長さと面積は?(2015年 中央大学附属横浜中学)
図のような正方形ABCDがあります。
点Eは対角線ACをを3等分する点のうち、Aに近い方の点です。
EFはADと平行で、FDはBEと平行です。
また、三角形ABEの面積は24c㎡です。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1)ABの長さは何cmですか。
(2)EFの長さは何cmですか。
(3)CとFを結んでそのままのぱした直線と、BEをのばした直線が交わる点をPとします。三角形PEFの面積は何c㎡ですか。
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(1)図のように、△ABEは△緑と△水色と等しいので、
正方形の1/6になります。
正方形の面積は、24×6=144c㎡なので、
144=12×12より、AB=12cm
(2)△緑と△黄は相似で、高さは2:1なので、底辺の比も②:①です。
△水色は△ACDと相似で、相似比は1:3
したがって、正方形の1辺は②×3=⑥=12cmとなるので、
EF=⑥-③=③=6cm です。
(3)
△PBCと△PEFは相似で、底辺の長さが12:6より、
相似比は2:1なので、PG=EHとなります。
EH=12×2/3=8cm=PG なので、
△PEFの面積=6×8÷2=24c㎡
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