目次

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2015年4月

2015年4月30日 (木)

4cmの差をどう考えるか?(2005年算数オリンピック、トライアル問題より)

長方形ABCDで、(か)、(き)、(く)、(け)の部分の面積について次のことがわかっています。

(か)+(き)=162c㎡

(き)+(く)=208c㎡

(く)+(け)=126c㎡

アとウの差が4cmのとき、イとエの差は何cmですか。

1

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正方形ABCDの面積は、

(か+き)+(く+け)=162+126=288c㎡

か+け=288-(き+く)=288-208=80c㎡

(き+く)>(か+け)、ウーア=4cm なので、

下図のような黄色の平行四辺形を考えると、

2

黄色部分=208-80=128c㎡

したがって、AD=128÷4=32cm

AB=288÷32=9cm

同様に、下図のような緑の平行四辺形を考えると、

3

緑部分=162-126=36c㎡

よって、イーエ=36÷9=4cm

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色部分の面積は?(2015年  桐蔭学園中学校男子部)

1辺が12cmの正方形があります。赤丸は1辺を3等分する点です。

黄色部分の面積は何c㎡ですか?

P4301

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△青と△緑は相似で、相似比は3:1

したがって、AD:DB=1:3

P4302

△ABCは正方形の半分の2/3なので、

黄色部分の面積=12×12×1/2×2/3×3/4=36c㎡

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緑の部分の面積は?(2015年 お茶の水女子大学附属中学)

図のように、たて14cm、横18cmの長方形があります。

この長方形の中に平行な2本の直線ア、イをかきました。

このとき、図の緑の部分の面積を求めなさい。

4301

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図のように、下の直角三角形部分を上に2cm移動します。

4302

白い部分は、底辺3cm、高さ2cmの直角三角形と、

たて2cm、横12cmの長方形になります。

緑部分の面積=14×18-(3×2÷2+12×2)=225c㎡

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2015年4月29日 (水)

ガソリンは何ℓ入っていたか?(第12回算数オリンピック、トライアル問題より)

ガソリンの入った缶があります。この缶の中のガソリンの70%を使った後、新たに10ℓのガソリンを缶の中に入れました。すると缶の中のガソリンの量は初めのちょうど半分になりました。初めに缶に入っていたガソリンの量は何ℓでしたか?

Cdm043s

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最初の量を1とすると、

70%使った後に残っている量は、1-0.7=0.3

半分になる量は、0.5-0.3=0.2

この0.2が10リットルに相当するわけです。

したがって、1に相当する量は、

10÷0.2=50リットル です。

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シールの枚数は?(フェリス女学院中学 2014年 改題)

花子さんの持っているシールの枚数について、次の①~③のことがわかっています。

①シールを4枚ずつ分けても5枚ずつ分けても6枚ずつ分けても1枚余ります。

②シールを7枚ずつ分けると余りません。

③シールの枚数は600枚以下です。

花子さんが持っているシールの枚数は何枚ですか?

Girl305519_150

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シールの枚数を□枚とすると、

□-1 は4と5と6の倍数です。

4と5と6の最小公倍数は60なので、

600までに考えられる数は、

60、120、180、240、300、360、420、480、540、600

□は7の倍数なので、上記の数に1をたして7で割り切れるか調べると。

(300+1)÷7=43 なので、

□=301 となり、シールの枚数は301枚です。

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この立体の体積は?(2015年 成城学園中学)

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下の図は、直方体を平らな面でななめに切ってできた立体です。

この立体の体積は何立方cmですか。

4290

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図のような同じ図形を逆さまにして上に重ねると、

高さが8cmの直方体になります。

4291

体積=6×5×8÷2=120立方cm

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2015年4月28日 (火)

角度を求める問題!(第7回算数オリンピック、トライアル問題より)

ABとCDは平行,AB=AC=AD,角BAC=30度のとき角CBD,角CDBの大きさを求めなさい。

1

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ABとCDは平行なので、角ACD=角BAC=30度。

三角形ACDはAC=ADの二等辺三角形なので、

角ADC=角ACD=30度で、

角CAD=180度-30度×2==120度。

また、三角形ABDもまたAB=ADの二等辺三角形なので、

角ABD=角ADB=(180度-30度一120度)÷2=15度。

ABとCDは平行なので、角CDB=角ABD=15度。

さらに、三角形ABCもAB=ACの二等辺三角形なので、

角ABC=(180度-30度)÷2=75度。

これにより、角CBD=角ABC一角ABD=75度-15度=60度。

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周りの長さは?(郁文館中学 2014年)

図のように、中心がOで直径がABの円の中に

2種類の大きさの円がぴったりと入っています。

このとき、斜線部分の周りの長さは何cmですか?

