストを受けました。
Ａさん：「わたしの順位はＢさんの次で、Ｂさんより８点低かった｡」
Ｂさん：「わたしは１番ではないよ｡」
Cさん：「わたしはＤさんの２倍より３２点低かったよ｡」
Ｄさん：「わたしの得点は５６点だった｡」
ＣさんとＤさんの得点の合計と、ＡさんとＢさんの得点の合計が等しいとき、
３番目に得点が高かった人の得点は何点でしたか？
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Ｄ＝５６×２－３２＝８０点 なので、
Ｃ＋Ｄ＝Ａ＋Ｂ＝５６＋８０＝１３６点
Ｂ－Ａ＝８点 より、
Ａ＜Ｄ＝５６ としても、Ｂ＞Ｃ＝８０ としても矛盾するので、
得点順位は、
Ｃ＝８０、Ｂ、Ａ、Ｄ＝５６ で３番目はＡになり、
Ａ＝（１３６－８）÷２＝６４点
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図のように、EG、HFをひいて長方形ＡＢＣＤを４つの部分に分けます。
四角形ＡＥＩＨの面積は２９ｃ㎡で、四角形ＩＦＣＧの面積は１７ｃ㎡です。
（１）四角形ＥＦＧＨの面積は三角形ＡＦＧの面積より何ｃ㎡大きいですか。
（２）三角形CHEの面積は三角形ＡＦＧの面積より何ｃ㎡大きいですか。
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（１）△ＡＩＧは等積移動すると△黄に面積が等しく、
△ＡＩＦは等積移動すると△緑に面積が等しくなります。
△赤は共通なので、四角形ＥＦＧＨの方が△ＨＥＩ分だけ大きいので、
２９÷２＝１４．５ｃ㎡ 大きいことがわかります。
（２）同様に、△ＣＩＨは等積移動すると△黄に面積が等しく、
△ＣＩＥは等積移動すると△緑に面積が等しくなります。
あとは、△水色と△赤の大きさを比べればよいので、
２９÷２－１７÷２＝６ｃ㎡ 大きいことがわかります。
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たて、横、ななめの３つのマス内の数字の和がすべてことなるように０～８を各１個ずつ入れます。黄色の４つのマスには奇数の数字を入れます。いま，0，3，6が上図のように入っています。このとき，残りの1，2，4，5，7，8を入れなさい。
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空いているマスにＡ～Ｆまでを入れて考えます。
黄色のマスには、奇数が入るので
Ｂ、Ｄ、Ｅには1、5、7が入ります。
すべての和が異なるので、Ｂ＋Ｃ＋Ｅと３＋Ｃ＋Ｄも異なります。
つまり、Ｂ＋Ｅと３＋Ｄは異なります。
よって、Ｄには５が入りません。
D＝7の場合
ＢとＥには１と５が入ります。
よって、Ｂ＋Ｅ＝６となりますが、
０＋Ｃ＋６＝Ｂ＋Ｃ＋Ｅとなってしまい、条件に合いません。
D＝1の場合
ＢとＥには５と７が入ります。
また、Ａ、Ｃ、Ｆは残る偶数2、4、8のいずれかですから、
Ａ＋Ｃ＋Ｆ＝２＋４＋８＝14です。
しかし、Ｃが２の場合は、Ｂ＋Ｃ＋E＝14になり不適当、
Cが８の場合はO＋８＋６＝14となりこれも不適当、
よって、Ｃ＝４と決まります。
次にE＝7の場合、６＋Ｄ＝Ｏ＋Ｅ＝７なので、
６＋Ｄ＋Ｆ＝０＋Ｅ＋Ｆとなり不適当、
よって、Ｅ＝５とわかります。
これで、残りの７はＢに入ります。
残ったＡとＦを考えると、A＝8、F＝2のときのみ
条件を満たします。
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整数を１から８１まで順にかけ合わせた数、
１×２×３×４×５×・・・・・×８１は、
１５で何回割り切ることができますか？
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１５＝３×５ なので、
１×２×３×・・・・×８１ の中に３×５がいくつ入っているか考えます。
３よりも５が少ないので、５の数を数えます。
１×～×９ までに５は１つ
１０×～×１９ までに１０＝２×５、１５＝３×５ なので２つ
２０×～×２９ までに２０＝４×５、２５＝５×５ なので３つ
３０×～×３９ までに３０＝６×５、３５＝７×５ なので２つ
４０×～×４９ までに４０＝８×５、４５＝９×５ なので２つ
５０×～×５９ までに５０＝２×５×５、５５＝１１×５ なので３つ
６０×～×６９ までに６０＝１２×５、６５＝１３×５ なので２つ
７０×～×７９ までに７０＝１４×５、７５＝３×５×５ なので３つ
８０×～×８１ までに８０＝１６×５ なので１つ
合計１９個あるので、１９回です。
