目次

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2015年7月

2015年7月31日 (金)

筆算を完成させて!(2008年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

□の中に1つずつ整数を入れて、

図のような筆算を2通り完成させてください。

1_2

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2008=2×2×2×251 なので、

251×8 と

502×4

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三角形ABCの面積の何倍?(慶應義塾普通部 2014年)

下の図のような三角形ABCがあり,

辺AB,BCをそれぞれ3等分した点をD,E,F,Gとします。

また,辺ACの真ん中の点をHとします。

ア,イ,ウの面積の合計とエの面積との差は,三角形ABCの面積の何倍ですか。

731

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ア+イ+ウ-エ は

(△ABF+△BCH+△CAD)-△ABC

=(ウ+キ+ア+ア+オ+イ+イ+カ+ウ)-(ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ)

=ア+イ+ウ-エ となることから、

△ABCの面積を1とすると、

(1/3+1/2+1/3)-1=1/6 なので、

1/6倍です。

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2015年7月30日 (木)

面積は?(2011年算数オリンピック、トライアル問題より)

AB=AC=9cm、∠BAC=120゜の三角形ABCがあります。辺BC上にCP=6cmとなるように点Pをとり、辺AC上に∠APB=∠CPQとなるように点Qをとります。このとき、三角形BPQの面積を求めなさい。

1_2

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BCに対してAと対称な点Dをとります。

2

角DPB=角APB=角CPQより、

対頂角が等しいので、Q,P,Dは一直線上にあります。

三角形ABCは二等辺三角形で、角ABPは30度、

よって角ABD=60度、AB=BDなので、

三角形ABDは正三角形、よって、AD=9cmです。

角ABC=角ACB=角CBDより、ACとBDが平行、

三角形ADBの面積と三角形QBDの面積は等しく、

また、三角形ABDと三角形BCDの面積も等しいので、

三角形BPQ=三角形BDQ-三角形BDP

=三角形BDC-三角形BDP

=三角形CPD

CP=6cmなので、

6×(9÷2)÷2=13.5c㎡

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硬貨の枚数を最も少なくして!(2015年 白百合学園中学)

買い物をしたときに、

おつりの硬貨の枚数がなるべく少なくなるような支払い方について考えてみましょう。

ただし、お財布の中にある硬貨は、硬貨の枚数が最も少ない状態とします。

以下のとき、いくら支払うと、お財布に残る硬貨の枚数が最も少なくなりますか。

427


(1)お財布の中に340円あり、160円の買い物をした。

(2)お財布の中に742円あり、286円の買い物をした。

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(1)財布の中は、

100円玉が3個、10円玉が4個、全部で7個の硬貨があるので、

100円×2+10円×1=210円 →3個の硬貨を支払うと、

210-160=50円玉が1個戻ってきて、

3-1=2個 硬貨が減り5個になります。

(2)財布の中は、

500円玉が1個、100円玉が2個、10円玉が4個、1円玉が2個、

全部で9個の硬貨があるので、

500円×1+10円×4+1円×1=541円 →6個の硬貨を支払うと、

541-286=255円 で、

100円玉が2個、50円玉と5円玉が1個ずつ、全部で4個戻ってきて、

6-4=2個 硬貨が減り7個になります。

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2015年7月29日 (水)

賛成した人は何人?(成城学園中学 2014年)

めぐさんのクラスでは遠足の行き先を,

遊園地,動物園,水族館のうちから選ぶことになりました。

クラス40人全員が,必ず3つのうちのどれか1つ以上に賛成しなければなりません。

下の①~⑥を読んで,次の問いに答えてください。

①めぐさんは水族館だけに賛成しました。

②遊園地に賛成した人は24人でした。

③動物園に賛成した人は20人でした。

④2つだけに賛成した人は10人でした。

⑤1つだけに賛成した人は27人でした。

⑥遊園地と水族館の両方に賛成した人は11人でした。

(1)3つすべてに賛成した人は何人ですか?

(2)動物園だけに賛成した人は何人ですか?

(2)遊園地だけに賛成した人は何人ですか?

Ilm22_bc04025s

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P729

(1)

④と⑤より、 G=40-(10+27)=3人

(2)

⑥より、E+G=11人なので、E=11-3=8人 

④より、D+E+F=10人 なので、

D+F=10-8=2人 となり、

③より、C=動物園全体-(D+G+F)=20-(3+2)=15人

(3)

②とC=15人 より、

A+D=40-(24+15)=1人

Aにはめぐさんが入っているので、D=0人となります。

したがって、F=2人、

B=24-(8+3+2)=11人

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「あ」と「い」と「う」は何cm?(2015年 麻布中学)

たて40cm,よこ30cm,高さ「あ」cmの直方体の形をした水そうがあり,

図のように仕切りで区切られています。

この仕切りの両側に図のような水道A,Bがあり,

両方からそれぞれ毎秒18と3/4mLの割合で水を入れていきます。

水を入れ始めてから5分36秒後にAから入った方の水の高さと

Bから入った方の水の高さとが等しくなり,

水を入れ始めてから7分28秒後にはA側とB側が同時にいっぱいになりました。

このとき,以下の問いに答えなさい。

ただし,図は正確とは限りません。また,仕切りの厚さi考えないものとします。

7291

(1)「あ」は何cmですか。

(2)「い」は何cmですか。

(3)「う」は何cmですか。

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(1)

1mL=1立方cm、7分28秒=448秒 なので、

あ=75/4×448×2÷(30×40)=14cm

(2)

同じ時間でA、Bがいっぱいになったということは、断面積が等しいわけです。

つまり、5×14+い×8=30×14×1/2 となるので、

い×8=210-70

い=35/2=17.5cm

(3)

5分36秒=336秒後に断面積が等しくなったわけで、

その高さは、14×336/448=21/2=10.5cm

この高さは、同時にいっぱいになったことから、

(う+8)cmより高いとは考えられないので、

8cmの間のどこかになります。

したがって、5×10.5+17.5×(10.5-う)=30×10.5×1/2

(5+17.5)×10.5-17.5×う=157.5

17.5×う=78.75

う=4.5cm

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2015年7月28日 (火)

おもりの重さは?(2010年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

おもりア、イ、ウ、エ、オの重さは1gか2gか3gか4gで、同じ重さのおもりが2つあります。これらをてんびんにのせて量ったところ、図のようにすべてつりあいました。それぞれのおもりの重さを求めてください。

1_2

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図1より、ア+イ=ウ+エ+オ・・・・・①

図2より、ア=ウ+イ・・・・・②

図3より、エ=オ+イ・・・・・③

①の式に②を代入すると、

イ+イ+ウ=ウ+エ+オ となり、

両辺からウを引くと、

イ×2=エ+オ・・・・・④

③の両辺にオをたすと、

オ+エ=オ×2+イ

これに④を代入すると、

イ×2=オ×2+イ

両辺からイを引くと、

イ=オ×2・・・・・⑤

イ=2gか4gですが、

イ=4g、オ=2gだと、

図3より、エが6gになってしまい不適当、

したがって、イ=2g、オ=1g、エ=3g 

アかウの少なくとも1つは4gなので、

図2よりウより重いア=4gとなり、

ウ=2gになります。

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□と△を3組あげて!(アレセイア湘南中学校  2012年改題)

□と△には1~9の整数が入ります。

□=△のときもあります。

3/□ + 4/△ = 1 にあてはまる□と△を3組あげてください!

Bo3

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①□=6、△=8 → 3/6+4/8=1

②□=9、△=6 → 3/9+4/6=1

③□=7、△=7 → 3/7+4/7=1

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Cから何ℓの水を流したか?(早稲田実業学校中等部 2012年)

下の図のように,蛇口A,B,Cから水を流すと,

バケツDからHに水が入るような管があります。

管が分かれているところでは,水の量が半分ずつになって流れます。

蛇口AとBから同じ量の水を流し,Cからも何ℓか水を流したら,

バケツDに9ℓ,Eに26ℓの水か入りました。Cから何ℓの水を流しましたか。

7281

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図のように、下から順に赤字でリッター数を書き込んでみます。

7282

AとBから流された水の量を青字の1とすると、

3/4+1/4=1 に該当する水量は32リッターであることがわかります。

Cの直前では、3/4×32=24リッターなので、

Cは、36-24=12リッターの水を流しました。

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2015年7月27日 (月)

長方形のまわりの長さは?(2010年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題から)

1辺10cmの正方形を図のように線を引いて12個の長方形に分けました。

このとき、12個の長方形のまわりの長さの和を求めなさい。

Bandicam_20150727_093942922

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個々の長方形のまわりの長さを計算する際に、

正方形の中の5本の線は、すべて2回数えられます。

正方形のまわりの4辺は1回です。

したがって、10×5×2+10×4=140cm

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一筆書きは何通り?甲陽学院中学 2014年)

下の図を一筆書きする書き方は何通りあるでしょうか?