P428

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中に入っている円の円周の合計は外側の円周に等しくなります。

したがって、斜線部分の周りの長さは大きい円の円周2つ分で、

12×3.14×2=75.36cm

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面は何個ある?(2015年 桐光学園中学)

下の図は,ある直方体から3つの直方体を切り取ったものを,

真横と真上から見た図です。

この立体には何個の面がありますか。

4281

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この立体は図のようになっているので、

Capture_2015_04_28_06_26_38_171

正面と裏側で、1+1=2面

真下は1面

左側が3面

右側が2面

真上からが4面

合計、2+1+3+2+4=12面

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2015年4月27日 (月)

論理的に大きさを考える!(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

図のように大きな長方形を、9つの面積が異なる小さな長方形に分け、①~⑨の番号をつけました。⑤の面積が最大で⑨の面積が最小です。この9つの長方形のうち、3つの長方形の周囲の長さが等しくなるとすると、どれとどれとどれでしょうか。

1

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----------------------------------------------------

大小関係を順番に考えていきます。

まず、縦の長さを考えると、

一番大きい⑤は、横の長さが②、⑧と同じなので、

縦の長さはこの2つより大きくなります。

また、一番小さい⑨は、横の長さが③、⑥と同じなので、

縦の長さはこの2つより小さくなります。

2
次に横の長さを同じように考えます。

⑤の横の長さは④、⑥より長くなり、

⑨の横の長さは⑦、⑧より短くなります。

3

この中で周囲の長さが等しいと考えられるのは、

(縦×横)が

(大×小)の⑥、

(中×中)の①、

(小×大)の⑧、の3つの長方形です

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Gにあてはまる数は?(2015年 東海大学付属高輪台高等学校中等部)

下の式のA~Gは、1~9のいずれかの数字です。

同じ文字は同じ数を、異なる文字は異なる数を表すとき、

Gにあてはまる数はいくつですか?

P427Blonde160653_150

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A×A=B は 2×2=4 か 3×3=9 なので、Aは2か3です。

A=2 だと B=4 なので、A×C=D は、2×3=6 になりますが、

C×E=F が 3×E=F となって、E、Fに入る数がありません。

したがって、A×A=B は 3×3=9 で、A=3、B=9 が決まり、

A×C=D は、3×2=6 で、C=2、D=6 が決まり、

C×E=F は、2×4=8 で、E=4、F=8 になり、

G=9-4=5 となります。

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斜線部分の面積は?(2015年 東京学芸大学附属小金井中学)

半径の等しい4つの円を図のように重ねてかいた。

外側の3つの円は真ん中の円の中心で交わっている。

円の半径が6cmのとき,斜線部分の面積を求めなさい。

なお,円周率は3.14,1辺の長さが6cmの正三角形の面積は15.59c㎡とする。

4271

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4つの円はみな半径が等しいので、

真ん中の円は必ず外側の3つの円の中心を通ります。

4272_2

上の円の中心をO'とすると、

OP=OO'、OO'=O'P なので、OP=OO'=O'P となり、

△O'OPは正三角形になります。

斜線部分は緑部分が6つ分なので、

斜線部分=(6×6×3.14×60/360-15.59)×6=19.5c㎡

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2015年4月26日 (日)

○入りの同じ図形で分ける(2006年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

それぞれの図形を、○が1個ずつ入った形の等しい図形に分けてください。

1

ただし、下の例のように、裏返したり、○の位置が異なっていてもよいものとします。点線にそって分けた線を太線で書き入れてください。

3

(1)は比較的簡単ですが、(2)は難しい!

