６０点以上は何人か？（第１０回算数オリンピック、ファイナル問題より）

ある年の算数オリンピックの決勝戦で、全参加者の得点の合計は8640点て、80点以上は１位92点、２位85点、３位は81点の３人だけで、最低点は25点でした。この決勝大会ではそれぞれの得点において同点の人は３人までしかいませんでした。この大会で60点以上は上位３人を含めて少なくとも何人いるといえますか。

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25～79点の人の合計点は8640－(92＋85＋81)＝8382点

25～79点の各得点がすべて３人ずついたときの合計点は

(25＋79)×(79－25＋1)÷2×3＝8580点

超過分8580－8382＝198(点)なので、

198点分だけ25～79点のうちから、

どこかの得点の人数を減らしていきますが、

「60点以上の人は少なくとも何人か？」との問題の主旨から、

60点以上の人を最大に減らすには、

198÷60＝3あまり18、より、

60点以上の人を最大３人減らせます。

(例:68点の人を２人、62点の人を1人減らす、・・・など）

このことから、60点以上の人は80点以上の３人を合わせて、

少なくとも、

(79－60＋1)×3－3＋3＝60人いるといえます。

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