目次

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2015年6月

2015年6月30日 (火)

円の中の数は?(第3回算数オリンピック、団体戦決勝問題から)

図の7つの円の中に、7つの連続する自然数を1つずつ適当に入れて、隣り合った円の中の和が、それを結ぶ線上に書かれた数になるようにしてください。

1

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和が4になる自然数は1と3しかありません。

1と3を含む連続する7つの自然数は、

1、2、3、4、5、6、7 になります。

和の4と7の間の丸に3を入れると、

7の右丸が4、10の右丸が6となり、

6の右丸が0になってしまい不適当、

以下の入れ方が矛盾なく収まります。

2_2

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15本目の三角形の面積は?(2015年 普連土学園中学)

図のように縦、横に垂直に伸びた直線があります。

この直線に縦は1cm、3cm、5cm・・・・・・

横は2cm、4cm、6cm・・・・・・の間隔で点をとり、

交互に線を引いていきます。

15本目に線を引いたときにできる三角形の面積は何c㎡ですか?

P630

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1本目の線を引いたときの三角形の底辺は→2cm

3本目の線を引いたときの三角形の底辺は→4cm

5本目の線を引いたときの三角形の底辺は→6cm

なので、

15本目の線を引いたときの三角形の底辺は→15+1=16cm

この三角形の高さは、

1+3+5+・・・・・+15=(1+15)×8÷2=64cm

このときできる三角形の面積は、

16×64÷2=512c㎡ 

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2015年6月29日 (月)

周囲の長さは?(第3回算数オリンピック、予選問題より)

1辺の長さが12cmの正5角形があり、中の5本の曲線は正5角形の各頂点を中心に描いた半径12cmの円周の一部です。黄色い部分の周囲の長さは何cmですか?

1

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2

△ABCも△CDEも正三角形になります。

正5角形の内角は108゜なので、

∠ACE=60×2-108=12゜

したがって、弧AEは円周の12/360=1/30

黄色部分の周囲=12×2×3.14×1/30×5=12.56cm

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体積の比は?(2015年 國學院大學久我山中学)

1辺の長さが1㎝の立方体をその1つの面と平行な平面で切り、

2つの直方体A、Bに分けます。

Aの表面積とBの表面積の比が1:2のとき、

Aの体積とBの体積の比をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

629

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Aの幅を□cm、Bの幅を△cmとすると、□+△=1cm

Aの表面積は、1×1×2+1×4×□=2+4×□

Bの表面積は、1×1×2+1×4×△=2+4×△

{2×(1+2×□)}:{2×(1+2×△)}=1:2 なので、

2×(1+2×△)=4×(1+2×□)

1+2×△=2+4×□

2×△-4×□=1

△-2×□=1/2

△=1-□ なので、

1-□-2×□=1/2

1-3×□=1/2

3×□=1/2

□=1/6

△=5/6

体積の比は□:△なので、

A:B=1:5

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2015年6月28日 (日)

Aの持っている点数は?(第3回、算数オリンピック、予選問題から)

A、B、C、D、Eの5人がサービス券を一人2枚ずつ持っていて、集めると1点券から10点券まで1枚ずつになります。5人それぞれの合計点数を調べると、AはBの2倍、BはCの2倍、DはEの2倍になっていました。Aの持っているサービス券の点数は何点と何点でしょうか?ただし、サービス券の点数は1~10点まですべて整数です。

Snnac061s

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1~10の2つの数の組み合わせで、

最小は1と2の3、最大は9と10の19、

A:B:C=4:2:1 より3人の合計点数の組み合わせは、

(12、6、3)・・・①か(16、8、4)・・・②になります。

Cが5以上ではAは19以上になってしまいます。

①だと、D+E=55-21=34

②だと、D+E=55-28=27

D:E=2:1より、D+Eは3の倍数になるので、

②が条件に合います。

したがって、C→(1、3)、B→(2、6) より、

A→7点と9点

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長方形アの面積は?( 國學院大學栃木中学 2013年)

図のように4つの長方形を並べました。

長方形アの面積は何c㎡ですか?

P6281

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下2つの長方形の横の長さ比は、50:40=5:4 なので、

40c㎡の長方形の横の長さは、15×4/9=20/3 cm

15c㎡の長方形とアの横の長さ比が、5:20/3=15:20=3:4 より、

アの面積=15×4/3=20c㎡

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切り取った立体の表面積は?(2015年 サレジオ学院中学)

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図のように、立方体ABCD-EFGHがあります。

ACの長さを6cm、辺FGのまん中の点をM、辺GHのまん中の点をNとします。

3点C、M、Nを通る平面でこの立方体を切ったとき、

点Gを含む方の立体の表面積は何c㎡ですか。

6281

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Gを含む立体は図のような三角すいになります。

6282_2

GN、GM、GCを切って広げると、

図のように立方体の1辺を1辺とする正方形になります。

Capture_2015_06_28_11_39_00_859

したがって、その面積=表面積は、6×6÷2=18c㎡

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2015年6月27日 (土)

ゼッケン番号の並び方は?(2015年 山脇学園中学)

150人が出場するマラソン大会のスタートの並び順は、

図1のようにゼッケン番号順に規則正しく横に12人が並びます。

P6271


図1の並びの中のある部分の9人に注目して、ゼッケン番号を囲んだところ、

下図のように囲んだ9人のゼッケン番号の合計が837になりました。

そのときのゼッケン番号の並び方を書き入れてください!

P6272

解法が表示されない場合は、
PC表示に切り替えてご覧ください!

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真ん中のゼッケンをAとすると、9つの数は以下の通りになります。

     A-13  A-12  A-11

     A-1     A    A+1

     A+11  A+12  A+13

これを全部たすと、A×9 になり、平均はA×9÷9=A になります。

したがって、A=837÷9=93 なので、

並び方は、

     80   81   82

     92   93   94

    104  105  106

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重なっている部分は?(2015年 東海大学付属浦安高等学校中等部)

1辺が8cmの正方形の台紙に、1辺が4cmの正方形の色紙(ア~ク)を

台紙の線に合わせて図のように重ねて貼っていきました。

このとき次の問いに答えなさい。

6271


(1)最初に貼られた色紙はア~クのうちどれですか。

(2)カの色紙と重なっていない色紙は何枚ありますか。

(3)もっとも多くの色紙が重なっている部分の面積をすべてあわせると

   何c㎡になりますか。

解法が表示されない場合は、
PC表示に切り替えてご覧ください!

