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2015年4月 2日 (木)

ピラミッドの影をなくすには?(2005年算数オリンピック、トライアル問題より)

図のようなピラミッドの模型があります。底面は1辺20cmの正方形で、ピラミッドの高さは15cmです。底面の辺BCの延長上、BF=40cmの点Fの真上に光源Pがあります。ピラミッドの影をなくすにはPの高さhを何cm以上にすればよいですか。

2_2

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真上から見た図1より、ピラミッドの頂点Aの影が、

辺CD上にきたとき、初めて影がなくなります。

この点をGとします。

このとき、BCの真ん中の点をMとすると、

AM⊥BCで、

FC:MC=60cm:10cm=6:1

3_2 

頂点Aの真下の点をHとすると、

このときの様子を横から見たのが図2です。

FG:HG=FC:MC=6:1より、

△PFGは△AHGと相似で、相似比は6:1です。

したがって、PF=h=AH×6=15×6=90cm

90cm以上の高さが必要です。

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