この条件だけでほんとにわかるの？（算数オリンピック・ファイナル 2009年）

２けたの整数が４つあります。それぞれの数同士の和と差を

すべて書くと、大きい方から次のようになりました。

　

９３，８３，８１，４９，４７，４６，４４，３７，３４，１２，１０，２

　

このとき、４つの整数を答えなさい。

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４つの整数を大きい方からＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとすると、

Ａ＋Ｂ が最も大きくなり、Ａ＋Ｂ＝９３ ・・・① です。

Ａ＋Ｃ とＢ＋Ｃ ではＡ＋Ｃ の方が大きいので、

２番目に大きいのは、Ａ＋Ｃ＝８３ ・・・② とわかります。

①と②から、ＢとＣの差が１０であることがわかり、

Ｂ－Ｃ＝１０ ・・・③ です。

　
①から、Ａ＋Ｂ＝９３ なので

Ａは、９３÷２＝４６．５より大きく、４７以上とわかります。

（Ａ＋Ｂ＝９２＋１＝９１＋２＝・・・＝４７＋４６＝４６＋４７）

　
このことから、Ｄも２けたの整数なので、Ａ＋Ｄ＝８１ ・・・④

ということがわかります。

②と④より、Ｃ－Ｄ＝２  ・・・⑤、

Ｂ－Ｄ＝１２ ・・・⑥とわかります。

　
①～⑥から、

Ｂ，Ｃ，Ｄが偶数なら、Ａは奇数

Ｂ，Ｃ，Ｄが奇数なら、Ａは偶数

という関係がわかります。　

　
残りの数は、４９，４７，４６，４４，３７，３４ の６つで、これは

Ａ－Ｂ、Ａ－Ｃ、Ａ－Ｄ、Ｂ＋Ｃ、Ｂ＋Ｄ、Ｃ＋Ｄ に相当します。

Ｃ－Ｄ＝２なので、

Ｂ＋Ｃ と Ｂ＋Ｄ の差、 Ａ－Ｃ と Ａ－Ｄ の差 が共に２です。

差が２になる２つの数は、４９と４７、４６と４４ があります。

すると、残りの３４と３７が Ｃ＋Ｄ または Ａ－Ｂ ということです。

ＣとＤは奇数同士または偶数同士なので、和は偶数です。

よって、Ｃ＋Ｄ＝３４ ・・・⑦で、A－B＝３７・・・⑧　です。

①と⑧より、A＝６５、B＝２８

⑤と⑦より、C＝１８、D＝１６

とわかります。

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