何角形をいくつに分けたのか？（第７回算数オリンピック、ファイナル問題より）

ある１つの多角形を何本かの直線で切りはなし、いくつかの多角形に分けました。すると、分けてできた多角形の辺の数の合計は、もとの多角形の辺の数より13本多く、内角の合計はもとの多角形の内角の和の1.3倍になりました｡もとの多角形は何角形でしたか｡また、それをいくつに分けましたか｡

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多角形を直線にそって切り分けると、

多角形が１つふえるたびに、辺の総数は、

直線が２頂点をとおる場合……２本ふえる

直線が１頂点をとおる場合……３本ふえる

直線が頂点をとおらない場合…４本ふえる

仮に４個の多角形に切り分けた場合、

多角形は３個増えますが、辺の数は最多でも４×３で、

12本しか増えません。

また８個の多角形に切り分けた場合、最少でも２×７で、

14本増えてしまいます。

したがって、切り分けられた多角形の数は５、６、７個のいずれか

一方、多角形の内角の総和は、

１８０゜×(辺の数一２)なので、その増加分は、

①　５個に切り分けた場合は、

１８０゜×（１３－２×（５－１））＝１８０゜×5

②　6個に切り分けた場合は、

１８０゜×（１３－２×（６－１））＝１８０゜×3

③　7個に切り分けた場合は、

１８０゜×（１３－２×（７－１））＝１８０゜×1

多角形の内角の総和は１８０゜単位でしかふえないので、

増加して1.3倍になるには、

②の６個に切り分けた場合しかありません。

そこで、もとの多角形の内角の和は１８０゜×10、

そのような多角形の辺の数は10＋2で、12角形。

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