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2015年5月14日 (木)

大人には難問です!(第11回算数オリンピック、ファイナル問題より)

AB=11 cm、 AC=9cmの三角形ABCがあります。まず、辺BC上に、角BHA=90°となるような点Hをとります。
次に、辺BC上に、角BAD=60°となるような点DをHとCの間にとります。すると、角DACの大きさは角HADの大きさの2倍になりました。
このとき、BHの長さはCHの長さの何倍でしょうか。

1_3

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2_2

角BAH=■、角HAD=●とすると、■+●=60度・・・①

三角形ABHをABを軸として折り返し三角形ABH'を作り、

さらに三角形ABH'をAH'を軸としてもう一度折り返し、

三角形AB'H'を作ります(図)。

このとき角B'AC=180度、つまり一直線になります。

なぜなら、この角には■と●が3個ずつ集まっているので、

①から60×3=180度

また角B'H'Bも180度です。

つまり2回の折り返しにより、三角形B'BCが出来たことになります。

三角形ABHの面積を⑪とすると、

三角形ABH'と三角形AB'H'も面積は当然⑪です。

面積比と底辺比の関係により、

三角形B'BA:三角形ABCはB'A:AC=11:9

三角形AHC=(?×9/11-⑪)=⑦

そして再び面積比と底辺比の関係により、

BH:HC=11:7となり、

答えは11/7=1と4/7倍となります。

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