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(1)ウは左半分が見えないので、イより先、

オは上半分が見えないので、ウより先、

クは上半分が見えないので、オより先、

キは右半分が見えないので、クより先、

カは右半分が見えないので、キより先、

カ→キ→ク→オ→ウ→イ→ア→エ の順番なので、最初はカ

(2)カと重なっているのは図のように2枚なので、

6272

重なっていないのは、8-2-カ=5枚

(3)重なっている枚数を調べると、図のようになります。

6273

したがって、3枚重なっている面積の合計は、

2×2×4=16c㎡

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2015年6月26日 (金)

角度は何度?(第2回算数オリンピック、予選問題から)

図のAとBの角度は何度ですか?

1
スマホで解法が表示されない場合は、
PC表示に切り替えてご覧ください!

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∠A、∠B、直角、150°の角、それぞれの頂点を

A、B、C、Dとします。

四角形BCDEが正方形となるような点Eをとります。

2
このとき ∠ADE=150°- 90°=60°

しかも DA=DEになるので、△ADEは正三角形、

よって ∠EAD=60°

EA=EBなので、△EABは二等辺三角形、

しかも ∠AEB=60°+90°=150°

よって、∠EAB=∠EBA=(180-150)÷2=15°

したがって元図の

Aの角度は60° - 15°=45°

Bの角度は90° - 15° =75°

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面積の比は?(2015年 慶應義塾中等部)

図は正方形とおうぎ形を組み合わせた図形です。

色のついた部分と色のついていない部分の面積の比を

最も簡単な整数の比で表すと何対何ですか?

P626

スマホで解法が表示されない場合は、
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正方形の1辺の長さを□とすると、

色部分の面積は、□×□×3.14×1/4

色のついていない部分の面積は、

□×□-□×□×3.14×1/4=□×□×(1-3.14×1/4)

色部分の面積:色のついていない部分の面積

=(3.14×1/4):(1-3.14×1/4)

=(3.14/4):(0.86/4)

=3.14:0.86

=314:86

=157:43

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色のついた部分の面積は?(2015年 慶應義塾中等部)

図は半径4cm、中心角45°のおうぎ形と二等辺三角形を組み合わせた図形です。

AD=BDのとき、色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

626

スマホで解法が表示されない場合は、
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AD=BDなので、△ABDは直角二等辺三角形で正方形の半分です。

いろ部分の面積=4×4×3.14×1/8-4×4×1/2×1/2

=2×3.14-4

=2.28c㎡

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2015年6月25日 (木)

角度問題(第2回算数オリンピック、決勝問題から)

図のような三角形ABDがあり、ABとCDの長さが等しいとき、?で示した角度を求めなさい。

1_2
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△ABCで

∠ACB=180゜-(30°+40°)=110°

よって

∠ACD=180' -110° =70°

△ABCを図のように移動し、

A、B、Cの移動先をそれぞれA'、B'、C'とすると

2_2
∠ACC'=70°+40°=110° ・‥‥‥①

∠A'C'B'=110‥‥‥‥②

①②およびAC=A'C'より、四角形AB'C'Dは等脚台形

すなわち ADとB'C'は平行

∠ADCと∠C'B'A'は錯角だから、∠ADC=∠C'B'A'

したがって ∠ADC=40°

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女性の大人は何人(2015年 大宮開成中学)

遠足に行った人数を調べたら、

男性11人、女性14人,子ども18人,大人7人でした。

そのうち男性の子どもが8人だとすると、女性の大人は何人ですか?

Ilm13_bb12015s_2

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女性の子供は、18-8=10人ですから、

女性の大人は、14-10=4人 です。

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何本の旗を立てた?(巣鴨中学 2014年改題)

3種類の旗A、B、Cがたくさんあります。

これらを次の規則にしたがって、

まっすぐな線の上に西から東へ順番に立てていきます。

①AとBは4mはなして立てる。

②BとCは3mはなして立てる。

③CとAは2mはなして立てる。

A、B、C、A、B、C、A、B、C……と立てていき、

はじめの旗から最後の旗まで160mはなれたところで立てるのをやめました。

全部で何本の旗を立てましたか。

Flagpole257413_640

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A-4m-B-3m-Cー2m-A

Aから次のAまで、4+3+2=9m です。

160÷9=17 あまり 7 より、

9m×17=153m なので、

(A、B、C、+2m)が17個と、A-4m-B-3m-C で160mになります。

したがって、旗の本数は 3×18=54本です。

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2015年6月24日 (水)

一般公募、最優秀作品問題(第1回算数オリンピック、予選問題より)

図のような、一辺1cmの正十二角形があり、白い部分は各辺を一辺とする正三角形12個です。ななめの線が引いてある部分の面積を求めなさい。

1

解法はPC表示に切り替えてご覧ください!

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3

図のように、真ん中に正六角形を作り、

6つの正三角形を白い部分に移動させると、

一辺が1cmの正方形が6個できます。

1×1×6=6c㎡

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正方形の面積は?(清風南海中学 2014年 改題)

図のように、1辺長さが9cmの正方形ABCDの各辺を2:1に分ける4点を結んで

正方形EFGHをつくり、正カ形EFGHの各辺を2:1に分ける点を結んで、

正方形IJKLを作りました。

正方形IJKLの面積は何c㎡ですか。

624

解法はPC表示に切り替えてご覧ください!

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正方形EFGHの面積は、

9×9-3×6÷2×4=45c㎡

正方形EFGHは正方形ABCDの、45/81=5/9 になっているので、

正方形IJKLの面積=45×5/9=25c㎡

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2015年6月23日 (火)

□にあてはまる文は?(2015年 頌栄女子学院中学)

粂件を入力すると、1から100までの整数のうちで

条件に当てはまらない整数の個数を答えてくれるマシーンがあります。

例えば条件「10以上」と入力すると「9個」と答え、

条件「10の倍数」と入力すると「90個」と答えます。

条件「4で割り切れないか、または[------]」と入力したら

マシーンは「8個」と答え、

条件「4で割り切れずに、さらに[------]」と入力したら

マシーンは「33個」と答えました。[------]には同じ文が入ります。

[------]にあてはまる文は何でしょうか??