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2

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テープは何cm?(2015年 鶴見大学附属中学)

2.6mのテープを、それぞれの長さが12cmずつ違うように4つに切りました。

2番目に長いテープは何cmですか?

Ilm20_ab06001s

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一番短いテープの長さを□cmとすると、

□+□+12+□+24+□+36=260

4×□=260-72=188

□=47cm

2番目に長いテープは、

47+24=71cm

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ご石は何個あった?(2015年 世田谷学園中学)

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ご石を図のわく内に縦と横の個数の比が3:5の長方形になるように並べたところ、

200個あまりました。そこで図のように、

ご石を下に3列、右に5列増やした大きい長方形にしようとしたところ、

145個足りませんでした。ご石は何個あったのでしょうか。

4261

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図のように縦3個、横5個、合計15個のブロックを考えます。

4262

赤い部分の個数は、200個使って145個足りなかったので、

200+145=345個 必要です。

15個ブロックは、345÷15=23個 入っています。

15ブロックは、最初が1個、その外側が3個、3番目が5個、4番目が7個・・・・・・

5番目は5×2-1=9個、6番目は、6×2-1=11個・・・・・

23個は、(23+1)÷2=12番目です。

縦の個数は、3×12=36個

横の個数は、5×12=60個

ご石の数は、36×60-145=2015個 です。

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2015年4月25日 (土)

なくなったページ数は?(第9回算数オリンピック、ファイナル問題より)

平大君が古い本を読んでいると、ところどころはずれてなくなっているページがあることに気づきました。なくなったページの数字は、最も小さいものが143で、最も大きいものは、その143の各位の数字を入れ替えた数でした。また、なくなったページの数字をすべてたすと、ちょうど2000でした。なくなったのは何ページ分ですか。

1

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本は必ず奇数ページの裏が偶数ページになっているので、

なくなったページで、一番小さいページは143ページの奇数、

一番大きいページは偶数なので、

1、4、3の3つの数字で3けたの偶数は、134か314ですが、

134は一番小さいページ143より小さいので不適当、

一番大きいページは314ページになります。

次に、1枚切り取ると連続する2つのページが切り取られるので、

その2つのページの和は必ず奇数になります。

切り取られたページの和は2000(偶数)になるためには、

偶数枚、つまり4の倍数ページ分を切り取らなくてはなりません。

2枚では(143+144)+(313+314)=914で2000にならないので、

4枚(8ページ分)を切り取ったときを考えると、

その和が最も小さくなる時は、

(143+144)+(145+146)+(147+148)+(313+314)=1500

ですが、

6枚(12ページ分)切り取って、

ページ数の和が最も小さくなる時は、

1500+(149+150)+(151+152)=2102

と、2000を超えてしまうので、

ペーゾ数の和が2000になることはありません。

したがって、なくなったページ数は4枚、

つまり8ページ分となります。

例えば、(143、144)、(269、270)、(273、274)、(313、314)のページ、

または、、(143、144)、(267、268)、(275、276)、(313、314)などです。

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一筆書きは何通り?(2015年 駒場東邦中学)

図のように1辺が1cmの小正方形の中に1と2がところどころに書かれています。

この小正方形の辺に沿って,全ての1が囲みの内側に,

全ての2が囲みの外側になるように,一筆書きの太線で囲みます。

ただし,囲みはとちゅうでくっついたりはしません。

4251

下図について,囲まれる面積が,6c㎡である囲み方は(ア)通り,

7c㎡である囲み方は(イ)通りあります。

また,囲み方は全部で(ウ)通りあり,

その中で囲んだ図形が線対称な図形となる囲み方は(エ)通りあります。

空らんア~エにあてはまる数を答えなさい。

4252

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空欄を図のようにA~Eとします。

×印の空欄は線がくっついてしまうので、囲めません。

4253

6c㎡の場合は、

1以外に空欄を1つなので、AかBかDかEなので(ア)=4通り、

(Cを含めると、必ずDも囲まなければならないので不適当)