Bandicam_20150727_085243589_2

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線が3本集まっているところからスタートします。

それぞれ、2+2+2=6通りの書き方があるので、

6×2=12通りです。

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黄色部分の面積は?直線ABの長さは?(フェリス女学院中学 2011年)

図のように,長方形とおうぎ形が重なっています。

緑部分とおうぎ形の面積は等しく,

三角形OBCの面積と黄色部分の面積の差は12.3c㎡です。

直線ADの長さは6cmです。

(1)黄色部分の面積は何c㎡ですか。

(2)直線ABの長さは何cmですか。

7271

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△OBCは二等辺三角形なので、∠B=∠C=60°より正三角形となり、

OB=OC=BC=AD=6cm

おうぎ形の面積=6×6×3.14×60/360=6×3.14=18.84c㎡

黄色部分の面積=(18.84-12.3)÷2=3.27c㎡

長方形の面積=18.84×2-3.27=34.41 より

AB=34.41÷6=5.735cm

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2015年7月26日 (日)

3つの整数は?(2009年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題から)

2けたの整数が3つあります。

この中の2つの整数の和と差を、

大きい順にすべて書き出したところ、

94、72、50、44、28、22 となりました。

3つの整数を求めなさい。

Ilm18_be04012s

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和と差の中に0がないので、

3つの整数はすべて異なる整数だとわかります。

この3つの整数を大きい順にA、B、Cとおいて考えてみます。

6個の和と差は、

A+B、A+C、B+C、A-C、A-B、B-C です。

この6個の数字を全部たすと、

A+A+A+A+B+B=310 となります。

この6個の数字の中で最も大きい数はA+B=94なので、

A+A+94×2=310

2×A=122

A=61 とわかります。

B=94-61=33、

2番目に大きい数は、A+C=72より、

C=72-61=11 とわかります。

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分数の操作計算(2015年 開成中学 1番の問題より)

7251_3

7252_2

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(1)

A→23/5=4と3/5 なので、□=4+5+3=12

B→15/12=1と1/4 なので、1+4+1=6より、

□=30-6=24

C→分子が4のままでは、□=8となり約分できるので、不適当

分子が2では、□=10となり約分できるので、不適当

分子を1にすると、分母は12-1=11

□=11×4=44

(2)

5=1+4、5=2+3

5=1+1+3、5=1+2+2 より、

1/4、2/3、1と1/3、2と1/2、5

(3)

小さいほうから5番目

1以下では、26/27が最大ですが27+26=53になり不適当、

一番小さい分数は、1と26/27

2番目は、2と25/27

3と24/27は約分できるので不適当、

3番目は、4と23/27

4番目は、5と22/27

6と21/27も約分できるので不適当、

5番目は7と20/27 なので、209/27

大きいほうから5番目

一番大きいのは、(54×27)/27=1458/27

27を約分できるのは、分子が3の倍数になる場合で、

分母と分子をたして小さいほうから考えていくと、

2番目は、1/3=9/27 → 50と1/3=50と9/27=1359/27

3番目は、2/3=18/27 → 49と2/3=49と18/27=1341/27

4番目は、1/9=3/27 → 44と1/9=44と3/27=1191/27

5番目は、2/9=6/27 → 43と2/9=43と6/27=1167/27

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2015年7月24日 (金)

200段のピラミッドのレンガの数は?(第29回高校生クイズ全国大会1回戦問題より)

1段目は1×1個、2段目は2×2個のレンガを使い、200段のピラミッドを作るとき、使われているレンガの数は全部で何個?

Ripo3dan1

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「一番上が1、次が4、次が9・・・最後が40000、これ全部たすんだ」

「もちろん規則性がある」

「ガウス算使うみたいだけど・・・」

「使うけど、ちょっと工夫しないと。たとえば5段の場合、

段を一箇所にそろえて横に倒してみると・・・」

Ripo3dan2 Ripo3dan3

「この数は?」

Heimen

「左のピラミッドを横から見たときのレンガの数と

倒したピラミッドを上から見たときのレンガの数」

「両方とも同じ個数だ」

「数字の位置を動かしたピラミッドを3通り作って重ねると、それぞれの位置の和がどれも等しくなる」

0805_0803

「えっ?意味わかんない」

「こんな風に重ねていくの」

Ripo3dan4

「まだよくわからない」

「アニメーションを見てごらん」

Gif7242

 

「おお、なるほど・・・」

「全部同じ個数になったでしょ」

Ripo3dan6

「これでガウス算が使えそう」

1+2+3+・・・・・+200

+)

200+199+198+・・・・・・+1

201×200÷2=20100

「これが200×2+1段」

401段×20100個=8060100個

「同じ個数のピラミッドを3つ重ねたから・・・」

8060100個÷3=268万6700個

「早くできた高校生は式を知ってたわけ」

「どんな式?」

段数×(段数+1)×(段数×2+1)×1/6

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三角形BPQの面積は?(2011年算数オリンピック、トライアル問題より)

AB=AC=9cm、∠BAC=120゜の三角形ABCがあります。辺BC上にCP=6cmとなるように点Pをとり、辺AC上に∠APB=∠CPQとなるように点Qをとります。このとき、三角形BPQの面積を求めなさい。

1_2

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----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

BCに対してAと対称な点Dをとります。

2

角DPB=角APB=角CPQより、

対頂角が等しいので、Q,P,Dは一直線上にあります。

三角形ABCは二等辺三角形で、角ABPは30度、

よって角ABD=60度、AB=BDなので、

三角形ABDは正三角形、よって、AD=9cmです。

角ABC=角ACB=角CBDより、ACとBDが平行、

三角形ADBの面積と三角形QBDの面積は等しく、

また、三角形ABDと三角形BCDの面積も等しいので、

三角形BPQ=三角形BDQ-三角形BDP

=三角形BDC-三角形BDP

=三角形CPD

CP=6cmなので、

6×(9÷2)÷2=13.5c㎡

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円周上をまわる2点の速さと比は?(四天王寺中学 2007年)

Pic_0438

円周上を点A,Bが移動します。円周を4等分する点あ、い、う、え、があり、点Aは地点「い」で1秒、地点「う」で2秒、地点「え」で3秒、地点「あ」で4秒止まり、各地点間の移動には2秒かかります。点Bは、どこにも止まることなく一定の速さで動きます。はじめに点A,Bともに地点「あ」を出発し、点Aは左回りに、点Bは右回りに動き出し、点Aがちょうど1周して地点「あ」に着いたときに点Bと出会いました。

(1)点Aと点Bが初めて出会うのは、地点「あ」を出発してから何秒後ですか?

(2)点Aと点Bの速さの比は何対何ですか?

(3)3回目に点Aと点Bが出会うのは、地点「あ」を出発してから何秒後になりますか?

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「(1)はまん中あたりだから、じゃないのかな?」

「ちゃんと計算してみて」

「Aは1周するのに2×4+1+2+3で14秒だからBも14秒」

「Bはまん中のでは、7秒だね」

「Aはまで2+1+2で5秒で着く、で、2秒止まっているから7秒、ほら、やっぱりだ!」

「なんだか当たったっていう感じ!」

「(2)はAの方が速いから・・・」

「どのくらい?」

「Aは動いた8秒で1周する」

「Bは14秒だね」

「速さは逆比だから14:8=7:4」

「(3)は?」

「またあたりじゃないの?」

「こんどはそう単純ではないの!」

Gif724

のあいだあたりだな」

Aは18秒で「あ」を出発

「い」に20秒で到着、

21秒で「い」を出発

23秒で「う」に到着、

25秒で「う」を出発。

Bは1周14秒だから

21秒で「う」に到着、

24.5秒で「い」に到着

「21秒でAはを出発し、Bはを出発しているね」

「3回目の出会いはAがを出発して、に着くまでにおこるな」

「AとBの速さの比が7:4だから、点Aは地点「い」→「う」を2秒、点Bは地点「う」→「い」を3.5秒で移動するので、2点が出会うのは・・・」

点Aで計算すると、

21+2×{7/(7+4)}=22と3/11秒後

点Bで計算しても、

21+3.5×{4/(7+4)}=22と3/11秒後

「22秒はわかるけど、3/11秒って割り切れないじゃないか。どこで出合ったんだろう?」

「すれちがっているんだから、出会ったことは間違いないでしょ」

「ぴったりこない・・・」

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○にあてはまる整数は?(東京学芸大学附属小金井中学 2010年)

○にはすべて同じ整数が入ります。

○にあてはまる整数はいくつでしょうか?

