4つの数は何?(2009年算数オリンピック、ファイナル問題より)
2けたの整数が4つあります。
この中の2つの整数の和と差を、
大きい順にすべて書き出したところ、
93,83,81,49,47,46,44,37,34,12,10,2
となりました。
4つの整数を求めなさい。
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和と差に0がないので同じ整数はありません。
そこで、大きい順にA、B、C、Dとおいて考えていきます。
最も大きい数は、A+Bで、2番目に大きい数はA+Cです。
なので、A+B=93、A+C=83
よって、B-C=10とわかります。
このことから、BとCの偶数奇数は同じになります。
したがって、B+Cは偶数、
(偶数+偶数=偶数、奇数+奇数=偶数なので)。
したがって、81.49、47はB+Cではないとわかります。
では、B+Cが3番目に大きい数でないとすると、
3番目はA+Dですから、81はA+Dだとわかります。
次に、4番目に大きい数もB+Cではないので、
4番目に大きい数として考えられるのは、
A-Dか、B+Dだけですが、
B+DはB+Cより明らかにに小さいことがわかるので、
49はA-Dだとわかります。
A+D=81、A-D=49 より、
A=65、D=16、
B、CについてA+B=93、A+C=83 より、
B=28、C=18とわかります。
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