長さと面積は？（２０１５年 中央大学附属横浜中学）

図のような正方形ＡＢＣＤがあります。

点Ｅは対角線ＡＣをを３等分する点のうち、Ａに近い方の点です。

ＥＦはＡＤと平行で、ＦＤはＢＥと平行です。

また、三角形ＡＢＥの面積は２４ｃ㎡です。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）ＡＢの長さは何ｃｍですか。

（２）ＥＦの長さは何ｃｍですか。

（３）ＣとＦを結んでそのままのぱした直線と、ＢＥをのばした直線が交わる点をＰとします。三角形ＰＥＦの面積は何ｃ㎡ですか。

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（１）図のように、△ABEは△緑と△水色と等しいので、

正方形の１/６になります。

正方形の面積は、２４×６＝１４４ｃ㎡なので、

１４４＝１２×１２より、AB＝１２ｃｍ

（２）△緑と△黄は相似で、高さは２：１なので、底辺の比も②：①です。

△水色は△ACDと相似で、相似比は１：３

したがって、正方形の１辺は②×３＝⑥＝１２ｃｍとなるので、

EF＝⑥－③＝③＝６ｃｍ　です。

（３）

△PBCと△PEFは相似で、底辺の長さが１２：６より、

相似比は２：１なので、PG＝EHとなります。

EH＝１２×２/３＝８ｃｍ＝PG　なので、

△PEFの面積＝６×８÷２＝２４ｃ㎡

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