Bandicam_20150724_085118066

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○が共通分母なので、分子をたすと

1+2+3+4+5=15 なので、

○=15÷5=3

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ケーキの大きさは?(2015年 お茶の水女子大学附属中学)

はるかさんは,ケーキ屋さんに行きました。

ケーキ屋さんには,円柱の形をしたケーキが売られていました。

店員さんにケーキの大きさのことを聞いたら,

「一番小さいケーキの大きさは5号です。このケーキの大きさは,直径15cm,高さ5cmです。そして,1号大きくなるごとに,直径が3cmずつ大きくなります。でもケーキの高さは変わりません。」

と教えてくれました。

このとき,次の各問に答えなさい。ただし,円周率はは3.14とします。

Cake157234_640

(1)8号のケーキを10人に等しく分けると,1人分のケーキの体積は何立方cmですか。

(2)分ける人数を10人から16人にすると,1人分のケーキの体積は何倍になりますか。

(3)高さを変えずに,底面の形を円から正方形に変えて,9号のケーキと同じ体積の直方体のケーキを作ってもらうことにしました。底面の1辺の長さはおよそ何cmになりますか。底面の1辺の長さを整数で答えなさい。

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---------------------------------------------------

(1)8号ケーキの直径は24cmですから、半径は12cm

ケーキの体積は、12×12×5×3.14=720×3.14

1人分の体積=72×3.14=226.08立方cm

(2)ケーキの体積を□とすると、

10人のときの1人分は、□/10

16人のときの1人分は、□/16

□/16 ÷ □/10 = □/16 × 10/□ = 10/16 =5/8倍

(3)9号ケーキの直径は27cm、半径は13.5cm

円の面積は、13.5×13.5×3.14=572.2・・・・c㎡

24×24=576 より、

正方形の1辺は、およそ24cmです。

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2015年7月23日 (木)

おもりと荷物の重さは?(2011年算数オリンピック、トライアル問題から)

1g,2g,3g,4g,5gのおもりが1個ずつあります。それぞれのおもりにはア~オのラベルがはられています。重さのわからない荷物(△)があります。てんびんに3通りののせ方をしたところ,下の図のようになりました。このとき,ア~オのおもりの重さと荷物(△)の重さがそれぞれ何gであるかを求めなさい。

1_2

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△+エ=ア+オ…①

△+ア=イ+ウ+エ+オ…②

△+イ=ウ+オ…③

①と③より、

△+エ+ウ+オ=△+イ+ア+オ………④

④の両辺から△とオを除くと、

ウ+エ=ア+イ…⑤

同様に、②と③より、

ア=イ+イ+エ…⑥

⑤に⑥を代人すると、

ウ=イ+イ+イ

となり、よって、ウが3gでイが1gとわかります。

次に⑤の関係からアが4g.エが2gとなります。

このことから、残ったオが5gとなります。

以上の結果を①に代人すると△が7gとわかります。

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くりぬいた後の表面積は?(須磨学園中学 2010年)

図は1辺の長さが1cmの立方体を27個積み重ねてできた立体で、

この立体の影をつけた部分を面に垂直に反対側まで押し出して取り除きます。

このとき、残った立体の表面積は何c㎡ですか?

P7231

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1段目で3つの面が見えるのは4つなので、3×4=12c㎡

1段目で4つの面が見えるのは4つなので、4×4=16c㎡

2段目は4つの面が見える4個だけなので、4×4=16c㎡

3段目は1段目と同じなので、

全部で、12×2+16×2+16=72c㎡

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影部分と同じ面積はどこ?( 2015年 聖ヨゼフ学園中学)

下の図は、中心角90°のおうぎ形と半径4cmの円を組み合わせたものです。

影のついた部分と同じ面積になる部分をぬりつぶしてください。

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7231

円の面積は、4×4×3.14=16×3.14

おうぎ形の面積は、8×8×3.14÷4=16×3.14

同じ面積なので、黄色部分が共通になることから、

影部分と緑部分が同じ面積です。

7232

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2015年7月22日 (水)

?に入る数字は?(2008年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

図1と図2は同じ規則で数字が書かれていますが、図2の方は3ヶ所以外の数字が消えています。図2の「?」に入る数字はいくつになりますか。

1

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以下のように、一番下の段を左からA、B、C、Dとすると、

一つ上のマスには下の2つのマスの和が入ります。

2

2Bは2×B、2Cは2×Cとすると、

黄=A+3×B+3×C+D

B+C=622 なので、3×B+3×C=3×(B+C)=1866

黄=?=17+1866+125=2008

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あてはまる分数はいくつ?(東海中学 2014年)

分母が8以下で、それ以上約分できない分数を小さい順に並べます。

アにあてはまる分数とイにあてはまる分数はいくつですか?

・・・・、3/7、ア、4/7、イ、5/8、・・・・

Apa0307s

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----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

3/7=0.42・・・・

4/7=0.57・・・・

ア=0.5=1/2

5/8=0.625

イ=0.6=3/5

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長さと面積は?(神戸女学院中等部 2014年)

三角形ABCと三角形CDEは共に直角二等辺三角形で、アの面積は28c㎡です。

また、点Fは辺CDを2:1の比に分ける点です。

(1)辺CDの長さは何cmですか。

(2)イの面積は何c㎡ですか。

7221_2

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図のように線を引いてみると、△AGDは□と面積が等しくなります。

したがって、□+△=28c㎡より、

大きな正方形の面積は、4×(□+△)+3×3=121c㎡

7222

大きな正方形の1辺は11×11=121 より、11cm

CD=11-3=8cm

7223

EK=JK= CK=8÷2=4cm

△JBEの面積=3×4÷2=6c㎡

BI=3cm

AH:HI=2:1 より、

BH=14/3-3=5/3cm

△JHBの面積=5/3×7÷2=35/6c㎡

イ=6+35/6=71/6c㎡

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2015年7月21日 (火)

切断した立体の体積は?(栄光学園中学 2007年)

104

1辺1cmの立方体を8個積んで、図のような立体を作りました。この立体をAB,CDを通る平面で切ったときにできる小さい方の立体の体積を求めなさい。

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「切った立体が想像できない」

「切った面を横から見たとしたらどうなる?」

Zu1

「そうか、これならわかりそう」

「この立体を二つの部分に分けて考えてみると・・・」

Zu2

「黄色部分の方が小さい!」

「そうだね」

Gif721

「左側の立体の体積は、(2x3÷2-1x1)x1=2立方cm

「右側は?」

「ピラミッド型の相似を使って1/3と2/3がわかるから、

(1/2x1/3÷2+2/3x1÷2)x1=5/12立方cm

「合計で?」

2と5/12立方cm

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∠ABPの大きさは?(2009年算数オリンピック、トライアル問題より)

AB=1cm、BC=4cmの長方形ABCDの辺AD上に、APよりPDが長く、角BPC=90度となるように点Pをとります。この時、角ABPの大きさを求めなさい。

1_2

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2

図のように三角形BPCを、PCを軸にして反転させます。

EからAD、BCに垂線を下ろし、それぞれの交点をF、Gとします。

三角形BAPと三角形EFPはBP=EP、

角BAP=角EFP=90度、角BPA=角EPFなので、

合同な三角形です。

よって、AB=FE=1cmです。 FGも1cmなので、

EGの長さは2cmとわかります。

また、EC=BC=4cmです。

以上より、三角形EGCは角EGC=90度で、

EC=4cm、EG=2cmなので、角ECG=30度とわかります。

角ECP=角BCPなので、角PCB=15度とわかります。

これより、角PBC=75度と計算でき、

角ABPの大きさが15度とわかります。

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正六角形の面積は何c㎡?(大阪星光学院中学 2010年)

図1の直角三角形ABCの面積は7c㎡です。

辺ABの2倍の長さを1辺とする正六角形の面積は何c㎡ですか?

