中学受験ー算数解き方ポータル: 2015年5月

この条件だけでほんとにわかるの？（算数オリンピック・ファイナル　2009年）

２けたの整数が４つあります。それぞれの数同士の和と差を

すべて書くと、大きい方から次のようになりました。

　

９３，８３，８１，４９，４７，４６，４４，３７，３４，１２，１０，２

　

このとき、４つの整数を答えなさい。

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４つの整数を大きい方からＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとすると、

Ａ＋Ｂが最も大きくなり、Ａ＋Ｂ＝９３・・・① です。

Ａ＋ＣとＢ＋ＣではＡ＋Ｃの方が大きいので、

２番目に大きいのは、Ａ＋Ｃ＝８３・・・② とわかります。

①と②から、ＢとＣの差が１０であることがわかり、

Ｂ－Ｃ＝１０・・・③ です。

　
①から、Ａ＋Ｂ＝９３なので

Ａは、９３÷２＝４６．５より大きく、４７以上とわかります。

（Ａ＋Ｂ＝９２＋１＝９１＋２＝・・・＝４７＋４６＝４６＋４７）

　
このことから、Ｄも２けたの整数なので、Ａ＋Ｄ＝８１・・・④

ということがわかります。

②と④より、Ｃ－Ｄ＝２・・・⑤、

Ｂ－Ｄ＝１２・・・⑥とわかります。

　
①～⑥から、

Ｂ，Ｃ，Ｄが偶数なら、Ａは奇数

Ｂ，Ｃ，Ｄが奇数なら、Ａは偶数

という関係がわかります。　

　
残りの数は、４９，４７，４６，４４，３７，３４の６つで、これは

Ａ－Ｂ、Ａ－Ｃ、Ａ－Ｄ、Ｂ＋Ｃ、Ｂ＋Ｄ、Ｃ＋Ｄに相当します。

Ｃ－Ｄ＝２なので、

Ｂ＋ＣとＢ＋Ｄの差、Ａ－ＣとＡ－Ｄの差が共に２です。

差が２になる２つの数は、４９と４７、４６と４４があります。

すると、残りの３４と３７がＣ＋ＤまたはＡ－Ｂということです。

ＣとＤは奇数同士または偶数同士なので、和は偶数です。

よって、Ｃ＋Ｄ＝３４・・・⑦で、A－B＝３７・・・⑧　です。

①と⑧より、A＝６５、B＝２８

⑤と⑦より、C＝１８、D＝１６

とわかります。

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2015年5月30日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 和と差, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

三角形の面積は？（２０１５年　西大和学園中学）

図のように、ＡＢ＝５ｃｍ、ＡＤ＝３ｃｍの長方形ＡＢＣＤを頂点Ｂを中心として、

頂点Ａが辺ＣＤ上にくるように回転させました｡

頂点Ａが辺ＣＤ上に移る点をＥとし、

そのとき、頂点Ｃ、Ｄが移る点をそれぞれＦ、ＧとするとＤＥ＝１ｃｍとなります。

このとき、三角形ＢＣＦの面積は何ｃ㎡になりますか。

5301

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図のように○の角度が等しくなるので、

△黄と△緑は相似になります。

5302

△BCFの高さFHは、５：３＝３：FH　より、９/５ｃｍ　なので、

△BCFの面積＝３×９/５÷２＝２７/１０＝２．７ｃ㎡

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2015年5月30日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 面積, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

これ、頭の中だけでイメージできたら天才！（第５回算数オリンピック、ファイナル問題より）

下の図のように、一辺の長さが４ｃｍの立方体があります。直線ＢＧと直線ＤＥの交わる点を、立方体の中心と呼ぶことにします。立方体の内部に点Ｐがあり、点Ｐが動ける範囲は、いちばん近い頂点への距離よりも、立方体の中心への距離の方が近い部分と、両方への距離が同じ部分です。このとき、点Ｐが動ける範囲はいくつかの平面で囲まれた立体になります。ただし平面の形は同じであるとはかぎりません。

（1）点Ｐが動ける範囲の立体は、いくつの平面で囲まれていますか。

（2）点Ｐが動ける範囲の立体の体積を求めなさい。

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（１）立方体を８つに切り分けて考えます。

たとえば１つの頂点Ｂと、

もとの立方体の中心Ｏを頂点に含む立方体を考えます（図１）。

この立方体の中で点Ｐが動けるのは、

各辺の中点をとおり、対角線ＢＯの中点もとおる

正六角形の面で区切られた、

頂点Ｏに近い部分となります（図２）。

他の７つの立方体についても、同じことがいえます。

つまりもとの立方体の中で点Ｐが動けるのは、

この切り分けた立方体をもとのように組み合わせてできる、

正六角形と正方形に囲まれた部分です（図３）。

正六角形は切り分けた立方体の数と同じで８、

正方形はもとの立方体の面の数で６、

合計14面となります。

（２）この14面体のは、

８つの立方体をそれぞれ半分に切りわけて作ったのなので、

体積はもとの立方体の半分になり、

４×４×４÷２＝３２立法ｃｍ

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2015年5月29日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 立体図形, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

１位はどのグループ？（２０１５年　桜丘中学校）

Ａ、Ｂ、Ｃの３つのグループで競争をしました。

そのときの順位について聞いてみたら、次のように答えました。

Ａ：「私たちは１位ではなかった」

Ｂ：「ぼくたちは２位だった」

Ｃ：「わたしたちは１位だった」

この３グループのうち、１グループだけがうそを言っているとき、

１位はどのグループですか？

827

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Aがうそをついているとしたら、

１位→AとC、２位→B　となり矛盾するので不適当、

Bがうそをついているとしたら、

１位→C、２位→A、３位→B　で矛盾しない、

Cがうそをついているとしたら、

１位がいなくなるので不適当、

したがって、１位はCグループ

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2015年5月29日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 条件整理と推理, 論理と推理 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

色部分の面積は？（２０１５年　関西学院中学部）

図のような長方形ABCDにおいて、色部分の面積は何ｃ㎡になりますか。

5291

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図のように線をひくと、△緑どうし、△水色どうしは合同になり、

△緑と△水色は相似です。

5292

○＋□＝９０°で、EFとGH、EHとFGは平行になるので、

四角形EFGHは長方形になります。

△黄はこの長方形の半分の面積ですから、

｛８×１０－（２×４＋４×８）｝÷２＝２０ｃ㎡

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Ａさんが先にゴールするのは？（２０１５年　明治学院中学）

ＡさんとＢさんはじゃんけんゲームをしました。

勝ちは２０ポイント，あいこは１０ポイント，負けは５ポイントもらえ，

１００ポイントになるとゴールできます。

３回じゃんけんをして，Ａさんはあいこが１回，負けが２回でした。

Ａさんが先にゴールするのは最も早くて何回目ですか。

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３回目が終わったとき、

A→２０ポイント

B→５０ポイント

Aさんはゴールまで８０ポイントなので、４回連続で勝てば先にゴールできます。

したがって、７回目です。

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柿は何個？（２０１５年　広島学院中学）

栗と柿があります。栗は柿より４３個多いです。

これを何人かに配ります。栗を１人に５個ずつ配ると２個足りず、

柿を１人に２個ずつ配ると３個余ります｡柿は何個ありますか。

Chestnuts151927_640 Artificially88127_640

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人数を□人とすると、栗と柿の差は

（５－２）×□　よりも　２＋３＝５　少ないことがわかります。

したがって、３×□－５＝４３

３×□＝４８

□＝１６人

柿＝２×１６＋３＝３５個

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方程式は使わずに！（２００７年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