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３５ｋｍの坂道があります。
この道を自転車で往復するとき、上りと下りの速さの比は４：７になります。
この坂道を往復するのに４時間２４分かかったとき、
上りの速さは時速何ｋｍですか。
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かかった時間の比は、速さの比と逆比になるので、
上り：下り＝７：４
４時間２４分＝２６４分
上りにかかった時間は、２６４×７/１１＝１６８分
１６８分＝１４/５時間
３５ｋｍ÷１４/５時間＝１２．５ｋｍ/毎時
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２けたの整数が４つあります。
この中の２つの整数の和と差を、
大きい順にすべて書き出したところ、
93,83,81,49,47,46,44,37,34,12,10,2
となりました。
４つの整数を求めなさい｡
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和と差に0がないので同じ整数はありません。
そこで、大きい順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとおいて考えていきます。
最も大きい数は、Ａ＋Ｂで、２番目に大きい数はＡ＋Ｃです。
なので、A＋B＝93、A＋C＝83
よって、B－C＝10とわかります。
このことから、ＢとＣの偶数奇数は同じになります。
したがって、Ｂ＋Ｃは偶数、
（偶数＋偶数＝偶数、奇数＋奇数＝偶数なので）。
したがって､81.49､47はＢ＋Ｃではないとわかります。
では、Ｂ＋Ｃが３番目に大きい数でないとすると、
３番目はＡ＋Ｄですから、81はＡ＋Ｄだとわかります｡
次に、４番目に大きい数もＢ＋Ｃではないので、
４番目に大きい数として考えられるのは、
Ａ－Ｄか、Ｂ＋Ｄだけですが、
Ｂ＋ＤはＢ＋Ｃより明らかにに小さいことがわかるので、
49はＡ－Ｄだとわかります｡
Ａ＋Ｄ＝８１、Ａ－D＝49 より、
Ａ＝65、D＝16、
Ｂ、ＣについてＡ＋B＝93、A＋C＝83 より、
B＝28、C＝18とわかります｡
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図のように碁石を並べて、次々に正方形を作っていきます。
２０１４個の碁石をできるだけ多く使って並べると、正方形はいくつできますか？
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一番左の５個の次に色部分の１１個を加えると正方形が１つできます。
（２０１４－５）÷１１＝１８２ あまり ７ で、
１８２個の正方形ができます。
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下の図は、ある正四角すいを底面と平行な平らな面で切断した図形です｡
もとの正四角すいの体積は何立方ｃｍですか。
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切り取られた正四角すいの黄色い三角面と、
もとの正四角すいの大きな三角面は相似で、相似比は２：３です。
赤い正四角すいの高さともとの正四角すいの高さの比が②：③になるので、
③－②＝① が ６ｃｍにあたるので、
③＝６×３＝１８ｃｍ
もとの正四角すいの体積＝３×３×１８×１/３＝５４立方ｃｍ
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ア～クの８個のおもりがあります。それぞれ重さに１ｇのものが５個、２gのものが２個、３gのものが１個です。天びんに３通りののせ方をしたところ、以下の図１～図３のようになりました。
問い１．３ｇのおもりはどれですか。
問い２．２ｇのおもりはどれとどれですか。
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図２と３より、右側は３ｇ以上ですから、
左側は４ｇ以上です。
イが１ｇとすると、オもカも３ｇとなり矛盾します。
したがって、イ＝２ｇ
すると、オもカも２ｇ以上で、どちらかが３ｇとなります。
イ、オ、カ 以外は１ｇなので、
図１の右は４ｇ
左は５ｇ以上なので、ウ、キは１ｇなので、カが３ｇになります。
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ＡさんからＦさんでリレーの順番を決めるために、希望を取りました。