P7212

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図のようにABの2倍の長さを1辺とする正六角形を作ると、

△ABCが6×6=36個入ることがわかります。

P721_5

したがってその面積は、7×36=252c㎡ です。

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重なった正方形の1辺の長さは何cm(広島学院中学 2014年)

図の長方形ABCDと正方形EFGHの面積は等しく、

重なった(斜線の)部分は正方形です。

重なった部分の正方形の1辺の長さは何cmですか。

7211

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図のように、Aの部分の面積を6個ずつ等しくとってみると、

緑部分が81-60=21c㎡であることがわかります。

7212

したがって、重なった正方形の1辺の長さは、

21÷5-4.2cm です。

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2015年7月19日 (日)

正三角形の移動(四谷大塚 合不合判定テストより)

「(1)はできたんだけど(2)ができなかった」

図の長方形ABCDはたての長さが12cmです。この長方形の辺上を、1辺の長さが6cmの正三角形を、矢印の方向にすべることなく転がして1周させました。このとき、図1の位置からスタートして、途中で図2のような位置になり、1周したときには、図1とまったく同じ位置にもどり、正三角形の頂点Pも元の位置にもどりました。長方形ABCDの横の長さが6cmより長く30cm以下であるものとして、次の問題に答えなさい。

(1)長方形ABCDの横の長さは何cmですか。

(2)頂点Pが移動した長さの合計は何cmですか

Zu1

Zu2

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----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

Bandicam_20150719_095311442

Bandicam_20150719_095326993

Bandicam_20150719_095338097

Bandicam_20150719_095355776

7192

Bandicam_20150719_095433420

Bandicam_20150719_095505378

7191

Bandicam_20150719_095523535

Bandicam_20150719_095539519

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どちらがどれだけ大きい?(麻布中学 2010年算数入試問題)

1辺の長さが1cmの黄と白の正方形が図のようにしきつめられています。

このとき,太線で示された(1)から(3)の各図形の中の,

黄の部分の面積と白の部分の面積はどちらがどれだけ大きいですか。

9231

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(1)△ABC内には相似の直角三角形が4つ見つかります。

9232

△赤は底辺が1/4ですから面積は1/4×1÷2=1/8

黄→(2/4×2÷2)-1/8=3/8

緑→(3/4×3÷2)-(1/8+3/8)=5/8

青→(4/4×4÷2)-(1/8+3/8+5/8)=7/8

面積比は赤:黄:緑:青=1:3:5:7

△ABCの黄部分=7+3=10

△ABCの白部分=5+1=6

(10-6)×1/8=4/8=1/2=0.5c㎡黄色部分が大きくなります。

(2)は同数です。

9233

(3)は(1)と(2)の結果を利用します。

9234_2 

全体が同数ですから、(2)の同数の水色部分を引いても残り部分は同数です。

青部分は黄色が0.5c㎡大きいので、残りは白部分が0.5c㎡大きくなります。

そこから(1)の白部分が0.5c㎡大きい赤い直角三角形2つを引くと、残りは黒部分が0.5c㎡大きくなります。

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ラベルが入れ替わっているおもりはどれ?(2009年算数オリンピック、トライアル問題より)

1~6gのおもりが1つずつあり、それぞれのおもりには1~6gまでのラベルが貼られています。いま、天びんに2通りの乗せ方をしたら、図1、図2ようになりました。このとき、ある2つのおもりのラベルが入れ替わって貼られていることに気づきました。ラベルが入れ替わって貼られているのは何gと何gのおもりですか?

1_2

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図1より、1gと4gか、2gと3gか、5gと6gかが

入れ替わっていることがわかります。

2-3だと、図2で右が9gになり、

つりあうので、2-3ではありません。

5-6だと、図2で左が10g、右が7gになり、

左が重くなるので、5-6ではありません。

1-4だと、図2で左は6gになりますが、

そのままなので、1gと4gのラベルが入れ替わっています。

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斜線部分の面積は?(昭和女子大学付属昭和中学 2014年)

図のように、半径10cmの円をみぎに4cm移動しました。

斜線部分の面積は何c㎡ですか?

P7191

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図のように、黄色部分の半円を緑部分に移動すると、

求める面積は長方形の面積になります。

P7192P7192_2

10×2×14=280c㎡

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どこを切ればよいか?(2015年 筑波大学附属中学)

太郎さんは、正方形の折り紙を次のように2回折りました。

その後、折った折り紙の斜線部分をハサミで切り取った後に広げて、

ある模様をつくりました。

7191

花子さんは、正方形の折り紙を次のように2回折りました。

太郎さんがつくった模様と同じ模様をつくるためには、

花子さんは2回折った折り紙のどの部分をハサミで切ればよいですか。

7192_3

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太郎君の模様は下の図のようになります。

7193

したがって、花子さんの折り紙は図のように切れば同じになります。

7194

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2015年7月18日 (土)

長方形を作って!(筑波大学附属中学 2006年)

Pic_0660q

図のような1辺12cmの正方形の紙があります。

この紙に図のように2本の線を引き、この線にそって紙を切ると、

3つの部分に分かれます。

3つの紙は置き方をかえて長方形を作ることができます。

そのときの長方形の短い方の辺の長さを求めなさい。

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「正方形の線にそって紙を切ると、黄色、青、緑の3つの部分に分けられるね」

Pic_0661a

「青と緑は直角三角形」

「直角以外の2つの角度を「×」と「○」として図1のように描きこんでみると・・・」

「2つの直角三角形は相似だ」

「黄色い部分を動かさないで、青と緑の直角三角形を黄色の周りに移動させてみるよ」

Gif7183

 

「長方形の1つの辺の長さは、緑の直角三角形の斜辺の長さと等しいから13cm」

「もう1つの辺の長さは?」

「面積が同じだから12×12÷13で11と1/13cm」

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立体の切り口の面積比は?(SundaySapixより)

図のような1辺が3cmの立方体があります。P、Q、Rはそれぞれ辺AE、AD、CD上にあり、AP、AQ、CRの長さはそれぞれ2cmです。

この立方体をA、C、Fを通る平面で切ったときの切り口の面積と、P、Q、Rを通る平面で切ったときの切り口の面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

Mo1


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まず、ACFを通る平面で切ってみます。

Gif7181
正三角形になります。

次はPQRを通る平面で切ってみます。

Gif7182
これは六角形。

切り口を比べてみます。

Bandicam_20150718_085930569
六角形の切り口を伸ばすと大きな三角形ができます。

大きな三角形も、小さな3つの三角形も正三角形です。

相似比で、AFが3ならPQは2、

Bandicam_20150718_090126793
小さな三角形の1辺はみんな1になります。

正三角形の辺の比は、

大:黄:小=4:3:1

したがって、面積比は、16:9:1

黄:緑=9:(16-1×3)=9:13

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ころがったサイコロの目は?(筑波大附属中学 2009年)

マス目の上にサイコロが置かれています。マス目の大きさとサイコロの面の大きさは等しいものとします。図のような位置にサイコロを置き、緑のマス目まで矢印のようにサイコロをすべることなく転がしました。このとき緑のマス目と接しているのは、サイコロの何の目ですか?

ただし、サイコロの「1」の裏は「6」、「2」の裏は「5」、「3」の裏は「4」の面とします。

Sai1

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「本当にころがしてみないとわからない」

「頭の中でころがすの」

「だと、こんな感じになる」

Sai3

「じゃあ、実際にころがしてみて」

Gif718_2

「3だ」

「試験では順番に考えていかないと・・・、

最初のサイコロをこんな風に描いてみたら?」

Sai2

「これなら順番に書いていけそうだな」

「間違えないようにね」

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4けたの平方数は?(2009年算数オリンピック、ファイナル問題から)

各けたの数字が2、0、9のいずれかで、

2、0、9のどれもが、いずれかのけたに現れる整数(たとえば920、2009など)のうち、

4けたの平方数(同じ整数を2個かけ合わせた数)はあるでしょうか?

あるとすれば、それはいくつですか?

Ilm18_ab05016s

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4けたなので、千の位は2か9になります。

2009~2990 の範囲で考えると、

45×45 ~ 54×54

9002~9920 の範囲で考えると、

95×95 ~ 99×99

ただし、一の位が2になる平方数は存在しないので、

一の位は0か9です。

これは一の位が0か3か7の整数同士をかけ合わせた数になり、

47×47、50×50、53×53、97×97が候補です。

それぞれ計算してみると、

47×47=2209 になり、条件に合う4けたの平方数です。

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オの部分の面積の何倍?(2015年 早稲田中学)

図の2点E、Fは、長方形ABCDの辺BCを3等分する点です。

ア、イ、ウ、エの4つの部分の面積の和が、

長方形ABCDの面積の5/8に等しくなりました。

長方形ABCDの面積は、オの部分の面積の何倍ですか。

6181

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△黄は長方形ABCDの1/2

△青は長方形ABCDの1/2×2/3=1/3です。

7182

エ+オ+イ=1/2

ア+オ+ウ=1/3

ア+イ+ウ+エ+2×オ=1/2+1/3=5/6

5/8+2×オ=5/6 なので、

2×オ=5/6-5/8=20/24-15/24=5/24

オ=5/48

長方形ABCDはオの 9と3/5倍

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2015年7月17日 (金)

何人以上何人以下?( 淑徳巣鴨中学 2012年)

大型エレベーターが1階に停止しており、50人乗っています。

2階で13人降りて10人乗ってきました。

3階で8人降りて12人乗ってきました。

4階で20人降りて15人乗ってきました。

5階で乗っている人が全員降りたとき、

1階からずっと乗っていた人は何人以上何人以下でしょうか?