図は３つの同じ長方形を重ねることなく、並べたものです。

１つの長方形の面積は何ｃ㎡ですか？

1_2

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こんな風に緑の正方形を３つ考えます。

2_2

正方形の１辺は（１８－６）÷３＝４ｃｍ

長方形の長いほうの辺の長さ＝４＋６＝１０ｃｍ

長方形の面積＝４×１０＝４０ｃ㎡

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2015年5月27日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

長針と短針がつくる角度は？（作新学院中等部　２０１４年）

下の時計の針は、７時10分を指しています。

長針と短針がつくる１８０°より小さい方の角度は何度ですか？

P527

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短針は１時間で３０°進むので、

１０分では、３０×１/６＝５°進みます。

したがって、図の角度は

３０×５＋５＝１５５°

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１回転してできる図形の面積は？（久留米大学附設中学　２０１４年）

図のような２つの正方形ではさまれた斜線部分を、

正方形の対角線の交点Oのまわりに１回転してできる図形の面積は何ｃ㎡ですか。

5271

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斜線の４つの直角三角形はすべて合同です。

したがって、白い正方形の面積は、

（６＋８）×（６＋８）－６×８÷２×４＝１００ｃ㎡

１辺の長さは１０ｃｍです。

求める面積は図の黄色部分なので、

5272

２×□×２×□÷２＝１９６　なので、

□×□＝９８　より、

９８×３．１４－５×５×３．１４

＝（９８－２５）×３．１４＝２２９．２２ｃ㎡

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２００７は何番目に出現か？（２００７年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

２００７のように数字の０、２、７だけからできている整数を

小さい順に次のように並べました。

０、２、７、２０、２７、・・・・・

２００７は最初から数えて何番目にあらわれますか？

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各位とも0、2、7の３通りですが、

２けた以上の整数の最上位は２、７の２通りです。

順に調べていくと・・・

1けたの整数は、0、2、7の３個、

２けたの整数は、十の位の２通りに対して一の位が３通り

なので、２×３＝６個、

３けたの整数は、百の位の２通りに対して十の位が３通り、

そのそれぞれの組み合わせに対して一の位が３通り

あるので、2×3×3＝18通り、

2007までの４けたの整数は2000、2002、2007の３個………、

以上から、2007は3＋6＋18＋3＝30番目。

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2015年5月26日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

重なって移動するのは？（２０１５年　捜真女学校中学部）

図のような１辺が１ｍの正六角形ＡＢＣＤＥＦがあります。

点ＰはＡを出発して、Ａ－Ｂ－Ｃ－Ｄ－Ｅ－Ｆ－Ａの順に移動します。

点QはＡを出発して、Ａ－Ｂ－Ｃ－Ｇ－Ｆ－Ａの順に移動します。

Ｐ、Ｑがともに毎秒１ｍの速さで同時にＡを出発し、１分４０秒間動き続けたとき、

重なって移動するのは合わせて何秒間ですか？

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PとQがAを同時に出発し、次にAで重なるのは３０秒後です。

この３０秒間に重なって動くのは、最初の２秒間と最後の１秒間です。

つまり、３０秒で３秒間重なって動くので、

１分４０秒では、３×３＝９秒間と、１分３０秒～１分３２秒の２秒間、

合計　１１秒間です。

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出発してから何分後？（２０１５年　中央大学附属中学）

９ｋｍ離れたＡ町とＢ町を往復するマラソン大会があります。

マサキ君は分速１５０ｍ，アキラ君は分速１００ｍで同時にＡ町を出発しました。

Ｂ町を折り返したマサキ君がアキラ君に出会うのは、

２人が出発してから何分後ですか。

9221

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マサキ君がB町に着いたのは、９０００÷１５０＝６０分後

そのとき、アキラ君は１００×６０＝６０００ｍ進んでいるので、

B町の手前３０００ｍのところにいます。

２人が出会うまで、３０００÷（１５０＋１００）＝１２分

A町を出発してから、６０＋１２＝７２分後　です。

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AEの長さは何ｃｍ？（２０１５年　香蘭女学校中等科）

図の直角三角形ABCにおいて、斜線部分の「あ」と「い」が等しくなりました。

AEの長さは何ｃｍでしょうか？

P525

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あ＝い　なので、

△ABE＝△ABD

△ABD＝２×５÷２＝５ｃ㎡　なので、

AE＝５×２÷（６＋２）＝１．２５ｃｍ

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小さな正六角形の面積は？（２０１５年　品川女子学院中等部）

図のような、面積が２４ｃ㎡の正六角形の辺の真ん中の点を結んで、

小さな正六角形を作りました。

この小さな正六角形の面積は何ｃ㎡ですか。

525

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図のように黄色い三角形と同じ大きさの三角形で分けると、

小さい正六角形は、この三角形１８個でできています。

したがって、２４×１８/２４＝１８ｃ㎡

5252

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人数の推理問題！（第１１回算数オリンピック、トライアル問題より）

ある年の算数オリンピック決勝大会にＡ国は選手団と引率の先生で合計25名の代表団を派遣しました。下の①～④より問いに答えなさい。

①選手の数は引率の先生の数より多い。

②女子選手の数は男子選手より多い。

③女の引率の先生は女子選手より３人多い。

④少なくとも２人は男の引率の先生がいる。

さて、男子選手・女子選手・男の引率の先生・女の引率の先生はそれぞれ何人ですか。

502

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女子選手の人数をｘ人とすると

③より、女の引率の先生は、(x＋3)人

④より、男の引率の先生は、２人以上、

これで、引率の先生の合計は(x＋5)人以上・・・（１）となります｡

さらに①より、選手の合計は(x＋6)人以上・・・（２）となり、

女子選手の人数はｘ人なので、

男子選手の人数は６人以上となり、

②より、女子選手の人数xは７人以上・・・（３）とわかります。

一方(1)、(2)より、代表団の合計人数は（ｘ×２＋11）人以上で、

これが25人とわかっているので、

女子選手の人数xは(25－11)÷2＝7人以下・・・（４）となります。

(3)、(4）に共通なｘの値は７のみなので、

女子選手は７人とわかります。

女の引率の先生は7＋3＝10人、

男の引率の先生、男子選手の人数は、

それぞれの範囲での最小値である２人、６人と決まります。

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もっとも長いひもの長さは？（２０１５年　国府台女子学院中学部）

長さが順に７cmずつ長くなっている４本のひもＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄがあり，

そのひもの長さの和は１４２ｃｍです。

もっとも長いＤのひもの長さは何ｃｍですか？

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P523

長さの関係は図のようになっているので、

Aの長さは、（１４２－７×６）÷４＝２５ｃｍ

D＝２５＋７×３＝４６ｃｍ

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８０点以上の人は何人？（２０１５年　公文国際学園中等部）

３６人のクラス全員の算数と国語のテストの結果は、以下のようになりました。

・算数が８０点以上の人は全休の３分の１

・国語が８０点以上の人は全体の４分の１

・算数も国語も８０点未満の人は全体の１８分の１１

（１）算数も国語も８０点以上の人は何人ですか。

（２）算数だけ８０点以上の人は何人ですか。

2203

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べん図で表すと下図のようになります。

523

算数が８０点以上の人は３６×１/３＝１２人

国語が８０点以上の人は３６×１/４＝９人

どちらも８０点未満の人は３６×１１/１８＝２２人

黄＋赤＋緑＝３６－２２＝１４人　なので、

赤＝両方とも８０点以上の人＝（１２＋９）－１４＝７人

黄＝算数だけ８０点以上の人＝１２－７＝５人

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みんなうそをついている！（２００５年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

