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2015年5月30日 (土)

この条件だけでほんとにわかるの?(算数オリンピック・ファイナル 2009年)

2けたの整数が4つあります。それぞれの数同士の和と差を

すべて書くと、大きい方から次のようになりました。

 

93,83,81,49,47,46,44,37,34,12,10,2

 

このとき、4つの整数を答えなさい。

Apf0107s

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4つの整数を大きい方からA,B,C,Dとすると、

A+B が最も大きくなり、A+B=93 ・・・① です。

A+C とB+C ではA+C の方が大きいので、

2番目に大きいのは、A+C=83 ・・・② とわかります。

①と②から、BとCの差が10であることがわかり、

B-C=10 ・・・③ です。

 
①から、A+B=93 なので

Aは、93÷2=46.5より大きく、47以上とわかります。

(A+B=92+1=91+2=・・・=47+46=46+47)

 
このことから、Dも2けたの整数なので、A+D=81 ・・・④

ということがわかります。

②と④より、C-D=2  ・・・⑤、

B-D=12 ・・・⑥とわかります。

 
①~⑥から、

B,C,Dが偶数なら、Aは奇数

B,C,Dが奇数なら、Aは偶数

という関係がわかります。 

 
残りの数は、49,47,46,44,37,34 の6つで、これは

A-B、A-C、A-D、B+C、B+D、C+D に相当します。

C-D=2なので、

B+C と B+D の差、 A-C と A-D の差 が共に2です。

差が2になる2つの数は、49と47、46と44 があります。

すると、残りの34と37が C+D または A-B ということです。

CとDは奇数同士または偶数同士なので、和は偶数です。

よって、C+D=34 ・・・⑦で、A-B=37・・・⑧ です。

①と⑧より、A=65、B=28

⑤と⑦より、C=18、D=16

とわかります。

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