Ilm06_bc02006s

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1~100までの中にある4の倍数を調べてみましょう。

4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60

64、68、72、76、80、84、88、92、96、100・・・・・の25個

「4の倍数でさらに○○の倍数」で8個になるのは、

3の倍数と6の倍数と12の倍数がそれぞれ8個です。

「4の倍数、または○○の倍数」で25+□=33個になるのは、

3では多すぎ、12では25個以外にはありません。

6の倍数は25個に含まれる以外に、

6、18、30、42、54、66、78、90の8個があり、

25+8=33個になるので、

[6で割り切れない] が解答例ですが、他にもあるでしょうか???

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「あ」、「い」の角度は?(2015年 フェリス女学院中学)

図のように、正八角形ABCDEFGHがあります。

点 I は直線AE上の点で、直線IFの長さと直線DFの長さは等しいです。

「あ」、「い」の角度をそれぞれ求めなさい。

6231

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図のように、IDはIFと等しくなるので、

△黄は正三角形になります。

6232

正八角形の内角は135°なので、

∠EDF=∠EFD=(180-135)÷2=22.5°

∠HDF=135÷2-22.5=45°

∠あ=180-(60+45)=75°

∠い=135-(60+22.5)=52.5°

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計算結果を最大に!(第3回算数オリンピック、団体決勝問題から)

1,2,3,4,5を下の式の□の中に1つずつ入れて、計算の結果を最大にしてください。

□+□-□×□÷□=

Mpsb1101cs

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「-」より左を最大にし、右を最小にします。

左は4と5で、右の「÷」の右を残りで最も大きい3にします。

4+5-1×2÷3=8と1/3

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2015年6月22日 (月)

ばねばかりの伸びは?(2015年 筑波大学附属中学)

AとB、2つのばねばかりがあります。

全長が18cmのばねばかりAに120gのおもりをつるすと、

全長が26cmになります。

また、全長が20.5cmのばねばかりBに120gのおもりをつるすと、

全長が24.5cmになります。

ある物をAとB両方のばねばかりで測ったら、

2つのばねばかりの長さが同じになりました。

このとき、Aのばねばかりのばねの伸びは何cmになりますか?

Images_2

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Aは120gで26-18=8cm伸び、

Bは120gで24.5-20.5=4cm伸びたので、

同じ重さで、AはBの2倍伸びたことになります。

AとBの差は、Bの方が20.5-18=2.5cm 長いので、

Bが2.5cm伸び、Aがその2倍の5cm伸びれば、

両方とも同じ長さになります。

したがって、Aの伸びは5cmです。

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木の間隔と走る速さは?(東海中学 2014年)

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木が等間隔に並んで立っているまっすぐな道があります。

木Sから木Uまで走るのに、A君は15秒、B君は21秒かかります。

A君は木Sの3本手前の木Rから、B君は木Sから同時に走り出しました。

A君が木Uの1本手前の木Tを通過したときに、

B君は木Tの6m手前にいました。

A君が木Uに着いたときに、B君は木Tに着きました。

(1)木の間隔は何mですか。

(2)B君の走る速さは秒速何mですか。

6221

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----------------------------------------------------

走る速さはかかる時間の逆比なので、A:B=21:15=7:5

6222

(1)Aが木の間隔△m進む同じ時間でBは6m進んだので、

△:6=7:5 より、

△=8.4m

(2)Bが□m進んだ同じ時間で、Aは□+8.4×4=□+33.6m進んだので、

(□+33.6):□=7:5 より

7×□=5×□+168

2×□=168

□=84m

Bは秒速、(84+8.4)÷21=4.4m

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2015年6月21日 (日)

□に入る数は?(第3回算数オリンピック、団体予選問題より)

1+1/2+1/4+1/8+1/16

=□×1/2×1/4×1/8×1/16

この□に入る数はいくつですか?

Hpsb1301cs

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

1+1/2+1/4+1/8+1/16=31/16

□×1/2×1/4×1/8×1/16=□×1/64×1/16

したがって、

□×1/64=31

□=31×64=1984

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もとの正方形の面積は?(桐朋中学 2014年)

ある正方形の1辺の長さを1cmずつ長くしてできる正方形の面積は、

もとの正方形の面積より19c㎡大きくなります。

もとの正方形の面積は何c㎡ですか?

P6211

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

もとの正方形の1辺の長さを□とすると、

P6212

1×□×2+1×1=19

2×□=18

□=9cm

もとの正方形の面積=9×9=81c㎡

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AFの長さはFBの長さの何倍?(東京都市大学付属中学 2014年)

下の図の三角形ABCにおいて、BD:DC=5:3、AE:ED=2:1、

辺ABとCEの延長が交わる点をFとします。

このとき、AFの長さはFBの長さの何倍ですか。

6211

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

AからBCに平行な直線をひき、CFを延長する直線との交点をGとします。

6212

△赤と△青 は相似で相似比は1:2なので、

DC:AG=③:⑥

△黄と△緑も相似なので、

BC:AG=⑧:⑥=4:3

FB:AF=4:3 より、

AFはFBの3/4倍

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2015年6月20日 (土)

道のりは何km?(第3回算数オリンピック、決勝問題から)

図のような道があり、AからBまでは下り坂、BからCまでは平らな道、CからDまでは上り坂となっています。渡辺君と西村君の2人は、上り坂を時速4  kmでのぼり、平らな道では時速5 kmで進み、下り坂は時速6  kmでくだります。渡辺君と西村君はそれぞれAとDから同時に出発し、1時間後に2人はE地点ですれ違いました。E地点はBC上にあり、EC間の距離はBC間の距離の5分の1です。西村君がAに到着してから9分後に渡辺君がDに到着しました。それでは、AからDまでの道のりは何kmでしょうか。