３組の兄と妹がいます。兄の名前はたろう・けんじ・たかしで妹の名前はめぐ・ゆり・かよですが、だれとだれがきょうだいなのかわかりません。
下の会話を聞いてください。

たろう　「ぼくとめぐはきょうだいだ！｣

め　ぐ　「わたしとたかしはきょうだいよ！」

たかし　「ぼくとかよはきょうだいだ！」

あとでわかったのですが、３人ともふざけて、だれも本当のことを言っていませんでした。

さて、ゆりの兄の名前は何といいますか？

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みんな本当のことを言っていないので、

下図の青線は、きょうだいではありません。

すると、けんじとめぐ、たかしとゆりがきょうだいであることになり、

残った、たろうとかよがきょうだいであることがわかります。

ゆりの兄はたかしです。

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斜線部分の面積は？（２０１５年　女子美術大学付属中学）

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下の図のように、四角形ＡＢＣＤの４つの辺をそれぞれ延長し、

ＡＢ＝ＢＰ、ＢＣ＝ＣＱ、ＣＤ＝ＤＲ、ＤＡ＝ＡＳとなるように点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓをとり、

四角形ＰＱＲＳをつくりました。

四角形ＡＢＣＤの面積が１２ｃ㎡のとき、斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか？

P522

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P5222

図のように白い部分を、ア、イ、ウ、エ　に分けると、

底辺が等しく、高さが２倍の三角形は面積も２倍なので、

△赤＝２×（イ＋ウ）

△緑＝２×（ウ＋エ）

△黄＝２×（ア＋エ）

△青＝２×（ア＋イ）

斜線部分＝２×（ア＋ア＋イ＋イ＋ウ＋ウ＋エ＋エ）

＝２×２×（ア＋イ＋ウ＋エ）

＝４×１２

＝４８ｃ㎡

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影をつけた部分の面積は？（２０１５年　芝中学）

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下図のように正六角形の頂点が半径６ｃｍの円周上にあります。

影をつけた部分の面積は何ｃ㎡ですか。

円周率は３．１４とします。

522

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図のように等積移動すると、

中心角６０°のおうぎ形が３つ（半円）になります。

5222

６×６×３．１４×６０/３６０×３

＝５６．５２ｃ㎡

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ビー玉の数の組み合わせは？（第７回算数オリンピック、ファイナル問題より）

26個のビー玉をabcdeの５つの袋に分けて、どの袋にもことなった数のビー玉を１個以上入れました。ビー玉11個分以上のものをのせるとブザーが鳴る仕かけのはかりがあります。このはかりを使うと、下の図のように①、③、④の時に鳴り、②の時には鳴りませんでした。５つの袋に入っているビー玉の数の組み合わせをたとえば（１、３、５、７、１０）のように小さい順にあるだけ書きなさい。
（なお、袋の重さは考えないものとします。）

1_2

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a＋b＋c＋d＋e＝２６

a＋e、b＋cは１１以上なので、

a＋b＋c＋eは２２以上

同様に、c＋dは１１以上なので、

a＋c＋d＋eは２２以上

したがって、b、dは４以下で、どちらかは３以下・・・①

b＋c＋dはa＋eが１１以上なので、１５以下

b＋dは最大でも７なので、eは８以上・・・②

また、c＋aは１０以下だから、aは２以下・・・③

a＋eが１１以上なのでeは９以上・・・④

a＋cはb＋c、c＋dより小さいので、

aはb、dより小さくなります。・・・⑤

③よりaを２とすると、①からb、dは３、４

②からcは８、④からeは９とすると、

a＋b＋c＋d＋e＝２＋３＋４＋８＋９＝２６

したがってabcdeは、（２、３、４、８、９）

aを１とすると、b、dは（２，３）、（３、４）、（２、４）の３とおり、

それぞれ数をあてはめると、abcdeは

（１、２、４、９、１０）、（１、３、４、８、１０）、（１、２、３、９、１１）

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１３がはじめて現れるのは？（２０１５年　筑波大学附属中学）

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整数が次のような規則で並んでいます。

１、２、２、３、３、３、４、４、４、４、５、・・・・・・

１３がはじめて現れるのは、はじめから数えて何番目ですか？

Apf

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１が１個、２が２個、３が３個、４が４個、・・・・・１２が１２個

１３がはじめて現れるのは、この次です。

１＋２＋３＋４＋・・・・・＋１２＝（１＋１２）×１２÷２＝７８　なので、

７９番目です。

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重なっている部分の面積は？（２０１５年　筑波大学附属中学）

半径が６ｃｍの半円と半径が４ｃｍの円の一部が重なっています。

重なっていない部分の半円と円の面積の比が４：３になっているとき、

重なっている部分の面積は何ｃ㎡ですか。

円周率は３．１４とします。

521

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半円の面積は、６×６×３．１４÷２＝１８×３．１４

円の面積は、４×４×３．１４＝１６×３．１４

面積の比は、半円：円＝１８：１６　

同じ数を引いて、４：３にするには、

（１８－１０）：（１６－１０）＝８：６＝４：３

したがって、重なっている部分の面積は、

１０×３．１４＝３１．４ｃ㎡

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８０円のおかしは何個？（２０１４年　清風南海中学）

１個の値段がそれぞれ８０円と９３円と１００円のおかしを合わせて２７個買うと，

合計金額は２４３１円でした。

８０円のおかしは何個買いましたか？

Fod1005s

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３段つるかめ算なので、下の面積図のように、

２４３１円－８０円×２７個＝２７１円　より、

１３円のおかしと２０円のおかしの組み合わせを考えます。

P520

１の位が１なので、１３円のおかしは７個か１７個です。

１７個だと、２７１－１３×１７＝５０円となり、２０円で割り切れません。

７個だと、２７１－１３×７＝１８０円なので、２０円のおかしは９個です。

したがって、８０円のおかしは２７－（７＋９）＝１１個です。

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2015年5月20日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, つるかめ算, 面積図 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

この立体の表面積は？（２０１５年　滝中学）

直方体をいくつか組み合わせた下のような図形があります。

この立体の表面積は何ｃ㎡ですか。

520

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左右と上下は９×９の正方形です。

前後だけ、３×３の正方形が３つ足りません。

したがって、９×９×６－３×３×３×２＝４３２ｃ㎡

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作図していくと・・・（２００６年算数オリンピック、ファイナル問題より）

下の図において、点Ｅは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。また、三角形BEFは角BEF＝90度の直角二等辺三角形で、辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。　ＡＧ＝５ｃｍ、ＧＤ＝１５ｃｍのとき、直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

----------------------------------------------------

下図のように、

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

正方形FHBEを作ります。

さらに、この正方形FHBEを

直角三角形EBCと、それと合同な三角形３個の計４個で囲んで、

正方形JKCIを作り、ＢＡの延長が辺JIと交わる点をＬとします。

ここで、JF＝LI＝BC＝20 cm。

いま、LF＝①とすると、JI＝JF＋LI－LF＝40 cm－①

次に、三角形ＡＢＧと三角形LBFは相似なので、

LF：LB＝AG：AB＝５：２０＝１：４

これにより、LB＝JK＝④

JI＝JKより、40cm－①＝④　

⑤＝40cm　→　①＝8cm。

JK＝KC＝IC＝JI＝40cm－8cm＝32 cm、

HK＝BC＝IE＝JF＝20 cmなので、

KB＝EC＝FI＝JH＝32cm－20cm＝12 cm

以上から、

直角三角形ＢＥＦ

＝正方形ＦＨＢＥ÷２

＝(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

＝(32×32－20×12÷2×4)÷2

＝(1024 － 480)÷2＝272ｃ㎡

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2015年5月19日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