全員の希望通りにすると、りレーの順番はどのようになりますか？
Ａ：私はＣさんの前に走りたくない。
Ｂ：私は第一走者になりたい。
Ｃ：私は最終走者（アンカー）になりたくない。
Ｄ：私はＡさんとバトン交換をしたい。
Ｅ：私はＤさんよりも後に走りたい。
Ｆ：私はＡさんの次に走りたい。
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順番に希望を聞いていきましょう！
Ａ：
Ｃ Ａ
Ｂ：
Ｂ Ｃ Ａ
Ｃ：
Ｂ Ｃ Ａ
Ｄ：
Ｂ Ｃ （Ｄ）Ａ（Ｄ）
Ｅ：
Ｂ Ｃ （Ｄ）Ａ（Ｅ）（Ｄ）（Ｅ）
Ｆ：
Ｂ Ｃ ＤＡＦＥ
したがって、
Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｆ→Ｅ の順番です。
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次のようなモグラたたきゲームがあります。
Ａ，Ｂ，Ｃの３匹のモグラは，下のような動きをくり返します。
Ａ：５秒間頭を出し，７秒間頭を引っ込める。
Ｂ：４秒間頭を出し，２秒間頭を引っ込める。
Ｃ：３秒間頭を出し，６秒間頭を引っ込める。
Ａ，Ｂ，Ｃのモグラが同時に頭を出したところからゲームを始めます。
ゲームを始めてから７分間に
Ａ，Ｂ，Ｃのモグラが同時に頭を出しているのは合計何秒ですか。
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Ａは頭を出す時間と引っ込めている時間のサイクルは、５＋７＝１２秒
Ｂは、４＋２＝６秒
Ｃは、３＋６＝９秒 なので、
最小公倍数の３６秒で最初に戻ることになります。
この３６秒間にＡＢＣが同時に頭を出していた時間を調べます。
Ａは、０－５、１２－１７、２４－２９
Ｂは、０－４、６－１０、１２－１６、１８－２２、２４－２８、３０－３４
Ｃは、０－３、９－１２、１８－２１、２７－３０
図のように、最初の３秒間と、２７－２８の１秒間、同時に頭を出しています。
３６秒間に３＋１＝４秒 なので、
７分は４２０秒ですから、３６秒×１１＋２４秒
したがって、同時に頭を出しているのは、
合計 ４×１１＋３＝４７ 秒間です。
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下の図は１辺の長さが１２ｃｍの正方形ABCDと、
それぞれの辺を３等分する点を１つおきに結んでできる図形です。
このとき斜線部分の八角形の面積は何ｃ㎡ですか。
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図１の黄色部分について考ます。
下図のように補助線を引き、ア、イ、ウの３つの三角形に分けてみます。
アとイが同じ面積で、イとウも同じ面積です。
ですから、黄色部分は底辺８ｃｍ高さ４ｃｍの直角三角形の面積の１/３、
（８×４÷２）÷３＝１６/３ｃ㎡
図２はこの面積を使っていきます。
図２のように補助線を引いて考えると、
緑と青の三角形は、例の砂時計形の相似、
底辺が３：１ですから高さも３：１、
△緑の高さは４ｃｍ÷４×１で１ｃｍ、
面積は４ｃｍ×１ｃｍ÷２で２ｃ㎡、
これを△アから引けば△赤が求められます。
１６/３－２＝３と１/３ｃ㎡
あとは、全体の正方形から４つの緑直角三角形と、
４つの△赤を引けばいいわけです。
△緑＋△赤＝（８×４÷２）×４＋（３と１/３）×４＝７７と１/３
１２×１２－７７と１/３＝６６と２/３ｃ㎡
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下の図１のような５×５の正方形を以下の２つのルールで４つの部分に切り分けます。
ルール1→正方形の辺に平行に、点線にそって切ること。
ルール2→切られた４つの部分をうまく組み合わせると、
３×３と４×４の２つの正方形ができること。
これらのルール通りの切り分け方として、何通りかの切り分け方が考えられますが、例以外に５通り書いてください。ただし裏返しや回転で同じになるものは１通りと考えます。
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２つの正方形を部品２：２の場合と、
３：１に分ける場合で考えていくと、見つけやすいです。
などの例から５つ選びます。
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下の図は同じ大きさの８つの正方形と、
面積が９０ｃ㎡の正方形を重ねたものです。
このとき、斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか？