1

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

CD上にAB=FCとなる点Fを考えます。

2

渡辺君がAからFまで行く時間と、

西村君がFからAまで行く時間は等しいので、

9分の差は、DF間で生じたものです。

DF間の距離を□kmとすると、

渡辺君がF→Dを上る時間は□/4

西村君がD→Fを下る時間は□/6

この差が9分なので、

□/4-□/6=9/60

□=1.8

西村君はD→Fに1.8/6時間=18分かかり、

出発から1時間後にEですれ違ったので、

F→Eは60-18=42分=0.7時間かかったわけです。

つまり、FC/6+CE/5=0.7

AB=FCなので、AB/6+CE/5=0.7・・・・・・①

渡辺君はA→Eに1時間かかったので、

AB/6+BE/5=1

CE=1/5×BC → BE=4×CE なので

AB/6+(4×CE)/5=1・・・・・②

②-①

(3×CE)/5=0.3

CE=0.5

②より、AB=3.6

BC=5×CE=2.5

AB+BC+CF+FD=3.6+2.5+3.6+1.8=11.5km

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43はどのように表せますか?(東京学芸大学附属世田谷中学 2014年)

下の図のような規則で整数を表してみます。

この表し方で数を表すと,1から63までの数を表すことができます。

このとき,43はどのように表せますか?

P6201

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4つずつで繰り上がっていくので、4進法として考えてみると、

図のように表すことができます。

P6202

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テーブルは何個必要?(東京学芸大学附属世田谷中学 2014年)

4人がけのテーブルがあります。

図1のように,テーブルが1つだとそのまわりに4人がすわれ,

図2のように,テーブルを2つ並べるとそのまわりに6人がすわれます。

図3のように,テーブルを3つ並べるとそのまわりに8すわれます。

このようにして並べるテーブルの数を増やしていくとき,次の問いに答えなさい。

620_2

(1)テーブルを7つ並べると何人がすわることができますか。

(2)161人がすわるにはテーブルを何個並べればよいですか。

(3)図4のように,テーブルのさかい目のところにも人をすわらせようと思います。

  161人がこのようにすわるとき,テーブルをいくつ並べればよいですか。

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---------------------------------------------------

(1)左右の2人を除くと、テーブル1つに2人がすわれます。

7つだと、2×7=14人なので、左右を含め、14+2=16人 です。

(2)テーブルにすわれる人数は最大、偶数になるのに、161人は奇数です。

つまり、一番右にすわっていない状況を考えます。

一番左を除くと、160人ですから、テーブルの数は、160÷2=80個です。

(3)テーブル1つに4人とすると、161÷4=40あまり1 なので、

40個の場合を考えてみます。

すわることのできる最大人数は、(40-1)×4+2+2=160人となり、

1人すわれません。

したがって、テーブルは41個必要です。

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2015年6月19日 (金)

何枚に切り分けられるか?(第2回算数オリンピック、決勝問題より)

1枚の円形の紙を、直径を折り目にして折り曲げます。これに3本の直線を引いて、その直線にそって切り分けます。すると、直線の引き方によって、いろいろな枚数に切り分けられます。

このような方法で切り分けることができる枚数を、あるだけ書き出し、それぞれの枚数に切り分けるための3本の直線を引いてください。ただし、すべてが異なる枚数の切り分け方でなければなりません。

1

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

4枚

4

5枚

5

6枚

6

7枚

7

8枚

8

9枚

9

10枚

10

11枚

11

12枚

12

13枚

13

珍解答で正解になったものは次の通り。

2枚

2

3枚

3

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色のついた部分の面積は?(2015年 同志社中学)

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点Oを中心とする半径10cmの半円があります。

直径をABとし、この半円の曲線を4等分した点を図のようにC、D、Eとします。

ADとEOの交点をFとします。

色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

6191

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

∠AFO=∠ADB=直角

∠FOA=∠DBO=45° なので、

DBとFOは平行になるので、

△DFOと△BFOは面積が等しくなります。

6192

△GFOが共通なので、△緑=△黄となり、

求める面積は、半径10cm、中心角90°の おうぎ形DOBになります。

したがって、

10×10×3.14×1/4=78.5c㎡

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2015年6月17日 (水)

あじは何匹買ったか?(第1回算数オリンピック、予選問題から)

良子さんは魚屋さんで、次の魚をどれも1匹以上、ちょうど3600円分買いました。

さば・・・1匹あたり130円

あじ・・・1匹あたり170円

いわし・・・1匹あたり78円

さんま・・・1匹あたり104円

さて、良子さんはあじを何匹買ったのでしょうか?

Ilm23_he02006s

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78、104、130はいずれも13の倍数です。

さばといわしとさんまだけなら、

合計金額は13で割り切れます。

あじの170円は13で割ると1あまるので、

あじが1匹増えるごとにあまりも1増えていきます。

3600÷13=276・・・12

あまりが12なので、あじは12匹です。

ほかの魚が何匹かはわかりませんが・・・

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余りはいくつ?(晃華学園中学 2013年)

図のように、整数をある規則にしたがって、1から順に並べます。P617

60段目にあるすべての数の和を60で割ったときの余りはいくつですか?

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

1段目は1つ、2段目は2つ、3段目は3つ・・・、なので、

60段目は60個の整数が並んでいます。

59段目の一番右の数は、

(1+59)×59÷2=1770 なので、

60段目は、1771から1830までの数が並びます。

和は、(1771+1830)×60÷2=108030

108030÷60=1800 あまり 30

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----------------------------------------------------

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たけし君の所持金は?(2015年 高輪中学)

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あつし君の所持金はたけし君の所持金の1.5倍より400円少なく、

ひでき君の所持金はたけし君の所持金の3倍より300円多いです。

3人の所持金を合わせると16400円です。

たけし君の所持金は何円ですか。

2122

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----------------------------------------------------

線分図で表すと下図のようになります。

617

□×11=16400円+400円-300円=16500円

□=16500円÷11=1500円

たけし君の所持金は、1500円×2=3000円

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2015年6月16日 (火)

逆になる3けたの数は?(第1回算数オリンピック、予選問題から)

下の足し算の式をよく見ると、答えの824は、百、十、一の位の数字のならび方が初めと逆になっていることが分かります。百の位が4になっている3けたの整数の中で、396を足すと百、十、一の位の数字のならび方が逆になる整数は428以外にどれだけあるでしょうか。全部あげてください。

   4 2 8

+)3 9 6

-------------

     8 2 4 

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

   4 □ ○

+) 3 9  6 

--------------

   ○ □ 4

答えの一の位が4なので、1繰り上がっています。

すると十の位は□がなんでも1繰り上がるので、

○=8 になります。

□には0~9までどれでもよく、

すでに2は使っているので、

408、418、438、448、458、468、478、488、498

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「え」に入る数は?(東京学芸大学附属竹早中学 2014年)

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○の中に入る数は1以上のすべて異なる整数です。

図のように、頂点の1つが13、残りの5つの整数の和が74で、

各辺の和がすべて47になるとき、「え」に入る数はいくつですか?