7c㎡の場合は、1以外に空欄を2つなので、

AB、AD、AE、BD、BE、CD、DE の(イ)=7通り、

8c㎡の場合は、1以外に空欄を3つなので、

ABD,ABE、ADE、ACD、BDE、BCD、CDE の7通り、

9c㎡の場合は、1以外に空欄を4つなので、

ABCD、ABDE、ACDE、BCDE の4通り、

10c㎡の場合は、ABCDE の1通り、

5c㎡の場合は、1通り、

合計、4+7+7+4+1+1=(ウ)=24通り

線対称な図形は、

5c㎡の1通りと、

6c㎡のBとEの2通りと、

7c㎡のBEの1通りで、1+2+1=(エ)=4通り

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2015年4月24日 (金)

Aはいくつか?(2004年算数オリンピック、トライアル問題より)

図1の中の数字に対して次のような操作をします。

①上下または左右のとなり合う2つの数を選ぶ。

②その2つの数字がどちらも1以上であれば、その両方に1をたすかひくかのどちらかをする。
その2つの数字がどちらか1つでも0であれば、その両方に1をたす。

以上の操作を何回か行ったところ図2のようになりました。Aに当てはまる数字を求めなさい。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2

問題の図を交互に白黒の市松模様にぬってみます。

操作は必ず隣り合う白と黒の2個の数字に、

1をたすかひくかしているので、

最初の図1の時の白マスの中の数字の和と

黒マスの中の数字の和との差は、

何回その操作をくり返しても変化しません。

その差は図1より、1×18-0×18=18 です。

図2もその差は18になるので、

(A+1×17)-18=18

A+17-18=18

A=19 となります。

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Aが負けない場合は?(2015年 聖和学院中学)

A、B、Cの3人がじゃんけんをしました。

Aがパーをだしたとき、Aが負けない場合は何通りですか?

2

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Aがパーで負けない場合は、

Bがパーのとき、Cはパーかグーの2通り、

Bがグーのとき、Cはパーかグーかチョキの3通り、

Bがチョキのとき、Cはグーの1通り、

合計、2+3+1=6通り

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ウの角の大きさは?(2015年 灘中学 1日目)

下の図の三角形ABCで,Aが中心でCを通る円と辺ABが点Dで交わり,

Bが中心でCを道る円と辺ABが点Eで交わっています。

アの角の大きさが22度,イの角の大きさが27度のとき,

ウの角の大きさは何度ですか。

4241

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----------------------------------------------------

4242

△EBCは二等辺三角形なので、

∠E=(180-22)÷2=79°

∠D=180-(27+79)=74°

△ADCも二等辺三角形なので、

∠A=∠ウ=180-74×2=32°

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2015年4月22日 (水)

3人が出した目は?(第5回算数オリンピック、ファイナル問題より)

3個のサイコロを同時にふって出た3つの数のうち、いちばん小さい数を除いて残りの2つの数の和が大きい方が勝ちというゲームを、まもる君、みちこさん、たけし君の3人でしました。
このゲームで1位がまもる君、2位がみちこさん、3位がたけし君でしたが、いちばん小さい数を除く前の3つのサイコロの出た数の和は、大きい順に、たけし君、みちこさん、まもる君でした。
それぞれ3人の出した、3つの数をすべて求めなさい。ただし,サイコロをふって出た数が③、③、③のような場合は3と3の2つの数の和を、③、③、④などの場合には3と4の2つの数の和を計算します。

Pfa010s Pfa020s Pfa021s

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----------------------------------------------------

ゲームの順位と、3個のサイコロの数字の和の大きい順が

逆順になることから、

大きい方の2個の数字の和は、

まもる>(→少なくとも1個少ない)みちこ

みちこ>(→少なくとも1個少ない)たけし

3個のサイコロの数字の和は、

まもる<(→少なくとも1個多い)みちこ

みちこ<(→少なくとも1個多い)たけし

このことから、除いた1個のサイコロの数字は、

まもる<(→少なくとも2個多い)みちこ

みちこ<(→少なくとも2個多い)たけし

となり、たけしの「除いた1個のサイコロの数字」は5か6です。

しかし、6だとたけしの3個のサイコロの数字は(6,6,6)となり、

たけしが1位になってしまいます。

このため,「除いた1個のサイコロの数字」は、

たけし→5、みちこ→3、まもる→1とわかります。

これにより,たけしの3個のサイコロの数字は、

(5,5,5)か(5,5,6)か(5,6,6)が考えられますが,

たけしが3位となるためには,

少なくとも「大きい2個の数字の和」が,

まもる→6+6=12、

みちこ→6+5=11、

たけし→5+5=10 でなくてはならないので、

まもる→(1,6,6),みちこ→(3,5,6),たけし→(5,5,5)