Elevator44012_640

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最も少ない場合は、

2階で、50-13=37人

3階で、37-8=29人

4階で、29-20=9人

最も多い場合は、

2階で、50-13=37人

3階では、2階で乗ってきた10人のうち8人が降りたと考えれば、

37人のまま変わらず、

4階では、2階から乗ってきた残り2人と、

3階から乗ってきた12人のあわせて14人が降り、

さらに降りた人の、20-14=6人が1階から乗っていた人数と考えれば、

37-6=31人が残ります。

したがって、9人以上31人以下です。

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円周の長さを説明して!(東京学芸大学附属世田谷中学 2014年)

下の図のような正六角形があり,

その頂点ア,イ,ウ,エ,オ,カすべてを通るような半径10cmの円があります。

また円の外側に,正六角形の頂点ウ,カと,円周の上にある点キ,クを通るような

正方形ケ,コ,サ,シがあります。この図を用いて,

円周が直径の3倍より大きく,4倍より小さい値であることを鋭明しなさい。

なお,円周率が3.14であることは使ってはいけません。

7172

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図のように正六角形の1辺は円の半径10cmに等しく、

その周囲は60cmで、直径20cmの3倍です。

円周はこれより大きいことがわかります。

7173

正方形の1辺は円の直径と等しく20cm、

その周囲は80cmで、直径の4倍です。

円周はこれより小さいことわかります。

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2015年7月16日 (木)

長方形にできる図形は?(2009年算数オリンピック、トライアル問題より)

下の二等辺三角形は、まっすぐな線で2つに切り、その2つを図のようにくっつけて長方形にすることができます。

1

では、次の6つの図形は、例のようにまっすぐな線で2つに切って、長方形にすることができるでしょうか?
できる図形には○、できない図形には×を書きなさい。

2

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3

 

(6)の図形はどう切っても、10°か20゜の角度が残ります。

長方形にするためには、角度をうまく組み合わせ、

180゜か90°にする必要があるので、これは不可能です。

(1)~(5)→○

(6)→×

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A、B、Cの組は何通りある?(武蔵中学 2010年)

A、B、Cはどれも2以上の整数で、AはBより小さく、BはCより小さいとします。

A×B×C=770となるA、B、Cの組は何通りありますか。

Apf

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Bandicam_20150716_081102816

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角アの大きさは何度?(桐光学園中学 2014年)

図のように長方形の紙を2点P、Qを結ぶ直線で折り返すとCはEに移りました。

角アの大きさは何度ですか。

716

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∠PQC=∠PQE=70° なので、

∠EQD=180-70×2=40°

∠○=50°なので、∠ア=180-50=130°

7162

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2015年7月15日 (水)

3けた整数しりとり(2008年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

下のように、3けたの整数の一の位からはじまる整数を次々と書いていく「3けた整数しりとり」をします。

335→502→299→A→B→222

このとき、A、Bにあてはまる3けたの整数の組み合わせは全部で何通りありますか?

Apf0107s

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A=9□○

B=○△2 と考えると、

○は1~9の9通り

□は0~9の10通り

△も0~9の10通り なので、

9×10×10=900通り

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三角形EFGの面積は?(2015年  弘学館中学)

面積32c㎡の平行四辺形ABCDがあり、

図のように、BCは4等分、CDは2等分、DAは3等分されています。

このとき、三角形EFGの面積は何c㎡ですか?

P7151

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ADの長さを⑫にしてみると、

図のように、相似の関係からHI:IG=5.5:6.5=11:13 になります。

2

△EFG=△黄 で、△赤=32÷2=16c㎡ なので、

(11+13):16=13:△黄の面積

△EFG=△黄の面積=16×13÷24=26/3 より、

8と2/3c㎡

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底面積は何c㎡?水の深さは何cm?( 同志社中学 2014年)

深さ50cmの直方体の水そうがあります。

この水そうを空にして、1辺10cmの立方体の形をしたおもりを3個入れました。

その後、水そうに、4ℓ/分で水を入れていきます。

(1)下の図のように、おもりをたてに3個積み上げて入れたとき、

水を入れ始めてから18分後に深さが30cmになりまた。

水そうの底面積は何c㎡ですか。ただし、水そうの厚さは考えません。

7151

(2)下の図のように、おもりを横に3個ならべて入れたとき、

水を入れ始めてから20分後の水の深さは何cmですか。

7152

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図のように、深さ30cmになると、おもり3個分の高さです。

7153

18分間に水は、4×18=72リットル入っているので、

おもりと合わせた体積は、

72000+3×10×10×10=75000立方cm

底面積=75000÷30=2500c㎡

20分間に水は、4×20=80リットル

おもりをたして、80000+3000=83000c㎡

高さ=83000÷2500=33.2cm

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2015年7月14日 (火)

並べ方は何通り?(2010年算数オリンピック、トライアル問題より)

黒と白の丸い石がたくさんあります。このうち7個を図のように並べます。このとき、黒の石が隣り合わないような並べ方は何通りあるでしょうか?ただし、回転して同じになるものは1通りと数えます。

1_2

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黒石の個数で考えていきます。

0個→全部白石で1通り

1個→真ん中に置く場合と、周りに置く場合の2通り

2個→1つ離して置く場合と、2つ離して置く場合の2通り

(真ん中には置けません)

3個→1つおきに並べる1通り

全部で、1+2+2+1=6通り

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いくらのお菓子を何個ずつ買った?(2015年  片山学園中学)

1個10円、20円、40円、50円、70円の5種類のお菓子から3種類を選び、

それぞれ同じ個数ずつ買ったとき、代金の合計が990円になりました。

いくらのお菓子を何個ずつ買ったのでしょうか?

Fod1005s

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買った個数を□、買った種類をA×10円、B×10円、C×10円とすると、

A×10×□+B×10×□+C×10×□=990 なので、

□×(A+B+C)=99 となり、

A+B+C は99の約数です。

99=3×3×11 なので、

A+B+C が 9か11となる場合を考えます。

A+B+C=2+4+5=11 があてはまるので、

99÷11=9 となり、

20円、40円、50円のお菓子を9個ずつ買いました。

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頂点Pが動いたあとは?(2015年 雙葉中学)

1辺が3cmの正三角形が、図2のように、折れ線ABCDEFにそって、

(い)の位置からすべらずに回転して(う)の位置まで動きました。

頂点Pが動いたあとを図2の中にコンパスで書きましょう。

また、頂点Pが動いた道のりは何cmですか。

7145

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図の太線部分がPの軌跡です。

Bandicam_20150714_065518812

おうぎ形の中心角の合計は、

120×2+30×2+210=510度

長さは、

3×2×3.14×510/360=

6×17/12×3.14=

8.5×3.14=

26.69cm

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2015年7月13日 (月)

2倍になる月日は?(2011年算数オリンピック、トライアル問題より)

日付を数字として考えます。たとえば、1月1日なら101、10月12日なら1012と考えます。□月△日の○日後に対応する数字が、□月△日に対応する数字のちょうど2倍になりました。○としてありえる数字は何通りありますか。ただし、2月は28日までとして考え、○は365以下の整数とします。

Ilm03_aa08014s_2

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1月1日は101、2倍すると202で2月2日となり、32日後、

1月2日は102、2倍すると204で2月4日となり、33日後、

16日からは倍の32日がないので、各月15日まで考えます。

月は7月からは倍にすると14となり不適当、

6月15日までとなります。

1~6まで15日が15×6=90日、

ただし、1月15日だけ115の2倍は230となり、

2月は28日までなので、この1日を除くと、

90-1=89通りとなります。

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中学入試に出た図形問題!2色塗られた個数は?(四谷大塚 合不合判定テストより)

「これ間違ったの?」

「数え間違いかな?」

図のように、同じ大きさの立方体をたて4個、横6個を1段とし、

5段積んで直方体を作りました。

そして、この直方体の表面のうち、この見取り図に表れている3つの面を赤く、

表れていない3つの面を青くぬりました。

このとき、赤と青の両方の色がぬられている立方体は何個ありますか。

Bandicam_20150713_085044956

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見えている3つの面を赤く塗って・・・

Bandicam_20150713_085106408

見えない3つの面を青く塗ります。

Gif

この部分を数えると・・・

Bandicam_20150713_085327646

24個

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最低何本の木が必要?(桐蔭学園中学 2014年)

【図1】のように,、校庭に「中」の字を書き、8ヵ所の●に木を植えました。

さらに、となりどうしの木と木の間が2m以下になるように、

「中」の字の上に木を植えます。

あと、最低何本の木が必要ですか。ただし、木の太さは考えないものとします。

Bandicam_20150713_074711168

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3.8mのところには1本、

5.5mのところには2本で、合計2×4=8本

6mのところには2本で、合計2×3=6本

7mのところには3本、

全部で、1+8+6+3=18本

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長さの比、重さの比は?(晃華学園中学 2014年 理科)

図1のように、

丸のおもりと四角のおもりをつり下げた棒が水平な状態になりました。

図2、図3のようにおもりを付けかえても、棒は水平になりました。

(1)アとイの長さの比を最も簡単な整数で表すと何対何ですか?

