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2015年7月 6日 (月)

4つの数は何?(2009年算数オリンピック、ファイナル問題より)

2けたの整数が4つあります。

この中の2つの整数の和と差を、

大きい順にすべて書き出したところ、

93,83,81,49,47,46,44,37,34,12,10,2

となりました。

4つの整数を求めなさい。

Mpsa1201cs

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和と差に0がないので同じ整数はありません。

そこで、大きい順にA、B、C、Dとおいて考えていきます。

最も大きい数は、A+Bで、2番目に大きい数はA+Cです。

なので、A+B=93、A+C=83 

よって、B-C=10とわかります。

このことから、BとCの偶数奇数は同じになります。

したがって、B+Cは偶数、

(偶数+偶数=偶数、奇数+奇数=偶数なので)。

したがって、81.49、47はB+Cではないとわかります。

では、B+Cが3番目に大きい数でないとすると、

3番目はA+Dですから、81はA+Dだとわかります。

次に、4番目に大きい数もB+Cではないので、

4番目に大きい数として考えられるのは、

A-Dか、B+Dだけですが、

B+DはB+Cより明らかにに小さいことがわかるので、

49はA-Dだとわかります。

A+D=81、A-D=49 より、

A=65、D=16、

B、CについてA+B=93、A+C=83 より、

B=28、C=18とわかります。

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