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図の赤い直角三角形は小さな正方形１．５個分です。
４つあるので、１．５×４＝６個分
９０ｃ㎡の正方形の中に１０個あることになるので、
１つの小さな正方形の面積は、９０÷１０＝９ｃ㎡
１辺は３ｃｍです。
△赤と△黄は相似で、相似比は３：２
したがって、△黄の底辺の長さは、９×２/３＝６ｃｍ
高さは、３×２/３＝２ｃｍ
面積は、６×２÷２＝６ｃ㎡
斜線部分の面積＝９０－６×４＝６６ｃ㎡
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表のア～ケには１～１４のうちの異なる整数が入ります。
ケにあてはまる数は何ですか。
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横１列目の積１３５は
１３５＝３×３×３×５ より、
１３５＝３×５×９ しかないので、ウは３か５か９が入ります。
縦３列目の積２１０は
２１０＝２×３×５×７ より、
５×６×７
３×７×１０
３×５×１４ の３通りが考えられますが、
３と５の２つが共通する３×５×１４はありえません。
また、３×７×１０では横の積のどれかの１の位が０になりますが、
該当する数はないので、縦３列目は、５×６×７ に決まります。
ウ＝５ に決まるので、
ケは６か７です。
横２列目の２２４は
２２４＝２×２×２×２×２×７ より、
２×８×１４ か
４×７×８ なので、
共通するのは７しかありません。したがって、カ＝７
ケ＝６
ちなみに、
ア＝９、イ＝３、ウ＝５、エ＝４、オ＝８、カ＝７、キ＝２、ク＝１４
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Ａ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君の４人が○×式のテストを受けました。全10問の４人の解答とＡ君、Ｂ君、Ｃ君の点数は下の表のようになりました。このテストは1問10点で100点満点です。さて、Ｄ君は何点だったでしょうか。
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70点をとったＡ､Ｂ２人の意見があったのは、
第１、４、６、９の４問、
意見のあったこの４問が一つでも不正解の場合、
残り２、３、５、７、８、10の６問で４問正解しないと７０点にならず、
もう一人は２問しか正解にならず、７０点に届きません。
２人が３問ずつ正解でも６０点どまり、
つまり意見のあった４問はすべて正解。
ＣはＡ、Ｂが正解したこの４問すべて２人とは別記号なので、
60点とるには、２、３、５、７、８、１０はＣの答えが正解、
これで10問すべての正解が分かるので、
Ｄを採点すると、８０点になります。
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↓こちらファミリーページにもどうぞ！
図のようにＡからＭの１３個の地点をどの２地点も直接的または間接的に通信できるよう
に、通信線で結びます。
例えば、ＡＢ間とＢＣ間に通信線を引けば、ＡとＢ、ＢとＣは直接的に通信でき、ＡとＣはＢを経由して間接的に通信できます。
１３個すべての地点をどの２地点も直接的または間接的に通信できるようにするためには、１８本ある通信線のうち、最低何本引けばよいですか？
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図のように、１２本です。
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↓こちらファミリーページにもどうぞ！
何枚かのカードを束にして手に持っています。次のようにカードを操作します。
①一番上のカードを束の一番下に移します。
②次に一番上になっているカードをテーブルの上に置きます｡
③次に一番上になっているカードを束の一番下に移します。
④次に一番上になっているカードをテーブルの上に置きます。
この操作を手元に１枚だけカードが残るまで繰り返します｡
次の問いに答えなさい｡
（１）最初にカードが９枚あったとすると、
最初のカードの束の上から何枚目のカードが手元に残りますか。
（２）最初にカードが１６枚あったとすると、
最初のカードの束の上から何枚目のカードが手元に残りますか。
（３）最初のカードの一番下のカードが手元に残るためには、
最初に何枚のカードが必要ですか。