出発してから何分後？（２０１５年　洗足学園中学）

１周７２０ｍの池のまわりをＡさんとＢさんが

同じ地点から反対の方向に向かって同時に歩き始めました。

最初の歩く速さはＡさんが毎分３０ｍ，Bさんが毎分９０ｍでしたが，

２人が出会うごとにＡさんは歩く速さが毎分１０ｍずつ速くなり，

Ｂさんは歩く速さが毎分１０ｍずつ遅くなります。

２人がはじめてスタート地点で出会うのは，出発してから何分後ですか。

9221

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最初に出会うのは、７２０÷（３０＋９０）＝６分後です。

このとき、Aさんは３０×６＝１８０ｍ進んでいます。

以後、２人の速さの和は変わらず、毎分１２０ｍなので、

６分ごとに出会うことになります。

519

２回目の出会いは、１回目の出会い地点から４０×６＝２４０ｍ地点、

３回目はそこから５０×６＝３００ｍ地点で、

１８０＋２４０＋３００＝７２０ｍ　地点なので、ここはスタート地点です。

スタートから６×３＝１８分後　です。

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面積は何倍？（２０１４年　須磨学園中学）

図のような、周の長さが等しい正六角形と正三角形があります。

この正六角形の面積は正三角形の面積の何倍でしょうか？

P5191

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図のように、黄色い正三角形は同じ面積なので、

６÷４＝１．５倍です。

P5192

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５０を３個以下の整数の和で表すと？（第５回算数オリンピック、ファイナル問題より）

ある整数を、０より大きい整数の和で表わす方法が何とおりあるかを考えます｡使う数が同じで順番だけが違うものは、１とおりに数えます｡また一個の整数だけを使うものも、１とおりとして数えます。０を使ってはいけません。たとえば､６を３個以下の整数の和で表わす方法は、
　　　　６
　　　　５＋１
　　　　４＋２
　　　　３＋３
　　　　４＋１＋１
　　　　３＋２＋１
　　　　２＋２＋２
の７とおりあります。
では、50を３個以下の整数の和で表わす方法は、何とおりありますか。

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50を１個の整数で表わせば、50だけの１とおり。

２個の整数の和で表わすと、

　 1＋49
　　2＋48
　　3＋47

　　・・・・・

　　24＋26
　　25＋25

で、左側の列を見ると25とおりあることがわかります。

３個の整数の和で表すす場合は、まず小さい数字では、

　　1＋1＋48
　　1＋2＋47

　　　・・・・・

　　1＋23＋26
　　1＋24＋25

まん中の列をを見ると24とおりあることがわかります。

次に２を先頭にすると、

　　2＋2＋46
　　2＋3＋45

　　・・・・・

　　2＋23＋25
　　2＋24＋24

で、23とおりあることがわかります｡

３を先頭にすると、

　　3＋3＋44
　　3＋4＋43

　　・・・・・

　　3＋22＋25
　　3＋23＋24

で、21とおり。

同様に４では２２とおり、５では18とおり、６では17とおり、

７では15とおり・・・と、

１、２、１、２という規則でへっています。

そこで２つずつペアにすると、

(24＋23)、(21＋20)、(18＋17)、……

＝47、41、35……と、６ずつへっていきます｡

したがって、この数字の並びの最後は、

35から６の倍数の30をひいた５で（３＋２）、

その１つ前は11で（６＋５）ということになります。

こんどは前と後ろをペアにしてみると、

(47＋5)、(41＋11)、(35＋17)、(29＋23)で、

すべて52になります｡

つまり、３個の整数の和で表わす方法は、

52×4＝208とおり、

３個以下の整数の和で表わす方法は、

１＋25＋208＝234　とおりです。

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2015年5月18日 (月) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 場合の数, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

何種類の写真があるか？（第６回算数オリンピック、ファイナル問題より）

６つの面が異なる色でぬり分けられた立方体が１個あります。この立方体を、置く面や向きを変えて、さまざまな角度から写真にとりました。写真を現像して、写っている面の色の種類が異なるものをすべて選び出しました。もっとも多い場合、何枚の写真を選び出しましたか。　例えば、下の写真の場合、写っている色の種類が異なれば、異なる種類とします。

1_4

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１面だけが写っている写真では、

面の数と同じで６通り、

２面が写っている写真は、

辺の数と同じで１２通り、

３面が写っている写真では、

頂点の数と同じで８通り、

合計、６＋１２＋８＝２６枚

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2015年5月16日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 立体図形, 場合の数, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

ウサギとカメの走った時間は？（２０１５年　共立女子中学）

ウサギとカメで競走をすることになり、ウサギとカメは同時にスタートしました。

毎分２５ｍの速さで走るウサギは、１０分間走った後、

その場で３時間も昼寝をしてしまいました。

目を覚ました直後、寝ぼけていたウサギはまちがえて、

ゴールの方向とは逆向きに４分間走ってしまい、

その時点でずっと走り続けていたカメと８２０ｍの差がついていました。

その後、ウサギはゴールに向かって走り、カメと同時にゴールしました。

同時にゴールしたのはウサギが目を覚ましてから何分後ですか？

Chra059s Ilm18_bb01031s

P516

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８２０ｍの差がついた時間はスタートしてから、

１０分＋３×６０分＋４分＝１９４分

カメはその間、図のように、２５０－１００＋８２０＝９７０ｍ　進んでいます。

カメの速さは、９７０÷１９４＝５ｍ/毎分　です。

８２０ｍの差がなくなったゴールまでの時間は、

８２０÷（２５－５）＝４１分

ウサギが目覚めてから、４＋４１＝４５分後　です。

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受けたテストの回数は？（２０１５年　逗子開成中学）

花子さんは算数のテストをN回受けました。

花子さんのとった点数の平均点はちょうど８１点でした。

このうち、最高点９７点と最低点５３点の２回のテストの得点を除いた平均点は

ちょうど８３点でした。Nにあてはまる数を求めなさい。

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除いた２回分の点数が８１×２＝１６２点なら、平均点は８１点で変わりません。

ところが、除いた２回分が９７＋５３＝１５０点だったので、

平均点が２点上がったわけで、

図のように、１６２－１５０＝１２点を、残った分に加えたと考えてみます。

516

平均点が２点上がったので、１２÷２＝６回分です。

除いた２回分を加えて、

テストの回数は、６＋２＝８回です。

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Ａ００５×２００Ｂ？（２００５年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より）

２個の４けたの整数Ａ００５と２００Ｂがあります。Ａ、Ｂ、２、０、５はそれぞれの位の数を表します。この２個の整数の積は７２で割り切れます。ＡとＢの組み合わせをすべて求めてください。

Lpsa1105csjpg

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72を1×72以外の互いに素の２数の積にすると８×９だけです。

A005は２を約数に持たないので、８の倍数ではなく、

200Bの方が８の倍数で、

200Bの下３けた00Bが８の倍数であることがわかり、

Ｂ＝０または８となります。

このことから、２＋０＋０＋Ｂ＝２または10となり、

200Bは３の倍数にはならないので９の倍数ではなく、

A005の方が９の倍数で、

Ａ＋０＋０＋５が９の倍数であることがわかり、

Ａ＝４となります。

以上から、(A、B)＝(4、0)、(4、８）

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2015年5月15日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 場合の数, 数の性質, 虫食い算, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

５往復するのにかかる時間は？（２０１５年　甲陽学院中学）

駅の数が８個ある路線を電車が往復しています。

駅と駅の間を走る時間は３分間で、

駅での停車時間は、折り返す駅で６分間、その他の駅で１分間です。

端の駅を出発した電車が５往復するのにかかる時間は何時間何分ですか？

Ilm02_ad11007s

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最初と最後の駅を含めると、両端の駅には１１回止まります。