P616

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

い+う=か+お=47-13=34

(い+う)+(か+お)+(う+え+お)=34×2+47=115

(い+う)+(か+お)+(う+え+お)-(い+う+え+お+か)

  =う+お=115-74=41

え=47-41=6

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三角形の面積の比は?(2015年 成蹊中学 )

図のように、三角形ABCでBCの真ん中の点をMとし、

AMでこの三角形を折り曲げてBの移った先をDとします。

このとき、ADとMCの交わる点をEとします。

AEとEDの長さの比が5:2であるとき、

三角形ABCと三角形AECの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

6161

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

AE:ED=5:2 なので、

△黄と△緑の面積比も高さが同じなので、⑤:②になります。

6162

△水色=△黄+△緑 なので、△水色の面積比は⑦

MがBCの中点なので、△ABCの面積比は、⑦×2=⑭

△AEC=⑭-(⑦+⑤)=②

△ABC:△AEC=⑭:②=7:1

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2015年6月15日 (月)

一番小さくなるのは?(第4回算数オリンピック、トライアル問題より)

次のように、①~⑳までの20個の式が、あるきまりにしたがって並んでいます。答えが一番小さくなる式はどれでしょう。その答えを答えてください。

①4/5+5/25、②4/6+6/25、③4/7+7/25、・・・・

⑲4/23+23/25、⑳4/24+24/25

Clas002s

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

20個とも左右を掛け合わせると、4/25になるので、

面積が等しい(4/25の)長方形の、

たてと横の長さをたした式と考えることができます。

その場合、一番短くなるのは、両方が同じ長さ、

つまり正方形のときです。

なぜなら、

1_2

面積の等しい正方形ABCDと長方形BEGHを

図のように重ねると、白い部分が共通なので、

黄=緑 になります。

つまり、AE×AD=FC×CH

ここで、AD=AB>EB=FC なので、

AD>FC

したがって、AE<CH

よって、

AB+BC=AE+EB+BC<EB+BC+CH=EB+BH

左右の分数が同じになるのは、

⑥の4/10+10/25=20/25=4/5

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あてはまる数は?(恵泉女学園中学 2012年)

下のア~カには、1~9の整数のどれかが小さい順に入ります。

ただし、同じ数字は1度しか使えません。

2×2×2×2×2×2×5×7=ア×イ×ウ×エ×オ×カ

ア,イ,ウ,エ,オ,カにあてはまる数を答えてください。

Apa0107s

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

2×2×2×2×2×2×5×7=2×4×8×5×7

したがって、ア=1、イ=2、ウ=4、エ=5、オ=7、カ=8

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斜線部分の面積は?(2015年 成城学園中学)

下の図は、一辺の長さが30cmの正方形で、

その頂点や各辺を3等分した点を結んだものです。

斜線部分の面積は何c㎡ですか。

6151

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

図のように、黄、緑、水色、赤の直角三角形はみな合同なので、

緑→緑、水色→水色 に移動すると、

斜線部分と同じ正方形が10個できます。

6152

したがって斜線部分の面積は、

30×30÷10=90c㎡

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2015年6月14日 (日)

あてはまる人数は?(2015年 市川中学)

下の表はあるクラスの生徒40人がテストを受けた結果です。

40人の平均点は21点でした。

このとき、ア、イにあてはまる人数を答えなさい。

6144


Pfa020s

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---------------------------------------------------

合計点数は、21×40=840点

5×2+10×3+15×5+25×9=340点

20×ア+30×イ=840-340=500点

ア+イ=40-(2+3+5+9)=21人 なので、

つるかめ算の面積図で表すと、

6143

20点の人=ア=130÷10=13人

30点の人=イ=21-13=8人

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角度の合計は?(開智未来中学 2012年)

下の図のア~キの7つの角度の合計は何度ですか?

6141

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

図のように外角の関係を整理すると、

6142

□=ウ+キ

△=ア+エ

○=イ+オ

○+△+□+カ=ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ=180°

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最小のBは?(第12回算数オリンピック、トライアル問題より)

A、Bは整数で、分数A/Bは、1/7<B/A<1/6となります。

分母Bが最小のとき、A+Bを求めなさい。

Hpsb1301cs

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

B=1のとき、

1/7<1/A<1/6 に該当する整数Aは存在しません。

B=2のとき、

1/7<2/A<1/6 → 2/14<2/A<2/12 より

A=13 です。

B=3 以上でもAは存在しますが、

問題はBが最小のときなので、

B=2、A=13 で、A+B=13+2=15

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2015年6月13日 (土)

立方体は何個?(2015年 湘南学園中学)

同じ大きさの立方体をすき間なく積み重ねた立体があります。

その立体は前後左右からみると図1のように見え、

真上から見ると図2のように見えます。

6131

(1)一番少ない場合、立方体は何個必要ですか。

(2)一番多い場合、立方体は何個ですか。

(3)表面積を比べると、次のうちどれが正しいですか。

①(1)が大きい。

②(2)が大きい。

③(1)と(2)は等しい。

④これだけではわからない。

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(1)図のように、42個です。

Capture_2015_06_13_07_03_02_578

(2)図のように、56個です。

Capture_2015_06_13_06_57_57_234

(3)どの方向から見ても表面は同じ形なので、③表面積は等しくなります。

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2015年6月12日 (金)

200番目の数は?(2004年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

8、2004、1996、8、1988、1980、8、・・・・・・

この数列の3番目以降は、

すべて直前の2つの数の差になっています。

200番目の数はいくつですか?