(2)三角のおもりの重さは四角のおもりの重さの何倍ですか?

P7131

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てんびん図では、重さの比は長さの比の逆比になるので、

重さの比は、○:□=3:2 です。

図2では重さの比が、○:2×□=3:4 になるので、

長さの比は、ア:イ=4:3

図3で重さの比が、2×○=□+△=6 なので、

△=6-2=4 となり、

△は□の2倍の重さになります。

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2015年7月12日 (日)

何通りの整数ができる?(2010年算数オリンピック、トライアル問題より)

透明なカードが4まいあります。それぞれには,2,0,1,0が書いてあります。これらをならべかえてできる4けたの整数は何通りありますか。ただし,2のカードはうら返して5のカードとして使うことができます。

1_2

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千の位に2、5を置く場合、

百、十、一の各位に1を置けるので、3通り、

千の位が2の場合と5の場合で、合計6通り、

千の位に1を置く場合、

百、十、一の各位に2か5を置けるので、それぞれ3通り、

合計6通り、

全部で6+6=12通り

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三角形ABCの何倍?(2015年 西大和学園中学(女子))

図のように三角形ABCがあり、AD:DB=5:2で辺DEと辺BCは平行です。

この三角形を辺DEで折り返したときに、頂点Aが移る点をFとします。

また、辺DF、辺EFが辺BCと交わる点をそれぞれG、Hとします。

このとき四角形DGHEの面積は三角形ABCの何倍になりますか?

P7121

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図のように、角度●はすべて等しくなるので、

△ABCと△黄と△緑は相似で、△赤は二等辺三角形になります。

P7122

△ABCと△黄の面積比は、(5+2)×(5+2) : 5×5=49:25

△黄と△緑の面積比は、5×5 : (5-2)×(5-2) : =25:9

四角形DGHEの面積比は、25-9=16 なので、

四角形DGHEの面積は△ABCの面積の16/49

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2015年7月11日 (土)

1g,2g,3g,4g,5gのおもりはどれ?2011年算数オリンピック、トライアル問題から)

1g,2g,3g,4g,5gのおもりが1個ずつあります。それぞれのおもりにはア~オのラベルがはられています。重さのわからない荷物(△)があります。てんびんに3通りののせ方をしたところ,下の図のようになりました。このとき,ア~オのおもりの重さと荷物(△)の重さがそれぞれ何gであるかを求めなさい。

1_2

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△+エ=ア+オ…①

△+ア=イ+ウ+エ+オ…②

△+イ=ウ+オ…③

①と③より、

△+エ+ウ+オ=△+イ+ア+オ………④

④の両辺から△とオを除くと、

ウ+エ=ア+イ…⑤

同様に、②と③より、

ア=イ+イ+エ…⑥

⑤に⑥を代人すると、

ウ=イ+イ+イ

となり、よって、ウが3gでイが1gとわかります。

次に⑤の関係からアが4g.エが2gとなります。

このことから、残ったオが5gとなります。

以上の結果を①に代人すると△が7gとわかります。

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何通りの行き方がある?(大阪星光学院中学 2010年)

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下の図のような1辺の長さが1cmの立方体があります。

点Pが頂点Aから頂点Bまで立方体の辺上を移動します。

動いた距離は7cmでした。

P7111

ただし、同じ辺はくり返し通らず、頂点については同じ頂点をくり返し通ってもよいが、

頂点Bは通り過ぎることがないものとします。

このとき、何通りの行き方があるでしょうか?

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図のように、上面を1周してAにもどり、それからBに向かう道順は2通りあります。

上面を逆周りでも2通りなので、全部で4通りです。

P7112

同様に、黄面、緑面についても 4通りずつなので、

Aに集まる3面を1周する行き方は全部で 4×3=12通りです。

次に、この3面について、

3辺進んでからBに行く行き方は、図のようにスタートの逆周りを含めて2通り、

P7113

3面なので、2×3=6通り

2辺進んでからの方向転換はいずれもBに到達してしまうので不適当、

したがって、12+6=18通りです。

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約分できない分数はいくつ?(世田谷学園中学 2014年)

3/7より大きく、5/7より小さい分数で、

分母を60とする約分できない分数はいくつありますか。

Apf0107s_2

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3/7の分母と分子に60/7をかけると分母が60になり、

分子は、180/7=25.7・・・・・・

5/7の分母と分子に60/7をかけると分母が60になり、

分子は、300/7=42.8・・・・・・

26~42までの分子の中で約分できないものをさがします。

偶数は約分できるので、

27、29、31、33、35、37、39、41 の中で3や5の倍数をのぞくと、

29、31、37、41 の4つになります。

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2015年7月10日 (金)

?に入る数字は?(2011年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

たて、よこ、ななめの和がどれも等しくなる魔方陣があります。

?に入る数はいくつでしょうか?

1_2

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たて2列の合計=よこ2行の合計 なので、

17+ア+イ+?+13+ウ+エ+10

=20+ア+ウ+8+19+イ+エ+7

40+?=54

?=14

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黄色部分の面積は?(2015年 明治学院中学)

下の図形の黄色部分の面積は何c㎡ですか?

7101

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△緑は直角二等辺三角形になるので、

面積は、6×6÷2÷2=9c㎡

7102

△水色:△緑=4:6 なので、

△水色の面積=9×2/3=6c㎡

全体の直角二等辺三角形の面積は、10×10÷2=50c㎡

△ピンクの面積=(50-15)÷2=17.5c㎡

求める面積=6+17.5=23.5c㎡

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最も大きいのは何円?(2015年 渋谷教育学園渋谷中学)

消費税が10%になったとき,100円未満の消費税込みの価格として

ありえないものの中で,最も大きいのは何円ですか。

ただし,消費税抜きの価格,および消費税込みの価格は1円単位とし,

消費税を加えるときに1円未満は切り捨てられるものとします。

Money256296_640

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91円は、91+9.1円=100円 で、

91円以上では、消費税込みの価格は100円以上になります。

90円は、90+9.0=99円

89円は、89+8.9=97円

88円は、88+8.8=96円

・・・・・・となり、

98円がありえない最大の価格です。

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2015年7月 8日 (水)

この面積は何c㎡(2008年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

図の四角形ABCDは、

角DAB=角DCB=90度、DC=BCです。

AB+AD=6cmのとき、四角形ABCDの面積は何c㎡ですか。

1_2

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図のように、四角形ABCDをCを中心に90度ずつ回転させると、

1辺が6cmの正方形ができます。

2_2

したがって、四角形ABCDの面積は、

6×6÷4=9c㎡

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3番目の人の得点は?(昭和学院中学 2014年)

Aさん、Bさん、Cさん、Dさんの4人が算数のテストを受けました。

Aさん:「わたしの順位はBさんの次で、Bさんより8点低かった。」

Bさん:「わたしは1番ではないよ。」

Cさん:「わたしはDさんの2倍より32点低かったよ。」

Dさん:「わたしの得点は56点だった。」

CさんとDさんの得点の合計と、AさんとBさんの得点の合計が等しいとき、

3番目に得点が高かった人の得点は何点でしたか?
2203

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D=56×2-32=80点 なので、

C+D=A+B=56+80=136点

B-A=8点 より、

A<D=56 としても、B>C=80 としても矛盾するので、

得点順位は、

C=80、B、A、D=56 で3番目はAになり、

A=(136-8)÷2=64点

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面積は何c㎡大きい?(2015年 愛光中学)

図のように、EG、HFをひいて長方形ABCDを4つの部分に分けます。

四角形AEIHの面積は29c㎡で、四角形IFCGの面積は17c㎡です。

(1)四角形EFGHの面積は三角形AFGの面積より何c㎡大きいですか。

(2)三角形CHEの面積は三角形AFGの面積より何c㎡大きいですか。

7081

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(1)△AIGは等積移動すると△黄に面積が等しく、

△AIFは等積移動すると△緑に面積が等しくなります。

7082

△赤は共通なので、四角形EFGHの方が△HEI分だけ大きいので、

29÷2=14.5c㎡ 大きいことがわかります。

(2)同様に、△CIHは等積移動すると△黄に面積が等しく、

△CIEは等積移動すると△緑に面積が等しくなります。

7083

あとは、△水色と△赤の大きさを比べればよいので、

29÷2-17÷2=6c㎡ 大きいことがわかります。

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2015年7月 7日 (火)