ときまります。

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この町の人口は?(2015年 山手学院中学)

A町、B町、C町の3つの町の人口について、次のようなことかわかっています。

①3つの町の人口の合計は6500人です。

②A町の人口はB町の人口より180人少ないです。

③A町の女性の人口はA町の男性の人口より112人多いです。

④A町の男性の人口はC町の男性の人口の1.5倍です。

⑤C町の女性の人口はB町の女性の人口の8割です。

⑥B町の口は2440人です。

Ilm11_ac02016s


(1)A町の女性の人口は何人ですか?

(2)C町の男性の人口と女性の人口はどちらが何人多いですか?

(3)B町の男性の人口は何人ですか?

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①より、A+B+C=6500

②、⑥より、A=2440-180=2260

C=6500-(2440+2260)=1800

③より、A男=(2260-112)÷2=1074

(1)A女性=1074+112=1186人

④より、C男=1074÷1.5=716

C女=1800-716=1084

(2)女性の方が、1084-716=368人多い。

⑤より、B女=1084÷0.8=1355

(3)B男性=2440-1355=1085人

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どの辺を切り開けばよいか?(2015年 東京学芸大学附属竹早中学)

図1は立方体の見取図です。

この立方体の辺を切り開いて、図2のような展開図にするとき、

どの辺を切り開けばよいですか。切り開く辺に○をつけてください。

ただし、図1、図2の「竹」の字の向きが合うように切り開くものとします。

4221
4222

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図のように、A~Gの7箇所の辺を切ります。

4223

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2015年4月21日 (火)

子供らしい柔軟な発想で!(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

図の四角形ABCDはAB=BC=CDで、角B=168゜、角C=108゜です。角Dは何度ですか?

1_2

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AB=BEとなる線分BEで、角Bを60゜と108゜に分けると、

△ABEは正三角形になります。

2_2

EからBEと同じ長さの線分で、内角を108゜になるように、

線を結んでいくと、正五角形が作図できます。

3_3 

BEを共有する正三角形ABEと正五角形BCDFEは、

両方とも線対称の図形で、

ADはこの2つの図形の対称軸になります。

したがって、角CDA=角CDF÷2=108÷2=54゜

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長さと面積は?(2015年 中央大学附属横浜中学)

図のような正方形ABCDがあります。

点Eは対角線ACをを3等分する点のうち、Aに近い方の点です。

EFはADと平行で、FDはBEと平行です。

また、三角形ABEの面積は24c㎡です。

このとき、次の問いに答えなさい。

4211

(1)ABの長さは何cmですか。

(2)EFの長さは何cmですか。

(3)CとFを結んでそのままのぱした直線と、BEをのばした直線が交わる点をPとします。三角形PEFの面積は何c㎡ですか。

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(1)図のように、△ABEは△緑と△水色と等しいので、

正方形の1/6になります。

4212

正方形の面積は、24×6=144c㎡なので、

144=12×12より、AB=12cm

(2)△緑と△黄は相似で、高さは2:1なので、底辺の比も②:①です。

4213

△水色は△ACDと相似で、相似比は1:3

したがって、正方形の1辺は②×3=⑥=12cmとなるので、

EF=⑥-③=③=6cm です。

(3)

4214

△PBCと△PEFは相似で、底辺の長さが12:6より、

相似比は2:1なので、PG=EHとなります。

EH=12×2/3=8cm=PG なので、

△PEFの面積=6×8÷2=24c㎡

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2015年4月20日 (月)

白い立方体の数はいくつ?(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

白色と赤色の同じ大きさの小さな立方体がたくさんあります。これらの小さな立方体をいくつか使って大きな立方体を作ると、大きな立方体の対角線(図のAG、BH、CE、DFの直線)上の小さな立方体はすべて赤色でその他はすべて白色でした。赤色の小さな立方体の数が49個のとき、白色の小さな立方体の数はいくつありますか。