ただし、最初と最後は６分間の停車時間は計算しないので、

両端の駅の停止時間は、６×９＝５４分

間の駅は、１×６×１０＝６０分

走る時間は、３×７×１０＝２１０分

合計、５４＋６０＋２１０＝３２４分

５時間２４分　です。

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2015年5月15日 (金) 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 植木算 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

斜線部分の面積は？（２０１５年　甲陽学院中学　２日目）

下の図は、正方形、正三角形の頂点を中心とする円の一部でできた図形です。

正三角形の１辺の長さが９ｃｍで、ＡＢとＡＣの長さが等しいとき、

斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。

ただし、円周率は３．１４、１辺９ｃｍの正三角形の面積は３５．１ｃ㎡とします。

5151

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△ABCは直角二等辺三角形なので、

AからBCに垂線を下ろすと、AHの長さはBCの半分になり、４．５ｃｍです。

5152

斜線部分＝△ABC－黄色部分　なので、

（９×４．５÷２）－（９×９×３．１４×６０/３６０－３５．１）

＝２０．２５－７．２９

＝１２．９６ｃ㎡

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2015年5月15日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 面積, 円と扇形 | 固定リンク | コメント (2) | トラックバック (0)

大人には難問です！（第11回算数オリンピック、ファイナル問題より）

AB＝11 cm、 AC＝9cmの三角形ABCがあります。まず、辺BC上に、角BHA＝90°となるような点Ｈをとります。
次に、辺BC上に、角BAD＝60°となるような点ＤをＨとＣの間にとります。すると、角ＤＡＣの大きさは角ＨＡＤの大きさの２倍になりました。
このとき、BHの長さはCHの長さの何倍でしょうか。

1_3

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2_2

角ＢＡＨ＝■、角ＨＡＤ＝●とすると、■＋●＝60度・・・①

三角形ＡＢＨをＡＢを軸として折り返し三角形ＡＢＨ'を作り、

さらに三角形ＡＢＨ'をＡＨ'を軸としてもう一度折り返し、

三角形ＡＢ'Ｈ'を作ります(図）。

このとき角Ｂ'ＡＣ＝180度、つまり一直線になります。

なぜなら、この角には■と●が３個ずつ集まっているので、

①から60×3＝180度

また角Ｂ'Ｈ'Ｂも180度です。

つまり２回の折り返しにより、三角形Ｂ'ＢＣが出来たことになります。

三角形ＡＢＨの面積を⑪とすると、

三角形ＡＢＨ'と三角形ＡＢ'Ｈ'も面積は当然⑪です。

面積比と底辺比の関係により、

三角形Ｂ'ＢＡ：三角形ＡＢＣはＢ'Ａ：ＡＣ＝１１：９

三角形ＡＨＣ＝(?×９/１１－⑪)＝⑦

そして再び面積比と底辺比の関係により、

ＢＨ：ＨＣ＝１１：７となり、

答えは１１/７＝１と４/７倍となります。

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2015年5月14日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

同じ色になる置き方は何通り？（２０１５年　鴎友学園女子中学）

１から６の数字が書かれた６枚のカード１、２、３、４、５、６があります。

１、２、３は赤、４、５、６は白のカードです。

これら６枚のカードを図の三角形の辺上のア～カの位置に１枚ずつ置きます。

三角形の頂点(ア、ウ、オ)が３つとも同じ色のカードになる置き方は

何通りありますか？

----------------------------------------------------

アに赤のカードは１、２、３の３通り置けます。

すると、ウには残る２通りで、オは１通りですから、

３×２×１＝６通り　の置き方があります。

残る　イ、エ、カ　に白を置く置き方も６通りあるので、

ア、ウ、オ→赤　　イ、エ、カ→白　になる置き方は、６×６＝３６通り、

ア、ウ、オ→白　　イ、エ、カ→赤　になる置き方も、６×６＝３６通り、

合計　７２通り　です。

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何本のマッチ棒が必要？（２０１５年　立教女学院中学）

図のように（矢印の方向に）正方形を作っていく場合を考えます。

（１）１辺の長さがマッテ棒１本分の正方形を２５個作るには，

何本のマッチ棒が必要ですか。？

P3191

（２）マッチ棒が１３４本あるとき、

１辺の長さがマッチ棒１本分の正方形は何個作ることができますか。

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図のように、１辺が１の正方形の場合は、１×４＝４本

１辺が２の正方形の場合は、２×６＝１２本

１辺が３の正方形の場合は、３×８＝２４本

P3192

と、１辺の本数×（１辺の本数×２＋２）のように規則的に増えていきます。

１辺が４本では、４×（４×２＋２）＝４０本

（１）２５個では１辺に５本使われているので、

５×（５×２＋２）＝６０本になります。

（２）１辺に８本で、

８×（８×２＋２）＝１４４本になります。

514

それより、１４４－１３４＝１０本少ないので、

図のように５個正方形は少なくなり、

８×８－５＝５９個　です。

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正解点＋不正解点は？（第７回算数オリンピック、トライアル問題より）

Ａ君とＢ君が２０問からなるクイズに挑戦しました。このクイズは正解するとある２けたの点数がもらえ、不正解だと別の２けたの点数が引かれます｡
結果は、Ａ君が３２８点、Ｂ君は２７点でした｡このクイズで正解してもらえる２けたの点と不正解で引かれる２けたの点の和はいくつでしょうか？

(たとえば、正解で５２点がもらえ、不正解で３７点が引かれる場合、答えは５２＋３７＝８９点とします）

Hiva0117cs

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正解でもらえる点を○点、

不正解で引かれる点を、△点とすると、

得点は、全問正解の（○×２０）点から、

不正解数×（○＋△）を引いた点になります。

３２８＝（○＋２０）－Ａの不正解数×（○＋△）

２７＝（○＋２０）－Ｂの不正解数×（○＋△）

つまり、不正解数の違いが２人の得点の違いなので、

（○＋△）×不正解数の差＝３２８－２７＝３０１点　になります。

３０１を２つの数の積で表すと、

素因数分解して、３０１＝７×４３

不正解数の差は最大で２０なので、

不正解数の差＝７

○＋△＝４３点　になります。

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太線で囲まれた図形の面積は？（２０１５年　東洋英和女学院中学部）

１枚の面積が３０ｃ㎡の折り紙３枚を下の図のように重ねて置きました。

３枚重なっている部分（赤）、２枚重なっている部分（白い部分)の面積は、

太線で囲まれた面積のそれぞれ１/９、４/９です。

太線で囲まれた図形の面積は何ｃ㎡ですか？

P5131

----------------------------------------------------

白い部分をそれぞれ図のようにア、イ、ウ　とします。

P5132

黄＋ア＋イ＋赤＝３０ｃ㎡

緑＋ア＋ウ＋赤＝３０ｃ㎡

青＋イ＋ウ＋赤＝３０ｃ㎡

黄＋緑＋青＋２×ア＋２×イ＋２×ウ＋３×赤＝９０ｃ㎡

太線部分＝黄＋緑＋青＋ア＋イ＋ウ＋赤＝⑨とすると、

ア＋イ＋ウ＝④　、　赤＝①　なので、

⑨＋④＋２×①＝９０ｃ㎡

⑮＝９０ｃ㎡

①＝６ｃ㎡

太線部分＝⑨＝５４ｃ㎡

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操作計算の答えは？（２０１５年　東京学芸大学附属小金井中学）

