これ、頭の中だけでイメージできたら天才！（第５回算数オリンピック、ファイナル問題より）

下の図のように、一辺の長さが４ｃｍの立方体があります。直線ＢＧと直線ＤＥの交わる点を、立方体の中心と呼ぶことにします。立方体の内部に点Ｐがあり、点Ｐが動ける範囲は、いちばん近い頂点への距離よりも、立方体の中心への距離の方が近い部分と、両方への距離が同じ部分です。このとき、点Ｐが動ける範囲はいくつかの平面で囲まれた立体になります。ただし平面の形は同じであるとはかぎりません。

（1）点Ｐが動ける範囲の立体は、いくつの平面で囲まれていますか。

（2）点Ｐが動ける範囲の立体の体積を求めなさい。

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（１）立方体を８つに切り分けて考えます。

たとえば１つの頂点Ｂと、

もとの立方体の中心Ｏを頂点に含む立方体を考えます（図１）。

この立方体の中で点Ｐが動けるのは、

各辺の中点をとおり、対角線ＢＯの中点もとおる

正六角形の面で区切られた、

頂点Ｏに近い部分となります（図２）。

他の７つの立方体についても、同じことがいえます。

つまりもとの立方体の中で点Ｐが動けるのは、

この切り分けた立方体をもとのように組み合わせてできる、

正六角形と正方形に囲まれた部分です（図３）。

正六角形は切り分けた立方体の数と同じで８、

正方形はもとの立方体の面の数で６、

合計14面となります。

（２）この14面体のは、

８つの立方体をそれぞれ半分に切りわけて作ったのなので、

体積はもとの立方体の半分になり、

４×４×４÷２＝３２立法ｃｍ

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