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2015年4月 9日 (木)

最大何km走れるか?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

4台の全く同じ性能の車があります。どの車もタンクいっぱいに同じ量のガソリンを入れると最大12 km  走行でき、また他の車に自分の車のガソリンの一部または全部を分けて移すこともできますが、ガソリンタンクが空になった車はそこで動けなくなります。
今、この4台の車をタンクいっぱいにガソリンを入れて同じ場所から同時に出発させ、途中でおたがいにうまくガソリンを補給し合いながら4台のうちの1台がなるべく長い距離を走れるようにすると、最大何km走ることができますか。

Trp1012s

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同時に走行する車が多いほどガソリンが早く消費されてしまうので、

最後に残す1台以外の車をなるべく早く脱落させるように、

その車に残っているガソリンを、

すべて他の車に移しかえていく方法をとります。

脱落車の残りのガソリンが他のすべての車のタンクを

ちょうどいっぱいにさせられる地点で

順に1台ずつ脱落させていくことを考えます。

1台目を脱落させる地点は、

3台残るので、脱落車のガソリンの残量が

他の車の消費済み量の3倍になる、

全車1/4を消費し、3/4残っている地点で、

12÷4=3km 進んだ地点。

2台目を脱落させる地点は、

2台残るので、脱落車のガソリンの残量が

他の車の消費済み量の2倍になる、

全車1/3を消費し、2/3残っている地点で、

12÷3=4km 進んだ地点。

3台目を脱落させる地点は、

1台残るので、脱落車のガソリンの残量が

他の車の消費済み量と同じになる、

全車1/2を消費し、1/2残っている地点で、

12÷2=6km 進んだ地点。

最後の1台は満タンで12km進むので、

合計、3+4+6+12=25km

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