以下の例が示すような計算をする記号であるとするとき，次の問い|こ答えなさい。

513

（問１）８◎５はいくつですか。

（問２）１０◎５の答えと９◎５の答えの差はいくつですか。

（問３）下に示すように◎の後ろの数を５のままとし、

　　　　　◎の前の数を６から順々に大きくしていくことを考えます。

　　　　　その答えが整数にならない式のうち、８番目に小さなものを答えなさい。

　６◎５

　７◎５

　８◎５

　９◎５

１０◎５

　　・

----------------------------------------------------

（問１）　

（８＋７＋６＋５）÷２＝１３

（問２）

｛（１０＋９＋８＋７＋６＋５）－（９＋８＋７＋６＋５）｝/２

＝１０/２＝５

（問３）

分子が奇数だと整数になりません。

奇数が奇数個だと、たした答えは奇数になるので、

６◎５→１個

９◎５→３個

１０◎５→３個

１３◎５→５個

１４◎５→５個

１７◎５→７個

１８◎５→７個

２１◎５→９個　なので、

８番目に小さいのは、２１◎５

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長方形ABCDの面積は？（市川中学　２０１４年）

図のように，長方形ABCDに６個の正方形①～⑥をすきまなくしきつめたとき，正方形④の１辺の長さが2cmとなりました。この長方形ABCDの面積を求めなさい。

----------------------------------------------------

図のように、②＝③なので、

①の辺の長さ＝②＋２ｃｍ

⑤の辺の長さ＝②＋２ｃｍ＋２ｃｍ＝②＋４ｃｍ

⑥の辺の長さ＝②＋２ｃｍ＋２ｃｍ＋２ｃｍ＝②＋６ｃｍ

すると、②の１辺は②×４＝８ｃｍになります。

横の長さ＝８×３＋２＝２６ｃｍ

たての長さ＝８×２＋６＝２２ｃｍ

ＡＢＣＤの面積＝２６×２２＝５７２ｃ㎡

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行き方は何通り？（２０１５年　東邦大学付属東邦中学）

図のように、東西方向に５本、南北方向に４本の道があります。

これらの道を通って、遠回りしないでＡ地点からＢ地点へ行きます。

このとき、×印のついた道を通らない行き方は何通りあるか求めなさい。

512

----------------------------------------------------

図のように、各交点に行く道順の数をたしていきます。

5122

B地点へは２６通りの行き方があります。

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３図形が重なった部分の面積は？（２００４年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

図は三角形、正方形、円がそれぞれの一部で重なっているところです。いま、三角形、正方形、円の面積がすべて60 c㎡、影の部分の面積の和が40 c㎡、３つの図形がおかれている部分の総面積が125 c㎡であるとき、３つの図形すべてが重なった部分の面積を求めなさい。

1_2

----------------------------------------------------

三角形、正方形、円の位置から、

影の部分は２回重なり、

面積を求める部分は３回重なっていることがわかります。

したがって、

三角形＋正方形＋円

＝３図形が置かれている部分全体＋影の部分＋

面積を求める部分×２　となります。

これにより、

面積を求める部分＝

｛（三角形＋正方形＋円)ー（3つの図形が置かれている部分全体＋

影の部分)｝÷2

＝｛６０×３－（１２５＋４０）｝÷２

＝（１８０－１６５）÷２＝７．５ｃ㎡

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この習い事はだれ？（２０１５年　聖学院中学）

Ａ君，Ｂ君，Ｃ君，Ｄ君の４人に習いごとについて調べたところ，

次のようなことがわかりました。

①　Ｃ君だけが水泳を習っている。

②　Ｃ君はそろばんを習っているが、Ａ君はそろばんを習っていない。

③　４人とも２種類の習いごとをしている。

④　英会話を習っているのは３人である。

⑤　Ｂ君はダンスを習っているが、Ｄ君はダンスを習っていない。

下の表に、習っているものには○、習っていないものには×をつけてください。

511

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①より、

5111

②、③より、

5112

⑤、③より、

5113

④、③より、

5114

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2015年5月11日 (月) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 条件整理と推理, 論理と推理 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

電車の速さは？（慶應義塾中等部　２０１１年）

１５分ごとに電車に追い越され、９分ごとに向かいからくる電車とすれ違いました。

電車の速さはどちらも一定で、電車は同じ間隔で運転されているとすると、

その速さは時速何ｋｍですか？

Ilm02_ad11007s

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P510

電車の速さを時速Aｋｍ、電車の間隔を□ｋｍとすると、

黄電車が追いつく時間が１５分なので、

□÷（A－９）＝１５/６０・・・・・・①

緑電車とすれ違う時間は９分なので、

□÷（A＋９）＝９/６０・・・・・・②

①×６０、②×６０

６０×□÷（A－９）＝１５

６０×□÷（A＋９）＝９

より、

１５×（A－９）＝９×（A＋９）

１５×A－１３５＝９×A＋８１

６×A＝２１６

A＝３６ｋｍ/時

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りんごはいくつ買った？（２０１５年　豊島岡女子学園中学）

１個１２０円のりんごと１個８０円のみかんを合わせて３５個買ったところ、

りんごの代金の合計がみかんの代金の合針より４００円高くなりました。

ことのとき、りんごはいくつ買いましたか。

Ilm11_ad01006s

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りんご＝り、みかん＝み　とすると、

り×１２０－み×８０＝４００・・・・・・①

り＋み＝３５・・・・・・②

②×８０　→　り×８０＋み×８０＝２８００・・・・・・③

①＋③

り×２００＝３２００

り＝１６個

中学生では連立方程式、小学生では消去算で解ける問題ですね！

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2015年5月10日 (日) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 和と差, 消去算 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

エスカレーターを駆け上がってはダメ！（第８回算数オリンピック、トライアル問題より）

ある人が下りのエスカレータ一に乗り、１段ずつ下りていったら28歩で下につきました。同じ人が下りたときの５倍の速さで、このエスカレーターをかけ上がったら56歩で上につきました。停止しているときにはエスカレーターは何段ありますか。

（危険なので、エスカレーターを駆け上がることはやめましょうね！）

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動いている下りのエスカレータ一を下りるときは、

停止しているときより段数が少なくなり、

上がるときは段数が多くなると考えます。

下りるときと同じ速度で上がったら、

同じ時間では５６÷５＝１１．２歩になります。

下りるときは28歩なので、

上がるときは、28÷11.2＝2.5倍の時間がかかったことになります。

つまり、上がるときは下りるときに比べて、

エスカレータ一が2.5倍動いたと考えることができます。

これを図にすると、

1_2

５６－Ａ＝２８＋２．５×Ａ　となるので、

（１＋２．５）×Ａ＝５６－２８

３．５×Ａ＝２８

Ａ＝８

停止中の段数＝５６－８＝４８段

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2015年5月 9日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 流水算, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

斜線部分の面積は？（２０１５年　海城中学）

下の図は、おうぎ形と正方形を組み合わせた図形です。

斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。

5091

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正方形の面積＝対角線×対角線÷２＝８×８÷２＝３２ｃ㎡

正方形内のおうぎ形の面積＝半径×半径×３．１４÷４

半径×半径＝３２　なので、

斜線部分の面積＝３２－３２×３．１４÷４＝６．８８ｃ㎡

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2015年5月 9日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 円と扇形 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

折ってできた図形の面積（第１１回算数オリンピック、トライアル問題より）

図１の直角二等辺三角形の両端を図２のように折って、さらに半分に折ったときにできる図３の台形（黄色部分）の面積は何ｃ㎡になりますか。

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図のように、もとの直角二等辺三角形は、

８つの合同な小直角二等辺三角形に分けられるます。

黄色部分はその３つ分になるので、面積は

１０×５÷２×３/８＝９．３７５ｃ㎡

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2015年5月 8日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 折り紙, 算数オリンピック | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