同じにならない魔方陣(2012年算数オリンピック、ファイナル問題より)

たて、横、ななめの3つのマス内の数字の和がすべてことなるように0~8を各1個ずつ入れます。黄色の4つのマスには奇数の数字を入れます。いま,0,3,6が上図のように入っています。このとき,残りの1,2,4,5,7,8を入れなさい。

2_3 

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空いているマスにA~Fまでを入れて考えます。

3

黄色のマスには、奇数が入るので

B、D、Eには1、5、7が入ります。

すべての和が異なるので、B+C+Eと3+C+Dも異なります。

つまり、B+Eと3+Dは異なります。

よって、Dには5が入りません。

D=7の場合

BとEには1と5が入ります。

よって、B+E=6となりますが、

0+C+6=B+C+Eとなってしまい、条件に合いません。

D=1の場合

BとEには5と7が入ります。

また、A、C、Fは残る偶数2、4、8のいずれかですから、

A+C+F=2+4+8=14です。

しかし、Cが2の場合は、B+C+E=14になり不適当、

Cが8の場合はO+8+6=14となりこれも不適当、

よって、C=4と決まります。

次にE=7の場合、6+D=O+E=7なので、

6+D+F=0+E+Fとなり不適当、

よって、E=5とわかります。

これで、残りの7はBに入ります。

残ったAとFを考えると、A=8、F=2のときのみ

条件を満たします。

4


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15で何回割り切れる?(東京都市大学付属中学 2014年)

整数を1から81まで順にかけ合わせた数、

1×2×3×4×5×・・・・・×81は、

15で何回割り切ることができますか?

Boy160171_150

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15=3×5 なので、

1×2×3×・・・・×81 の中に3×5がいくつ入っているか考えます。

3よりも5が少ないので、5の数を数えます。

1×~×9 までに5は1つ

10×~×19 までに10=2×5、15=3×5 なので2つ

20×~×29 までに20=4×5、25=5×5 なので3つ

30×~×39 までに30=6×5、35=7×5 なので2つ

40×~×49 までに40=8×5、45=9×5 なので2つ

50×~×59 までに50=2×5×5、55=11×5 なので3つ

60×~×69 までに60=12×5、65=13×5 なので2つ

70×~×79 までに70=14×5、75=3×5×5 なので3つ

80×~×81 までに80=16×5 なので1つ

合計19個あるので、19回です。

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上りの速さは時速何km(中央大学附属中学 2014年)

35kmの坂道があります。

この道を自転車で往復するとき、上りと下りの速さの比は4:7になります。

この坂道を往復するのに4時間24分かかったとき、

上りの速さは時速何kmですか。

Ilm13_aa08004s

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----------------------------------------------------

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かかった時間の比は、速さの比と逆比になるので、

上り:下り=7:4

4時間24分=264分

上りにかかった時間は、264×7/11=168分

168分=14/5時間

35km÷14/5時間=12.5km/毎時

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2015年7月 6日 (月)

4つの数は何?(2009年算数オリンピック、ファイナル問題より)

2けたの整数が4つあります。

この中の2つの整数の和と差を、

大きい順にすべて書き出したところ、

93,83,81,49,47,46,44,37,34,12,10,2

となりました。

4つの整数を求めなさい。

Mpsa1201cs

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和と差に0がないので同じ整数はありません。

そこで、大きい順にA、B、C、Dとおいて考えていきます。

最も大きい数は、A+Bで、2番目に大きい数はA+Cです。

なので、A+B=93、A+C=83 

よって、B-C=10とわかります。

このことから、BとCの偶数奇数は同じになります。

したがって、B+Cは偶数、

(偶数+偶数=偶数、奇数+奇数=偶数なので)。

したがって、81.49、47はB+Cではないとわかります。

では、B+Cが3番目に大きい数でないとすると、

3番目はA+Dですから、81はA+Dだとわかります。

次に、4番目に大きい数もB+Cではないので、

4番目に大きい数として考えられるのは、

A-Dか、B+Dだけですが、

B+DはB+Cより明らかにに小さいことがわかるので、

49はA-Dだとわかります。

A+D=81、A-D=49 より、

A=65、D=16、

B、CについてA+B=93、A+C=83 より、

B=28、C=18とわかります。

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正方形はいくつできる?(芝浦工業大学柏中学 2014年)

図のように碁石を並べて、次々に正方形を作っていきます。

2014個の碁石をできるだけ多く使って並べると、正方形はいくつできますか?

P7061

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一番左の5個の次に色部分の11個を加えると正方形が1つできます。

P7062

(2014-5)÷11=182 あまり 7 で、

182個の正方形ができます。

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もとの正四角すいの体積は?(横浜女学院中学 2014年)

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下の図は、ある正四角すいを底面と平行な平らな面で切断した図形です。

もとの正四角すいの体積は何立方cmですか。

7061

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切り取られた正四角すいの黄色い三角面と、

もとの正四角すいの大きな三角面は相似で、相似比は2:3です。

7063

赤い正四角すいの高さともとの正四角すいの高さの比が②:③になるので、

③-②=① が 6cmにあたるので、

③=6×3=18cm

もとの正四角すいの体積=3×3×18×1/3=54立方cm

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2015年7月 4日 (土)

2g、3gのおもりはどれ?(2008年算数オリンピック、トライアル問題より)

ア~クの8個のおもりがあります。それぞれ重さに1gのものが5個、2gのものが2個、3gのものが1個です。天びんに3通りののせ方をしたところ、以下の図1~図3のようになりました。

問い1.3gのおもりはどれですか。

問い2.2gのおもりはどれとどれですか。

1_2

2

3

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図2と3より、右側は3g以上ですから、

左側は4g以上です。

イが1gとすると、オもカも3gとなり矛盾します。

したがって、イ=2g

すると、オもカも2g以上で、どちらかが3gとなります。

イ、オ、カ 以外は1gなので、

図1の右は4g

左は5g以上なので、ウ、キは1gなので、カが3gになります。

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リレーの順番は?(東海大学付属相模高等学校中等部 2014年)

AさんからFさんでリレーの順番を決めるために、希望を取りました。

全員の希望通りにすると、りレーの順番はどのようになりますか?

A:私はCさんの前に走りたくない。

B:私は第一走者になりたい。

C:私は最終走者(アンカー)になりたくない。

D:私はAさんとバトン交換をしたい。

E:私はDさんよりも後に走りたい。

F:私はAさんの次に走りたい。

Undoukai_relay

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順番に希望を聞いていきましょう!

A:

     C    A

B:

B    C    A

C:

B    C    A

D:

B    C    (D)A(D)

E:

B    C    (D)A(E)(D)(E)

F:

B    C    DAFE

したがって、

B→C→D→A→F→E  の順番です。

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同時に頭を出しているのは何秒?(2015年 清風南海中学)

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次のようなモグラたたきゲームがあります。

A,B,Cの3匹のモグラは,下のような動きをくり返します。

A:5秒間頭を出し,7秒間頭を引っ込める。

B:4秒間頭を出し,2秒間頭を引っ込める。

C:3秒間頭を出し,6秒間頭を引っ込める。

A,B,Cのモグラが同時に頭を出したところからゲームを始めます。

ゲームを始めてから7分間に

A,B,Cのモグラが同時に頭を出しているのは合計何秒ですか。
Game_moguratataki

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Aは頭を出す時間と引っ込めている時間のサイクルは、5+7=12秒

Bは、4+2=6秒

Cは、3+6=9秒 なので、

最小公倍数の36秒で最初に戻ることになります。

この36秒間にABCが同時に頭を出していた時間を調べます。

Aは、0-5、12-17、24-29

Bは、0-4、6-10、12-16、18-22、24-28、30-34

Cは、0-3、9-12、18-21、27-30

図のように、最初の3秒間と、27-28の1秒間、同時に頭を出しています。

7042

36秒間に3+1=4秒 なので、

7分は420秒ですから、36秒×11+24秒

したがって、同時に頭を出しているのは、

合計 4×11+3=47 秒間です。

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2015年7月 3日 (金)

2013年の灘中学、1日目の問題から(八角形の面積)