Apa0307s

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---------------------------------------------------

①1,4,7,・・・番目はすべて8、

②2,5,8,・・・番目は16ずつ減っていき、

③3,6,9,・・・番目も16ずつ減っていきます。

200÷3=66あまり2より、

200番目は②のグループの66+1=67番目なので、

2004-16×(67-1)=948 です。

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左から何番目?(2015年 青稜中学)

ある規則にしたがって、

白と黒のご石を下の図のように左から順番に並べていきます。

612

白のご石を2015個並べ終えたとき、そのご石は左から何番目ですか。

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○○●○●●○ の7個をブロックとして考えます。

このブロックの中に○は4個入っているので、

2015÷4=503 あまり 3 より、

2015個目は、503ブロックの次のブロックの3個目の○となります。

したがって、7×503+4=3525 番目です。

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2015年6月11日 (木)

面積から長さを求める(2006年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

図のように、4つの長方形ア、イ、ウ、エで作られた正方形EFGHがあります。この4つの長方形の面積の和が38c㎡で、それらの対角線でできている四角形ABCDの面積が30c㎡  であるとき、4つの長方形のまわりの長さの和を求めなさい。

2

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

長方形の周りの長さ=(たて十横)×2と考えることができます。

4つの長方形の周りの長さの和

=4つの長方形の(たて+横)の和×2

=正方形EFGHの周りの長さ×2

=正方形の1辺の長さ×4×2

=正方形の1辺の長さ×8 となります。

ここで、正方形EFGHの面積

=四角形ABCDの面積+4つの長方形の面積の和÷2

=30+38÷2

=30+19=49c㎡

49=7×7より、正方形EFGHの1辺の長さは7cm。

以上から、4つの長方形の周りの長さの和

=7×8=56cm。

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50ポンドは何ウォン?(2015年 佼成学園中学)

イギリスのお金の単位はポンドといい、韓国のお金の単位はウォンです。

1ポンドが170円、1ウォンが0.1円のとき、50ポンドは何ウォンですか?

Thinker28741_640

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50ポンドは、170×50=8500円

8500円は、8500÷0.1=85000ウォン

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友達に出会ったのは?(2015年 久留米大学附設中学)

A君の家から学校まで728mあります。

A君は家を出発し分速60mで学校に向かいましたが、

途中で友達に会い、そこからは分速40mで歩いたところ、

家を出発してからちょうど14分後に学校に着きました。

A君が友達に出会ったのは家から何mのところですか。

31101

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図のように面積図で表すと、つるかめ算になります。

611

14分間分速60mで歩けば60×14=840m なので、

その差は、840-728=112m

分速40mで歩いた時間は、112÷(60-40)=5.6分

分速60mで歩いた時間は、14-5.6=8.4分

友達に会ったのは家から、60×8.4=504m の地点になります。

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2015年6月10日 (水)

和を最大に!(第9回算数オリンピック、トライアル問題より)

下の式の□の中に、+、-、×、÷の記号を1つずつ入れて、a、b、c、dの和が最も大きくなるようにしてください。

1/2□1/9=a

1/3□1/8=b

1/4□1/7=c

1/5□1/6=d

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

8つの分数はすべて1/2以下なので、商以外は1より小さくなります。

そこでまず、商を一番大きくします。

1/2÷1/9=aが一番商が大きくなります。

後は通分して比較します。

×→ bは1/24、cは1/28、dは1/30

-→ bは5/24、cは3/28、dは1/30

+→ bは11/24、cは11/28、dは11/30

すると、

bが5/24、cが11/28、dが1/30のとき、

b+c+dが最大になります。

1/2÷1/9=a

1/3-1/8=b

1/4+1/7=c

1/5×1/6=d

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角ABCの大きさは?(女子美術大学付属中学 2014年)

下の図で、OA=OB=OC、角AOCの大きさが140°のとき、

角ABCの大きさは何度ですか?

610

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---------------------------------------------------

∠OAB=∠OBA=□°

∠OBC=∠OCB=△° とすると、

2×□+2×△=360-140=220°

□+△=∠ABC=110°

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2015年6月 9日 (火)

何本抜き取れるか?(第6回算数オリンピック、トライアル問題より)

6本のボーリングのピンを、1辺が3本の正三角形となるように立てます。これを遠く離れて正面から眺めると、①と⑤が重なって5本に見えます。

1

また、左か右に移動して30度の角度から眺めると次のようにピンが重なって3本に見えます。

2

正面、左30度、右30度、3つの方向から見て、ピンをぬき取ったことがわからないように、できるだけ多くのピンをぬき取ることを考えます。6本の場合では、①か⑤を1本ぬき取れるので、「最も多くぬき取れる本数」は1本。その場合のピンの選び方は2通りとなります。

3

では、ピンが10本の場合では、「最も多くぬき取れる本数」は何本ですか。また、その場合のピンの選び方は何通りありますか。

4

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「正面から見て条件をみたす取り方」から、

「その中で30度から見ると条件をみたさない取り方」を引く、

という方式で考えます。

正面から見て条件をみたすためには、

各列(7列)に少なくとも1本残っていなくてはならないので(図1)、

5
10- 7 =3で、最大3本取れmす。

また、その取り方は、

図2で、囲まれた列のそれぞれどちらか1本ですから、

2×2×2=8で、8通りあります。

次に、この8通りの中で、

30度から見ると条件をみたさない取り方をさがします。

それは、図3で、黒で示した3本とも取った場合です。

6

これは、反対側の30度から見る場合にも当てはまるので、

30度から見て条件をみたさない取り方が

2通りあることになります。

したがって、正面から見ても30度から見ても条件をみたす取り方は

8-2=6通りです。

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何時間何分かかる?(2015年 駒場東邦中学)

川に沿ったA市の上流にB市があります。

静水での速さが毎時10kmであ船でA市からB市に行くのに2時間30分、

B市からA市に行くのに1時間40分かかります。

①A市とB市の距離は何kmですか。

②ある日、川の上流で雨が降ったため、川の流れの速さがいつもより速くなり、

  A市からB市に行くのに4時間かかりました。

  このとき、B市からA市に行くのに何時間何分かかりますか。
Ferry157517_640

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---------------------------------------------------

