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2015年4月25日 (土)

なくなったページ数は?(第9回算数オリンピック、ファイナル問題より)

平大君が古い本を読んでいると、ところどころはずれてなくなっているページがあることに気づきました。なくなったページの数字は、最も小さいものが143で、最も大きいものは、その143の各位の数字を入れ替えた数でした。また、なくなったページの数字をすべてたすと、ちょうど2000でした。なくなったのは何ページ分ですか。

1

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本は必ず奇数ページの裏が偶数ページになっているので、

なくなったページで、一番小さいページは143ページの奇数、

一番大きいページは偶数なので、

1、4、3の3つの数字で3けたの偶数は、134か314ですが、

134は一番小さいページ143より小さいので不適当、

一番大きいページは314ページになります。

次に、1枚切り取ると連続する2つのページが切り取られるので、

その2つのページの和は必ず奇数になります。

切り取られたページの和は2000(偶数)になるためには、

偶数枚、つまり4の倍数ページ分を切り取らなくてはなりません。

2枚では(143+144)+(313+314)=914で2000にならないので、

4枚(8ページ分)を切り取ったときを考えると、

その和が最も小さくなる時は、

(143+144)+(145+146)+(147+148)+(313+314)=1500

ですが、

6枚(12ページ分)切り取って、

ページ数の和が最も小さくなる時は、

1500+(149+150)+(151+152)=2102

と、2000を超えてしまうので、

ペーゾ数の和が2000になることはありません。

したがって、なくなったページ数は4枚、

つまり8ページ分となります。

例えば、(143、144)、(269、270)、(273、274)、(313、314)のページ、

または、、(143、144)、(267、268)、(275、276)、(313、314)などです。

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