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2015年4月 3日 (金)

60点以上は何人か?(第10回算数オリンピック、ファイナル問題より)

ある年の算数オリンピックの決勝戦で、全参加者の得点の合計は8640点て、80点以上は1位92点、2位85点、3位は81点の3人だけで、最低点は25点でした。この決勝大会ではそれぞれの得点において同点の人は3人までしかいませんでした。この大会で60点以上は上位3人を含めて少なくとも何人いるといえますか。

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25~79点の人の合計点は8640-(92+85+81)=8382点

25~79点の各得点がすべて3人ずついたときの合計点は

(25+79)×(79-25+1)÷2×3=8580点

超過分8580-8382=198(点)なので、

198点分だけ25~79点のうちから、

どこかの得点の人数を減らしていきますが、

「60点以上の人は少なくとも何人か?」との問題の主旨から、

60点以上の人を最大に減らすには、

198÷60=3あまり18、より、

60点以上の人を最大3人減らせます。

(例:68点の人を2人、62点の人を1人減らす、・・・など)

このことから、60点以上の人は80点以上の3人を合わせて、

少なくとも、

(79-60+1)×3-3+3=60人いるといえます。

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