①川の流れの速さを毎時□kmとすると、

2.5×(10-□)=5/3×(10+□) なので、

25-2.5×□=50/3+5/3×□

75/3-50/3=(7.5/3+5/3)×□

25/3=12.5/3×□

□=2

A市とB市の距離は、

2.5×(10-2)=20km

②川の流れの速さを毎時□kmとすると、

20÷(10-□)=4 なので、

(10-□)=5 より、

□=5

B市からA市までは、

20÷(10+5)=4/3 時間なので、

1時間20分

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2015年6月 7日 (日)

できるだけはやく計算してください!(2004年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

{(579+795+957)ー(246+462+624)}÷9

Bo3

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---------------------------------------------------

前の(   )内は百、十、一の各位の和が5+7+9に、

後の(   )内は百、十、一の各位の和が2+4+6に、

{(5+7+9)×(100+10+1)-(2+4+6)×(100+10+1)}

÷9

={(5+7+9)×111-(2+4+6)×111}÷9

={(21-12)×111}÷9

=9×111÷9

=111

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点Pが通った道すじは?(お茶の水女子大学附属中学 2014年)

図2のようにたて9cm,横12cmの長方形ABCDと

一辺が3cmの正三角形PQRがあります。

はじめは頂点Aと頂点Qが重なり,辺AD上に辺QRがあります。

正三角形PQRを時計回りに転がし,

長方形ABCDの周りをもとの正三角形の位置と重なるまでひと回りさせました。

ただし,正三角形PQRは長方形ABCDの辺を,

すべることも,はなれることもないものとします。次の①,②に答えなさい。

607

①点Pが通った道すじを解答らんにコンパスを使ってかきなきい。

  ただし,コンパスでかいた線は消さずに残しておきなさい。

②点Pが通った道のりは何cmですか。ただし円周率は3.14とします。

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

①図の太線部分です。

6072

②おうぎ形の中心角の合計は、

120×7+210×2=1260° なので、

3×2×3.14×1260/360=65.94cm

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辺EFに対応する辺は?(2015年 水戸英宏中学)

正方形の四すみを切り取って、図のような正八角形ABCDEFGHを作りました。

直線CGを対称の軸とするとき辺EFに対応する辺はどれですか。

P607

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図のように。AHが対応する辺です。

P6072

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2015年6月 6日 (土)

容器に容積は?(第6回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

容積の異なる2つの容器A、Bがあり、その容積はどちらも300ml以上であることがわかっています。それぞれの容器に水を300mlずつ入れて次の操作をしました。

(操作1)容器Aの水を容器Bにいっぱいになるまで入れたら、容器Aにはその容積の1/2だけ水が残りました。

(操作2)次に、容器Bの水を容器Aにいっぱいになるまで入れたら、容器Bにはその容積の1/3だけ水が残りました。

容器A、Bの容積はそれぞれ何mlですか。

1_2

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

Aの容積をA、Bの容積をBとすると、

2つの容器の合計水量は300×2=600mlで変わらないので、

操作1→A×1/2+B=600ml・・・・・・①

操作2→A+B×1/3=600ml・・・・・・②

①×2=A+B×2=600×2=1200ml・・・・・・③

③-②=B×2-B×1/3=1200-600=600ml

B×5/3=600ml

B=360ml

③=A+360×2=1200ml

A=1200-720=480ml

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はじめの分数は?(2015年 愛知淑徳中学)

ある分数の分子の数と分母の数の和は77です。

この分数の分子の数を6大きくし、分母の数を2小さくしてできた分数は、

約分すると4/5になります。はじめの分数は何分の何ですか?

Apf

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---------------------------------------------------

最初の分母を□、分子を△とすると、

□+△=77

(□-2)+(△+6)=81

4/5の分母と分子をたすと9なので、9倍すると81になります。

分母は5×9=45、分子は4×9=36 ですから、

□=45+2=47、△=36-6=30

最初の分数は、30/47

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色部分の面積は?(2015年 函館ラ・サール中学)

図のような,面積が6c㎡の正六角形ABCDEFがあります。

図の点Bと点Fを線で結び、

点Cと点Eを中心に半径が正六角形の1辺の長さに等しい円の一部をかいたとき、

色部分の面積は何c㎡ですか。

6061

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

図のように等積移動すると、

求める面積は正六角形の1/6であることがわかります。

したがって、1c㎡です。

6062

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2015年6月 5日 (金)

四捨五入すると?(2007年算数オリンピック、ファイナル問題より)

学君は、次のように整数のたし算をします。まず、一番左の2つの整数をたして和の一の位を四捨五入し、その結果と3番目の整数をたして和の一の位を四捨五入し、その結果と4番目の整数をたして和の一の位を四捨五入して……と、これを繰り返します。

たとえば、学君が1+3+5+8を計算すると、

 1+3=4    4を四捨五入して0

 0+5=5    5を四捨五入して10

10+8=18   8を四捨五入して20

となります。では、

1+2+3+4+……+10を計算すると、

答えはいくつになりますか。

502

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

1+2=3・・・0

0+3=3・・・0

0+4=4・・・0

0+5=5・・・10

10+6=16・・・20

20+7=27・・・30

30+8=38・・・40

40+9=49・・・50

50+10=60・・・60

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重なった部分の面積は?(2015年 森村学園中等部)

同じ大きさの正方形が、対角線の交点に一方の頂点がくるように重なっています。

重なった部分の面積は何c㎡ですか?