正面から見た形は？（２０１５年　学習院女子中等科）

下の(図1)のような１辺が３cmの立方体の真ん中を、

１辺が１cmの正方形の穴でくりぬいた立体があります。

また、（図２）はこの立体を真上から見た実際の図です。

P5091

P5092

この図を参考にして、点ケ，コ，サ，シ，ス，セを通る面でこの立体を切ったとき、

その切り口の正面から見た形を描いてください。

（ただし、この６点は各辺の真ん中の点です。）

P5093

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P509

図のように、正六角形の切り口の真ん中にひし形の穴があいた立体になります。

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2015年5月 8日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 立体図形, 立体の切り口 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

約数の魔方陣？（２０１５年　桜蔭中学）

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下の図１のようなアからケの９個のマスがあります。

このアからケのマスの中に、約数が全部で９個ある整数の約数を小さい順に入れます。

たとえば、３６の場合は図２のようになります。

（１）アとケとオに書かれている数字の和が２４１となる整数はいくつですか。

（２）ウとケとキに書かれている数字の積が３８４１６となる整数はいくつですか。

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約数が９つある数を素因数分解すると、次の２つの場合が考えられます。

A×A×A×A×A×A×A×A・・・・・・①

A×A×B×B・・・・・・②

①の場合、A＝２でも　２５６なので、（１）には当てはまりません。

②の場合の約数を並べると、

１、A、B、A×A、A×B、B×B、A×A×B、A×B×B、A×A×B×B

B×B　と　A×A×B　はどちらが大きいかわかりませんが、

図２の例では、B×B　、　A×A×B　←この順になっているので、

この順番で考えてみます。

（１）では、１＋A×B＋A×A×B×B＝２４１

（A×B）＋（A×B）×（A×B）＝２４０

A＝２、B＝３　→　６＋３６＝４２・・・・・×

A＝２、B＝５　→　１０＋１００＝１１０・・・・・×

A＝３、B＝５　→　１５＋２２５＝２４０・・・・・○　なので、

A×A×B×B＝３×３×５×５＝２２５

（２）は、

（B）×（A×A×B×B）×（A×A×B）　と考えると、

（A×A×B×B）×（A×A×B×B)＝３８４１１６　なので、

２００に近い平方数で、１の位が４か６の数を調べると、

１９４×１９４＝３７６３６・・・・・×

１９６×１９６＝３８４１６・・・・・○なので、

A×A×B×B＝１９６

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2015年5月 8日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 約数と倍数 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

１９９９回目には何ℓか？（第８回算数オリンピック、トライアル問題より）

1999ℓの水が入った容器Ａと、同じ大きさのからの容器Ｂがあります。　１回目はＡの１/２の量をＢへ移します、２回目はＢの１/３をＡに移します、３回目はＡの１/４をＢへ移します、次はＢの１/５をＡへ……この方法で次々と移していきます。 1999回目にＡからＢへ移した時、Ｂの容器には何ℓの水が入っていますか。

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１回目にＡの１/２をＢに移すと、Ａ、Ｂは同じ量、

２回目にＢの１/３をＡに移すので、その量は１/２×１/３＝１/６、

これでＡの水の量は１/２＋１/６＝４/６、

そのうち１/４がＢから移された分なので、

３回目にＡから、この１/４をＢに移せば、

２回目にＢからＡに移した量がもとにもどるわけで、

ＡとＢの水の量はまた同になります｡

４回目も、Ｂの１/５をＡに移すので、その量は１/２×１/５＝１/１０、

これでＡの水の量は１/２＋１/１０＝６/１０、

そのうち１/６がＢから移された分なので、

５回目にＡから、この１/６をＢに移せば、

４回目にＢからＡに移した量がもとにもどるわけで、

ＡとＢの水の量はまた同じになります｡

つまり、奇数回目ではＡとＢの水の量は同じになるので、

１９９９回目では、Ａ、Ｂとも

１９９９÷２＝９９９．５リットル　になります。

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2015年5月 7日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 条件整理と推理, 算数オリンピック, 論理と推理 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

約分できない分数はいくつ？（大阪星光学院中学　２０１４年）

P507

Apf0107s

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６と９、７と８の組み合わせは３で割り切れるので、分母、分子になれません。

６と７、８と９　か　６と８、７と９　の組み合わせになりますが、

６７/８９、７６/８９、６７/９８、７６/９８

分母、分子を入れ替えて４通り、

６８/７９、８６/７９、６８/９７、８６/９７

分母、分子を入れ替えて４通り、

以上、１６個の分数ができますが、７６/９８と９８/７６は約分できるので、

約分できない分数は、１４個です。

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「あ」の角度は？（２０１５年　早稲田実業学校中等部）

下の図は正五角形と正三角形を重ねたものです。

「あ」の角度は何度ですか？

5071

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正三角形の内角は６０°

正五角形の内角は１０８°なので、

∠あ＝５４＋６０＝１１４°

5072

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2015年5月 7日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 角度 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

Ａからの距離は何ｍ？（２０１５年　東京女学館中学）

下の図のようにＡを出発し、ある地点まで進んだところで向きを変え、

移動した距離の半分まで戻った地点で再び向きを変えることを繰り返します。

最初に３２ｍ移動して向きを変えました。

5061

（１）向きを４回目に変える地点のＡからの距離は何ｍですか。

（２）向きを４回目に変える地点までの、Ａからの移動距離の合計は何ｍですか。

（３）向きを変えてから次に向きを変えるまでの移動距離が０．５ｍとなりました。

　　移動し終わった地点のＡからの距離は何ｍですか。

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（１）１６＋４＝２０ｍ

（２）３２＋１６＋８＋４＝６０ｍ

（３）２０＋１＋０．５＝２１．５ｍ

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2015年5月 6日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

交差しないようなひき方は？（２０１５年　獨協埼玉中学）

図のように２本の平行な直線ℓ、ｍ上に５点Ａ、B、Ｃ、Ｄ、Ｅがあります。

点Ａから点D、Ｅのどちらか１つを通る直線をひきます。

点Ｂ、Cからも同様に、点Ｄ、Ｅのどちらか１つを通る直線をそれぞれひき、

合計３本の直線をひきます。

直線ℓ、ｍの間（直線ℓ、ｍ上はのぞきます｡）で交差しないような直線のひき方は、

何通りありますか？

P5061

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ADと直線を引いた場合、BD、BEの２通りがあり、

BDの場合、CD、CEの２通り、BEの場合、CEの１通り、

AEの場合は、BE、CEの１通りなので、

図のように、全部で４通りがあります。

P5062

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2015年5月 6日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 入れ方、並べ方、取り出し方, 場合の数 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

どの箱から取り出すか？（第５回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

図のように３つの箱の外側に札がはってあります。それぞれの箱の中は黒玉２個、白玉２個、黒玉１個と白玉１個の３通りありますが、どれ１つとして､箱の中と、その箱にはられた札に書かれた内容とが同じものはありません。今、どれか１つの箱から１個だけ玉を取り出すことで、３つの箱にそれぞれどのように玉が入っているかを当てようと思います。さて、（ア）、（イ）、（ウ）のうち、どの箱から１個の玉を取り出せばよいでしょうか？

1_2

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ウは黒黒か白白なので、

１つ取り出せばどちらだかわかります。

それが白なら、ウは白白で、アは白白でも黒黒でもなく、

白黒に決まり、イが黒黒になります。

ウが黒なら、ウは黒黒で、

イは黒黒でも白白でもなく、白黒に決まり、

アが白白になります。

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2015年5月 6日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 条件整理と推理, 算数オリンピック, 論理と推理 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

