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2015年6月20日 (土)

道のりは何km?(第3回算数オリンピック、決勝問題から)

図のような道があり、AからBまでは下り坂、BからCまでは平らな道、CからDまでは上り坂となっています。渡辺君と西村君の2人は、上り坂を時速4  kmでのぼり、平らな道では時速5 kmで進み、下り坂は時速6  kmでくだります。渡辺君と西村君はそれぞれAとDから同時に出発し、1時間後に2人はE地点ですれ違いました。E地点はBC上にあり、EC間の距離はBC間の距離の5分の1です。西村君がAに到着してから9分後に渡辺君がDに到着しました。それでは、AからDまでの道のりは何kmでしょうか。

1

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CD上にAB=FCとなる点Fを考えます。

2

渡辺君がAからFまで行く時間と、

西村君がFからAまで行く時間は等しいので、

9分の差は、DF間で生じたものです。

DF間の距離を□kmとすると、

渡辺君がF→Dを上る時間は□/4

西村君がD→Fを下る時間は□/6

この差が9分なので、

□/4-□/6=9/60

□=1.8

西村君はD→Fに1.8/6時間=18分かかり、

出発から1時間後にEですれ違ったので、

F→Eは60-18=42分=0.7時間かかったわけです。

つまり、FC/6+CE/5=0.7

AB=FCなので、AB/6+CE/5=0.7・・・・・・①

渡辺君はA→Eに1時間かかったので、

AB/6+BE/5=1

CE=1/5×BC → BE=4×CE なので

AB/6+(4×CE)/5=1・・・・・②

②-①

(3×CE)/5=0.3

CE=0.5

②より、AB=3.6

BC=5×CE=2.5

AB+BC+CF+FD=3.6+2.5+3.6+1.8=11.5km

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