なくなったページ数は？（第９回算数オリンピック、ファイナル問題より）

平大君が古い本を読んでいると、ところどころはずれてなくなっているページがあることに気づきました。なくなったページの数字は、最も小さいものが143で、最も大きいものは、その143の各位の数字を入れ替えた数でした。また、なくなったページの数字をすべてたすと、ちょうど2000でした。なくなったのは何ページ分ですか。

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本は必ず奇数ページの裏が偶数ページになっているので、

なくなったページで、一番小さいページは１４３ページの奇数、

一番大きいページは偶数なので、

１、４、３の３つの数字で３けたの偶数は、134か314ですが、

134は一番小さいページ143より小さいので不適当、

一番大きいページは３１４ページになります。

次に、１枚切り取ると連続する２つのページが切り取られるので、

その２つのページの和は必ず奇数になります。

切り取られたページの和は2000(偶数)になるためには、

偶数枚、つまり４の倍数ページ分を切り取らなくてはなりません。

２枚では(143＋144)＋(313＋314)＝９１４で２０００にならないので、

４枚(8ページ分)を切り取ったときを考えると、

その和が最も小さくなる時は、

(143＋144)＋(145＋146)＋(147＋148)＋(313＋314)＝1500

ですが、

6枚(12ページ分)切り取って、

ページ数の和が最も小さくなる時は、

1500＋(149＋150)＋(151＋152)＝2102

と、２０００を超えてしまうので、

ペーゾ数の和が2000になることはありません。

したがって、なくなったページ数は４枚、

つまり８ページ分となります。

例えば、(143､144)、(269､270)、(273､274)、(313､314)のページ、

または、、(143､144)、(267､268)、(275､276)、(313､314)などです。

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