表面積の差は？（２０１５年　早稲田中学）

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図は１辺の長さが６cmの立方体で、

３点Ａ､Ｂ､Ｃはいずれも各辺を３等分する点です。

３点Ａ､Ｂ､Ｃを通る平面でこの立方体を切ったとき、

２つの立体の表面積の差は何ｃ㎡ですか。

505

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立方体の切り口は図のように５角形になります。

Dは頂点から１ｃｍの点、Eは辺の真ん中の点です。

5052

切り口の面は同じ面積なので、それ以外の面の差を考えます。

表面積の小さい方の立体の表面積は、

手前の面が、（４＋２）×６÷２＝１８ｃ㎡

上面が、２×４÷２＝４ｃ㎡

下の面が、（４＋１）×６÷２＝１５ｃ㎡

右の面が、６×６－２×３÷２＝３３ｃ㎡

向こう側の面が、１×３÷２＝１．５ｃ㎡

合計、１８＋４＋１５＋３３＋１．５＝７１．５ｃ㎡

表面積の大きい方は、６×６×６－７１．５＝１４４．５ｃ㎡

差は、１４４．５－７１．５＝７３ｃ㎡

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2015年5月 5日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 立体図形, 立体の切り口, 表面積 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

バケツに入っている水の量は？（２０１５年　慶應義塾湘南藤沢中等部）

図のように、３ｍＬ、８ｍＬ、１５ｍＬ、２４ｍＬ、･･･の水が入ったバケツを順番に並べる。

これらのバケツに次のような作業を行う。

作業［１］：１番目のバケツに１ｍの水を加えて、

　　　　　　　１番目のバケツの水の量を４ｍＬにする。

作業［２］：作業［１］のあとの１番目のバケッに入っている水の半分を

　　　　　　　２番目のバケツに移して２番目のバケツの水の量を１０mLにする。

作業［３］：作業［２］のあとの２番目のバケツに入っている水の半分を

　　　　　　　３番目のバケツに移して、３番目のバケツの水の量を２０ｍLにする。

これ以降は、作業［２］、［３］と同じようにバケツに入っている水の半分を

次のバケツに移す作業をくり返す。

ただし、バケツの水はあふれないものとする。

このとき、次のア～ウにあてほまる値を求めなさい。

504

（１）作業［７］が終わったあと、

　　　　　　　　　７番目のバケツに入っている水の量は（ア）mLである。　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（２）作業［２９］が終わったあと、

　　　　　　　　　２９番目のバケツに入っている水の量は（イ）mLである。

（３）作業［ウ］が終わったあと、

　　　　　　　　　（ウ）番目のバケツに入っている水の量は５２０４mLである。

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２番目の作業が終わったとき、１番目に残った水の量は、（３＋１）÷２＝２ｍL

３番目の作業が終わったとき、２番目に残った水の量は、（８＋２）÷２＝５ｍL

４番目の作業が終わったとき、３番目に残った水の量は、（１５＋５）÷２＝１０ｍL

・・・・・・

２ｍL＝１×１＋１

５ｍL＝２×２＋１

１０ｍL＝３×３＋１

・・・・・・

８番目の作業が終わったとき、７番目に残った水の量は、

７×７＋１＝５０ｍL

７番目の作業が終わったとき、７番目の水の量は、５０×２＝１００ｍL・・・（ア）

３０番目の作業が終わったとき、２９番目に残った水の量は、

２９×２９＋１＝８４２ｍL

２９番目の作業が終わったとき、２９番目の水の量は、

８４２×２＝１６８４ｍL・・・（イ）

５２０４÷２＝２６０２

ウ×ウ＋１＝２６０２

ウ×ウ＝２６０１

ウ＝５１

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2015年5月 4日 (月) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 規則性 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

虫食い算ですが・・・（第１２回算数オリンピック、トライアル問題より）

下の計算式の□はある数です。

□×２４はいくつですか？

1_2

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針金が通る立方体は何個？（２０１５年　香蘭女学校中等科）

図のように，立方体をすき間なく積み上げて直方体を作ります。

針金をＡからＢにまっすぐ突き刺すとき，針金が通過する立方体は何個ですか？

P503

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針金は図のように通っています。

Capture_2015_05_03_07_00_34_234

まず正面から見て、通っていない立方体を消していきます。

Capture_2015_05_03_07_02_02_78

右上１列と、左下１列です。

Capture_2015_05_03_07_04_17_625

次に、上から見て、通っていない立方体を消します。

Capture_2015_05_03_07_04_48_875

Capture_2015_05_03_07_06_55_359

次に、横から見て、通っていない立方体を消します。

Capture_2015_05_03_07_07_28_484

Capture_2015_05_03_07_08_18_328_2

８個の立方体が残りました。

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2015年5月 3日 (日) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 立体図形 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

小さい正方形の面積は？（２０１５年　東京都市大学附属中学）

下の図のように、正方形の各辺の真ん中の点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈと４つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを結んで内部に小さな正方形を作ります。

この小さい正方形も同じようにして、さらに小さい黄色部分のような正方形を作りました。

このとき、黄色部分の正方形の面積は、もとの正方形ＡＢＣＤの面積の何倍ですか。

5031

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図のように、緑の直角三角形と水色の直角三角形を移動すると、

真ん中の小さい正方形と同じ正方形が５つできます。

したがって、黄色い正方形はもとの大きい正方形の、１/５×１/５＝１/２５倍です。

5032

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等しい面積はどれとどれ？（２００４年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

たて６ｃｍ、横９ｃｍの長方形ABCDにおいて、三角形ABFと三角形CDHの面積の和が１９ｃ㎡のとき、四角形EFGHの面積は何ｃ㎡ですか。

1_2

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2_2

△ABG＋△CDG＝長方形の半分・・・①

△EBC＝９×６÷２＝２７ｃ㎡＝長方形の半分・・・②

①と②は青部分が共通です。

したがって、黄色部分＝緑＋水色

緑＋水色＝１９ｃ㎡

△水色＝２７÷２＝１３．５ｃ㎡

四角形EFGH＝緑＝１９－１３．５＝５．５ｃ㎡

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2015年5月 2日 (土) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

この三角形の面積は？（２０１５年　大妻中野中学）

この三角形の面積は何ｃ㎡ですか？

P5021

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図のように、真ん中で切って、２つの三角形を重ねます。

P5022

AからBCに垂線を下ろすと、

△黄は９０°、６０°、３０°の直角三角形になり、正三角形の半分です。

したがって、AH＝６ｃｍなので、

求める面積＝１２×６÷２＝３６ｃ㎡

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切り口はどんな形？（２０１５年　灘中学　２日目の問題から）

１辺の長さが６cmの立方体から３辺の長さが１ｃｍ、２ｃｍ、３ｃｍの直方体を取り除いてできた下の図のような立体Tがあります。

いくつかの辺には１ｃｍごとに目盛りがついています。

また、３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面をＳとします。

5021

点Ｐを通り平面Sに平行な平面で立体Tを切ります。

切り口全体の周を（例）にならって下の図にかきなさい。

また、この切り口全体の面積は三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか。

5022

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図のように、正三角形の切り口が２つできます。

Bandicam_20150502_091453219

小さい正三角形の１辺を１とすると面積は１×１＝１

下の正三角形は、２×２＝４

△ABCは、６×６＝３６

したがって、（１＋４）/３６＝５/３６倍です。

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冬子さんの得点は何点か？（２００６年算数オリンピック、トライアル問題より）

春香さん、夏恵さん、秋代さん、冬子さんの４人が10点満点のテストを受けました。問題は配点が１～４点が１問ずつの計４問ですが、第１問は１点ではなく、第２問は２点ではなく、第３問は３点ではなく、第４問は４点ではありません。問題はどれもＡかＢのどちらかで答えるもので、正解は必ずそのどちらか１つになっています。４人が答案に書いた解答と得点が下の表のようであるとき、冬子さんの得点を求めなさい。