ただし、求める枚数は５２枚以下で最も多い枚数とします。
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（１）
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９・・・・・・最初のカード
１順目に残るカードは、
１ ３ ５ ７ ９
２順目に残るカードは、
３ ７
最後に残るカードは、
３枚目
（２）
最初のカード
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 12 13 14 15 16
１順目に残るカードは、
１ ３ ５ ７ ９ 11 13 15
２順目に残るカードは、
１ ５ ９ 13
３順目に残るカードは、、
１ ９
最後に残るカードは、
１枚目
（３）
最後のカードが残る場合は、奇数のときです。
一番下のカードが残る最も少ない場合は、
４－１＝３枚のときです。
次が、８－１＝７枚のとき、
その次が、１６－１＝１５枚のとき、
その次が、３２－１＝３１枚のとき、
その次は５２枚を超えてしまうので、
最も多いときは、で３１枚です。
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↓こちらファミリーページにもどうぞ！
半径３ｃｍの小円と、半径１２ｃｍの大円があり、
小円の中には矢印が描かれています。
小円が大円のまわりをすべることなく、時計と反対まわりに１周まわったとき、
矢印が左を向くのは何回ですか?
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（親子の会話より）
「円周が４倍だから４回って答えると、きっと違うんだよね」
「疑うようになってきたね」
「同じ円だと１周すると２回転・・・」
「知ってるじゃない」
「知ってるけど、不思議に思ってる。同じ円周なのに何で２回転なのか・・・」
「実際にころがしてみようか」
「やっぱり１回多くて５回だ」
「法則があるみたい」
小円が大円の外側を１周するときは
大円の半径÷小円の半径＋１
「この＋１がよくわからないのだ！」
「法則覚えといたら？」
「すっきりしない」
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↓こちらファミリーページにもどうぞ！
図のように半径４ｃｍの円の中で、２本の直線が垂直に交わっています。色のついた部分と白い部分ではどちらが何ｃ㎡大きいでしょうか？
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下図のように補助線を引くと、
Ａ＝Ａ’、Ｂ＝Ｂ’、Ｃ＝Ｃ’ となり、
色のついた部分が緑部分だけ大きいことが分かります。
その大きさは、（２＋２）×（１＋１）＝８ｃ㎡
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Ａさん，Ｂさん，Ｃさん，Ｄさんの４人が算数のテストをうけました。
Ａさん，Ｂさん，Ｃさんの平均点は６８点でした。
Ａさん，Ｂさん，Ｄさんの平均点は７０点でした。
Ｃさん，Ｄさんの平均点は７２点でした。
このとき，Ｃさんの点数は何点でしたか？
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Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝６８×３＝２０４点
Ａ＋Ｂ＋Ｄ＝７０×３＝２１０点
Ｄ－Ｃ＝２１０－２０４＝６点 なので、
Ｃ＝（７２×２－６）÷２＝６９点
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ある整数Ａは３の倍数で、しかも奇数です。
１１５７３をＡで割ると２３余り、６９４０をＡで割ると１０余ります。
このような整数Ａをすべて求めなさい。
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Ａは、１１５７３－２３＝１１５５０と、
６９４０－１０＝６９３０の公約数で、しかも２３より大きい数です。
公約数をを調べていきます。
最大公約数は、２×３×５×７×１１ なので、
３の倍数で２３より大きい奇数であるＡは、
３×１１、３×５×７、３×５×１１、３×７×１１、３×５×７×１１ となり、
以上を計算すると、
Ａは、３３、１０５、１６５、２３１、１１５５ とわかります。
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