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2015年5月29日 (金)

これ、頭の中だけでイメージできたら天才!(第5回算数オリンピック、ファイナル問題より)

下の図のように、一辺の長さが4cmの立方体があります。直線BGと直線DEの交わる点を、立方体の中心と呼ぶことにします。立方体の内部に点Pがあり、点Pが動ける範囲は、いちばん近い頂点への距離よりも、立方体の中心への距離の方が近い部分と、両方への距離が同じ部分です。このとき、点Pが動ける範囲はいくつかの平面で囲まれた立体になります。ただし平面の形は同じであるとはかぎりません。

1

(1)点Pが動ける範囲の立体は、いくつの平面で囲まれていますか。

(2)点Pが動ける範囲の立体の体積を求めなさい。

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(1)立方体を8つに切り分けて考えます。

たとえば1つの頂点Bと、

もとの立方体の中心Oを頂点に含む立方体を考えます(図1)。

この立方体の中で点Pが動けるのは、

各辺の中点をとおり、対角線BOの中点もとおる

正六角形の面で区切られた、

頂点Oに近い部分となります(図2)。

2

他の7つの立方体についても、同じことがいえます。

つまりもとの立方体の中で点Pが動けるのは、

この切り分けた立方体をもとのように組み合わせてできる、

正六角形と正方形に囲まれた部分です(図3)。

3

正六角形は切り分けた立方体の数と同じで8、

正方形はもとの立方体の面の数で6、

合計14面となります。

(2)この14面体のは、

8つの立方体をそれぞれ半分に切りわけて作ったのなので、

体積はもとの立方体の半分になり、

4×4×4÷2=32立法cm

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