白い立方体の数はいくつ？（第８回算数オリンピック、トライアル問題より）

白色と赤色の同じ大きさの小さな立方体がたくさんあります。これらの小さな立方体をいくつか使って大きな立方体を作ると、大きな立方体の対角線（図のＡＧ、ＢＨ、ＣＥ、ＤＦの直線）上の小さな立方体はすべて赤色でその他はすべて白色でした。赤色の小さな立方体の数が49個のとき、白色の小さな立方体の数はいくつありますか。

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赤立方体が、対角線上にどのようこ並ぶかを考えます。

大きな立方体が、

１辺が３個の小立方体でできていれば（図１）、

対角線上に並ぶ小立方体は、１つの対角線で３個

したがって、合計は３個×４（対角線の数）＝12個から、

各対角線が共有する中央の１個を３個分引き、

12－ 3 ＝9で、９個になります。

１辺が４個でできている場合（図２）には、

対角線上に４個並び、合計は4×4＝16（個）、

この場合は中央で共有する小立方体はないので、

１６個がそのまま合計になります。

つまり、大きな立方体の１辺が、奇数個の小立方体なら、

対角線上に並ぶ小さな立方体の個数は、

１辺の個数（奇数）×４－３で奇数に、

また１辺が偶数個の場合は、

１辺の個数（偶数）×４で偶数になります。

したがって、赤立方体が奇数の49個あるということは、

各対角線上の個数の合計より3個少ないので、

１つの対角線上にある個数は、

（49＋３）÷４＝13個

立方体の対角線上にある個数＝立方体の１辺にある個数なので、

小立方体の総数は、

13×13×13＝2197個

白立方体＝2197ー49＝2148個。

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