P6051

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

図の△黄と△緑は合同な三角形になります。

P6052

したがって、求める面積は正方形の1/4になるので、

12×12×1/4=36c㎡

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隣り合う4つの正三角形は?(2015年 六甲中学)

図1の展開図は正方形6つと正三角形8つからできています。

この展開図を組み立てると、図2のように、

正方形どうし、正三角形どうしが隣り合わない立体ができます。

6051

6052

(1)組み立ててできる立体の辺の数は何本ですか。

(2)組み立てたときにアの正方形と隣り合う4つの正三角形のうち、

   ①以外の3つを番号ですべて答えなさい。

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(1)6つの正方形の辺はすべての正三角形の辺を共有しています。

したがって、辺の総数は 6×4=24本

(2)図のように正方形にア~カまでの記号をつけます。

6053

正方形と頂点を共有する正三角形は必ず辺も共有しています。

アと②は頂点を共有しているので、辺も共有します。

ウと④も辺を共有するので、

④と②も頂点を共有し、④とアは頂点を共有するので辺も共有します。

すると、⑤もアと頂点を共有することになるので、辺を共有します。

したがって、②、④、⑤ です。

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2015年6月 4日 (木)

正方形を分けてまた正方形に!(2007年算数オリンピック、トライアル問題より)

下の図1のような5×5の正方形を以下の2つのルールで4つの部分に切り分けます。

ルール1→正方形の辺に平行に、点線にそって切ること。

ルール2→切られた4つの部分をうまく組み合わせると、

        3×3と4×4の2つの正方形ができること。

これらのルール通りの切り分け方として、何通りかの切り分け方が考えられますが、例以外に5通り書いてください。ただし裏返しや回転で同じになるものは1通りと考えます。

2_3 

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2つの正方形を部品2:2の場合と、

3:1に分ける場合で考えていくと、見つけやすいです。

3

などの例から5つ選びます。

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斜線部分の面積は?(2015年 筑波大学附属中学)

図のように,直径が12cmの円と直径を一辺とする正三角形があります。

斜線部分の面積を求めなさい。

ただし,円周率は3.14とします。

604

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図のように、等積移動すると小さな正三角形が2つできるので、

黄色部分に移動すると、

中心角が120°のおうぎ形の面積に等しくなります。

6042

求める面積=6×6×3.14×120/360=37.68c㎡

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2015年6月 3日 (水)

線対称図形を完成させて!(2015年 玉川学園中学)

下の図は線対称な図形の一部です。

この図形の面積は21c㎡ということがわかっています。

この図を完成させてください。だたし、1目盛りを1cmとします。

603

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下の解答例以外にもありますか?

6032

6033

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2015年6月 2日 (火)

正方形に分けてください!(第9回算数オリンピック、トライアル問題より)

図のような9cm×10cmの長方形を、点線にそっていくつかの正方形に分けます。長方形に余る部分のないように、最も正方形を少なくする場合の分け方を、点線にそって直線で書き入れてください。

1_2

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図のように、

5×5の正方形が2個、

4×4の正方形が2個

2×2の正方形が2個の、

合計6個が最も少ない場合です。

2_3

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点Cの取り方は?(2015年 筑波大学附属中学)

図のように、縦に7個、横に10個の点が等間隔に並んでいます。

図の位置に2点A、Bがあるとき、他に点Cを選んでニ等辺三角形を作ります。

点Cの取り方は全部で何通りありますか。

P6021

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図のように、12通りです。

P6022

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△は何枚?(2015年 本郷中学)

△と▼の正三角形の板を図のようにしきつめます。

たとえば、③の図形を作るには△が6枚、▼が3枚必要です。

この規則で図形を作ったとき、

△と▼の差が15枚となる図形では△は何枚ありますか。

602

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①では差が、1-0=1

②では差が、3-1=2

③では差が、6-3=3

・・・・・・

差が15は⑮番目なので、

①では△が、1

②では△が、1+2=3

③では△が、1+2+3=6

・・・・・・

⑮では△が、1+2+3+・・・・・+15=(1+15)×15÷2=120枚

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2015年6月 1日 (月)

面積比は?(ラ・サール中学 2009年)

台形ABCDがあります。

ADとBCは平行で、ADとBCの長さの比は2:3です。

AB上に点P,CD上に点Qをとったところ、

三角形ADQ,三角形APQ、三角形PQC、三角形PBCの面積は、

それぞれ3c㎡、5c㎡、4c㎡、3㎡  となりました。

PQとACの交点を点Rとしたとき、次の問に答えなさい。



 (1)三角形APCの面積を求めなさい。

 (2)三角形APRの面積を求めなさい。

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解答

(1)台形ABCDの面積は、3+5+4+3=15c㎡ で、

AD:BC=2:3なので、

三角形ACDの面積:三角形ABCの面積=2:3

となり、三角形ABCの面積=15÷5×3=9c㎡ となります。

 

三角形PBCの面積が3c㎡  なので、

三角形APCの面積=9-3=6c㎡  です。

 

 (2)PRの長さ:RQの長さの比を考えると、

PR:RQ=三角形APRの面積:三角形AQRの面積

     =三角形PRCの面積:三角形QRCの面積

となります。


よって、(三角形APRの面積+三角形PRCの面積)

     :  (三角形AQRの面積+三角形QRCの面積)=PR:RQ

すなわち、三角形APCの面積:三角形AQCの面積=PR :  RQ 

となります。

 

三角形APCの面積は、(1)より6c㎡、

三角形AQCの面積は、

三角形APQの面積+三角形PQCの面積-三角形APCの面積

=5+4-6=3c㎡ なので、

PR:RQ=6:3=2:1 となります。

 

よって、三角形APRの面積:三角形AQRの面積=2:1より、

三角形APRの面積=5÷3×2=3と1/3c㎡ となります。

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取り出してはいけない数字は?(第3回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

1から9までの数字が1個ずつあります。この中から8個の数字を取り出して、その和が39になるようにしたいと思います。取り出してはいけない1個の数字はいくつですか?

Clas002s

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9-1=8個の数字を使って、その和を39にすればよいので、

1+2+・・・・・+9=45 より

45-39=6 なので、

取り出してはいけない数字は 6

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花子さんが仕事をしたのは何日?(早稲田佐賀中学 2014年)

ある仕事を、太郎君が1人ですると15日、花子さんが1人ですると10日かかります。

この仕事をするのに、太郎君が5日仕事をした後、

2人で一緒に残りの仕事をしました。

このとき、花子さんが仕事をしたのは何日ですか。

Mspb0301cs

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全体の仕事量を15と10の最小公倍数30とすると、

太郎君の1日の仕事量は、30÷15=2

花子さんの1日の仕事量は、30÷10=3

太郎君が5日仕事をすると、残りの仕事量は 30-2×5=20

2人の1日の仕事量は、2+3=5 なので、

20÷5=4日 で終わるので、

花子さんが仕事をした日数は 4日間。

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