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2015年5月21日 (木)

ビー玉の数の組み合わせは?(第7回算数オリンピック、ファイナル問題より)

26個のビー玉をabcdeの5つの袋に分けて、どの袋にもことなった数のビー玉を1個以上入れました。ビー玉11個分以上のものをのせるとブザーが鳴る仕かけのはかりがあります。このはかりを使うと、下の図のように①、③、④の時に鳴り、②の時には鳴りませんでした。5つの袋に入っているビー玉の数の組み合わせをたとえば(1、3、5、7、10)のように小さい順にあるだけ書きなさい。
(なお、袋の重さは考えないものとします。)

1_2

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a+b+c+d+e=26

a+e、b+cは11以上なので、

a+b+c+eは22以上

同様に、c+dは11以上なので、

a+c+d+eは22以上

したがって、b、dは4以下で、どちらかは3以下・・・①

b+c+dはa+eが11以上なので、15以下

b+dは最大でも7なので、eは8以上・・・②

また、c+aは10以下だから、aは2以下・・・③

a+eが11以上なのでeは9以上・・・④

a+cはb+c、c+dより小さいので、

aはb、dより小さくなります。・・・⑤

③よりaを2とすると、①からb、dは3、4

②からcは8、④からeは9とすると、

a+b+c+d+e=2+3+4+8+9=26

したがってabcdeは、(2、3、4、8、9)

aを1とすると、b、dは(2,3)、(3、4)、(2、4)の3とおり、

それぞれ数をあてはめると、abcdeは

(1、2、4、9、10)、(1、3、4、8、10)、(1、2、3、9、11)

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