4つの数は何？（2009年算数オリンピック、ファイナル問題より）

２けたの整数が４つあります。

この中の２つの整数の和と差を、

大きい順にすべて書き出したところ、

93,83,81,49,47,46,44,37,34,12,10,2

となりました。

４つの整数を求めなさい｡

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和と差に0がないので同じ整数はありません。

そこで、大きい順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとおいて考えていきます。

最も大きい数は、Ａ＋Ｂで、２番目に大きい数はＡ＋Ｃです。

なので、A＋B＝93、A＋C＝83　

よって、B－C＝10とわかります。

このことから、ＢとＣの偶数奇数は同じになります。

したがって、Ｂ＋Ｃは偶数、

（偶数＋偶数＝偶数、奇数＋奇数＝偶数なので）。

したがって､81.49､47はＢ＋Ｃではないとわかります。

では、Ｂ＋Ｃが３番目に大きい数でないとすると、

３番目はＡ＋Ｄですから、81はＡ＋Ｄだとわかります｡

次に、４番目に大きい数もＢ＋Ｃではないので、

４番目に大きい数として考えられるのは、

Ａ－Ｄか、Ｂ＋Ｄだけですが、

Ｂ＋ＤはＢ＋Ｃより明らかにに小さいことがわかるので、

49はＡ－Ｄだとわかります｡

Ａ＋Ｄ＝８１、Ａ－D＝49　より、

Ａ＝65、D＝16、

Ｂ、ＣについてＡ＋B＝93、A＋C＝83　より、

B＝28、C＝18とわかります｡

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