下の図は1辺の長さが12cmの正方形ABCDと、

それぞれの辺を3等分する点を1つおきに結んでできる図形です。

このとき斜線部分の八角形の面積は何c㎡ですか。

1

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Zu1_2

図1の黄色部分について考ます。

下図のように補助線を引き、ア、イ、ウの3つの三角形に分けてみます。

Zu2

アとイが同じ面積で、イとウも同じ面積です。

ですから、黄色部分は底辺8cm高さ4cmの直角三角形の面積の1/3、

(8×4÷2)÷3=16/3c㎡

図2はこの面積を使っていきます。

Zu4

図2のように補助線を引いて考えると、

緑と青の三角形は、例の砂時計形の相似、

底辺が3:1ですから高さも3:1、

△緑の高さは4cm÷4×1で1cm、

面積は4cm×1cm÷2で2c㎡、

これを△アから引けば△赤が求められます。

16/3-2=3と1/3c㎡

Zu3

あとは、全体の正方形から4つの緑直角三角形と、

4つの△赤を引けばいいわけです。

△緑+△赤=(8×4÷2)×4+(3と1/3)×4=77と1/3

12×12-77と1/3=66と2/3c㎡

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2007年算数オリンピック、トライアル問題より)正方形を2つ作るカッティングは?(

下の図1のような5×5の正方形を以下の2つのルールで4つの部分に切り分けます。

ルール1→正方形の辺に平行に、点線にそって切ること。

ルール2→切られた4つの部分をうまく組み合わせると、

        3×3と4×4の2つの正方形ができること。

これらのルール通りの切り分け方として、何通りかの切り分け方が考えられますが、例以外に5通り書いてください。ただし裏返しや回転で同じになるものは1通りと考えます。

2_3 

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2つの正方形を部品2:2の場合と、

3:1に分ける場合で考えていくと、見つけやすいです。

3

などの例から5つ選びます。

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斜線部分の面積は?(青稜中学 2014年)

下の図は同じ大きさの8つの正方形と、

面積が90c㎡の正方形を重ねたものです。

このとき、斜線部分の面積は何c㎡ですか?

P7031

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----------------------------------------------------

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図の赤い直角三角形は小さな正方形1.5個分です。

P7032

4つあるので、1.5×4=6個分

90c㎡の正方形の中に10個あることになるので、

1つの小さな正方形の面積は、90÷10=9c㎡

1辺は3cmです。

△赤と△黄は相似で、相似比は3:2

したがって、△黄の底辺の長さは、9×2/3=6cm

高さは、3×2/3=2cm

面積は、6×2÷2=6c㎡

斜線部分の面積=90-6×4=66c㎡

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ケにあてはまる数は?(2015年 智弁学園和歌山中学)

表のア~ケには1~14のうちの異なる整数が入ります。

ケにあてはまる数は何ですか。

703

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横1列目の積135は

135=3×3×3×5 より、

135=3×5×9 しかないので、ウは3か5か9が入ります。

縦3列目の積210は

210=2×3×5×7 より、

5×6×7

3×7×10

3×5×14 の3通りが考えられますが、

3と5の2つが共通する3×5×14はありえません。

また、3×7×10では横の積のどれかの1の位が0になりますが、

該当する数はないので、縦3列目は、5×6×7 に決まります。

ウ=5 に決まるので、

ケは6か7です。

横2列目の224は

224=2×2×2×2×2×7 より、

2×8×14 か

4×7×8 なので、

共通するのは7しかありません。したがって、カ=7

ケ=6 

ちなみに、

ア=9、イ=3、ウ=5、エ=4、オ=8、カ=7、キ=2、ク=14

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2015年7月 2日 (木)

第1回算数オリンピック、予選問題より(D君の成績は?)

A君、B君、C君、D君の4人が○×式のテストを受けました。全10問の4人の解答とA君、B君、C君の点数は下の表のようになりました。このテストは1問10点で100点満点です。さて、D君は何点だったでしょうか。

1

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70点をとったA、B2人の意見があったのは、

第1、4、6、9の4問、

意見のあったこの4問が一つでも不正解の場合、

残り2、3、5、7、8、10の6問で4問正解しないと70点にならず、

もう一人は2問しか正解にならず、70点に届きません。

2人が3問ずつ正解でも60点どまり、

つまり意見のあった4問はすべて正解。

CはA、Bが正解したこの4問すべて2人とは別記号なので、

60点とるには、2、3、5、7、8、10はCの答えが正解、

これで10問すべての正解が分かるので、

Dを採点すると、80点になります。

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最低何本引けば?(開智未来中学 2012年)

図のようにAからMの13個の地点をどの2地点も直接的または間接的に通信できるよう
に、通信線で結びます。

例えば、AB間とBC間に通信線を引けば、AとB、BとCは直接的に通信でき、AとCはBを経由して間接的に通信できます。

13個すべての地点をどの2地点も直接的または間接的に通信できるようにするためには、18本ある通信線のうち、最低何本引けばよいですか?

P7021

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図のように、12本です。

P7022

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カードのままこだて(鎌倉学園中学 2014年)

何枚かのカードを束にして手に持っています。次のようにカードを操作します。

①一番上のカードを束の一番下に移します。

②次に一番上になっているカードをテーブルの上に置きます。

③次に一番上になているカードを束の一番下に移します。

④次に一番上になっているカードをテーブルの上に置きます。

この操作を手元に1枚だけカードが残るまで繰り返します。

次の問いに答えなさい。

(1)最初にカードが9枚あったとすると、

  最初のカードの束の上から何枚目のカードが手元に残りますか。

(2)最初にカードが16枚あったとすると、

  最初のカードの束の上から何枚目のカードが手元に残りますか。

(3)最初のカードの一番下のカードが手元に残るためには、

  最初に何枚のカードが必要ですか。

  ただし、求める枚数は52枚以下で最も多い枚数とします。

Play072s_2

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(1)

1  2  3  4  5  6  7  8  9・・・・・・最初のカード

1順目に残るカードは、

1     3     5     7     9

2順目に残るカードは、

      3           7

最後に残るカードは、

      3枚目

(2)

最初のカード

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15 16

1順目に残るカードは、

1      3      5      7       9       11      13     15 

2順目に残るカードは、

1            5                9                 13      

3順目に残るカードは、、

1                             9   

最後に残るカードは、

1枚目

(3)

最後のカードが残る場合は、奇数のときです。

一番下のカードが残る最も少ない場合は、

4-1=3枚のときです。

次が、8-1=7枚のとき、

その次が、16-1=15枚のとき、

その次が、32-1=31枚のとき、

その次は52枚を超えてしまうので、

最も多いときは、で31枚です。

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2015年7月 1日 (水)

円の周りを回る円は何回転する?(早稲田中学 2009年)

半径3cmの小円と、半径12cmの大円があり、

小円の中には矢印が描かれています。

小円が大円のまわりをすべることなく、時計と反対まわりに1周まわったとき、

矢印が左を向くのは何回ですか?

Pic_0394

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(親子の会話より)

「円周が4倍だから4回って答えると、きっと違うんだよね」

「疑うようになってきたね」

Doen

「同じ円だと1周すると2回転・・・」

「知ってるじゃない」

「知ってるけど、不思議に思ってる。同じ円周なのに何で2回転なのか・・・」

「実際にころがしてみようか」

701_2

「やっぱり1回多くて5回だ」

「法則があるみたい」

小円が大円の外側を1周するときは

大円の半径÷小円の半径+1

「この+1がよくわからないのだ!」

「法則覚えといたら?」

「すっきりしない」

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第2回算数オリンピック、予選問題より)どちらがどれだけ大きいか?(

図のように半径4cmの円の中で、2本の直線が垂直に交わっています。色のついた部分と白い部分ではどちらが何c㎡大きいでしょうか?

1

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下図のように補助線を引くと、

A=A’、B=B’、C=C’ となり、

色のついた部分が緑部分だけ大きいことが分かります。

2

その大きさは、(2+2)×(1+1)=8c㎡

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Cさんの点数は何点?(2015年 愛知淑徳中学)

Aさん,Bさん,Cさん,Dさんの4人が算数のテストをうけました。

Aさん,Bさん,Cさんの平均点は68点でした。

Aさん,Bさん,Dさんの平均点は70点でした。

Cさん,Dさんの平均点は72点でした。

このとき,Cさんの点数は何点でしたか?

2203

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A+B+C=68×3=204点

A+B+D=70×3=210点

D-C=210-204=6点 なので、

C=(72×2-6)÷2=69点

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このような整数Aは?(開成中学 2013年)

ある整数Aは3の倍数で、しかも奇数です。

11573をAで割ると23余り、6940をAで割ると10余ります。

このような整数Aをすべて求めなさい。

Apf0107s

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Aは、11573-23=11550と、

6940-10=6930の公約数で、しかも23より大きい数です。

公約数をを調べていきます。

701

最大公約数は、2×3×5×7×11 なので、

3の倍数で23より大きい奇数であるAは、

3×11、3×5×7、3×5×11、3×7×11、3×5×7×11 となり、

以上を計算すると、

Aは、33、105、165、231、1155 とわかります。

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