1_2

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赤立方体が、対角線上にどのようこ並ぶかを考えます。

2_2
大きな立方体が、

1辺が3個の小立方体でできていれば(図1)、

対角線上に並ぶ小立方体は、1つの対角線で3個

したがって、合計は3個×4(対角線の数)=12個から、

各対角線が共有する中央の1個を3個分引き、

12- 3 =9で、9個になります。

1辺が4個でできている場合(図2)には、

対角線上に4個並び、合計は4×4=16(個)、

この場合は中央で共有する小立方体はないので、

16個がそのまま合計になります。

つまり、大きな立方体の1辺が、奇数個の小立方体なら、

対角線上に並ぶ小さな立方体の個数は、

1辺の個数(奇数)×4-3で奇数に、

また1辺が偶数個の場合は、

1辺の個数(偶数)×4で偶数になります。

したがって、赤立方体が奇数の49個あるということは、

各対角線上の個数の合計より3個少ないので、

1つの対角線上にある個数は、

(49+3)÷4=13個

立方体の対角線上にある個数=立方体の1辺にある個数なので、

小立方体の総数は、

13×13×13=2197個

白立方体=2197ー49=2148個。

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斜線部分の面積の合計は?(2015年 青稜中学)

1辺が2㎝の正方形を7つ並べて、下の図のようなひし形を作るとき、

斜線部分の面積の合計は何c㎡ですか。

4211

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図のように、△赤と△黄と△緑はみな相似の直角三角形で、

底辺:高さ=1:2 になります。

4212

斜線部の面積=△赤×4+△黄×4+△緑×4

=2×4÷2×4+1×2÷2×4+1/2×1÷2×4

=16+4+1

=21c㎡

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2015年4月19日 (日)

Aはいくつ? (麻布中学 2005年)

12にある数Aを次々に加えていくと、

12、12+A、12+A+A、・・・・・・

このような数ができます。

これらの数の一の位を四捨五入すると順に、

10、(ア)、40、50、70、(イ)、・・・・・・

となります。

Aはいくつでしょうか? 

(ア)と(イ)に入る数はいくつですか?

Apa0107s

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40は、35~44のどれかだったので、Aは

(35-12)÷2=11.5←整数ではないので不適当

35~44の偶数なので、

(36-12)÷2=12

(38-12)÷2=13

(40-12)÷2=14

(42-12)÷2=15

(44-12)÷2=16

のどれかです。

50は、45~54までなので、

12のとき、12+12×3=48

13のとき、12+13×3=51

14のとき、12+14×3=54

15のとき、12+15×3=57

16のとき、12+16×3=60

よって、12か13か14

70は、65~74までなので、

12のとき、12+12×4=60

13のとき、12+13×4=64

14のとき、12+14×4=68

よって、A=14

アは、12+14=26なので、30

イは、12+14×5=82なので、80

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9個の面積の和は?(2015年 明治大学付属中野中学)

図のように,面積が36c㎡の正三角形9個を並べて,台形ABCDを作りまし.た。

また,AB上にAP:PB=1:5となる点Pをとり,点Cと給ぴました。

色のついた9個の三角形の面積の和は何c㎡ですか。

4191

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図のように、赤い三角形はみな相似になり、辺の比は青の数字です。

4192

黄色の9つ三角形もみな相似で、面積比は赤い数字です。

合計は、1×2+4×2+9×2+16×2+25=85

緑の三角形の面積比は、25×1/5=5なので、

正三角形の面積比は、25+5=30 です。

30が36c㎡の相当するので、85は

36×85/30=102c㎡

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2015年4月18日 (土)

感覚的には難しそうですが・・・(第7回ジュニア算数オリンピック、トライアルより)

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細長い長方形の紙を半分に折ろうとしたら、2cmずれていました。ちゃんと半分に折りなおそうともう一度折ったら、こんどは逆方向に3cmずれていました.さてこのときできた2つの折り目の間は何cmですか。

1_2 

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図のように、2回目の等しい部分を①とすると、

全体の長さは②+3cm、

1回目の等しい部分は、

(②+3cm-2cm)÷2=①+0.5cm になります。

2

2回目の折り目までの長さは、①+3cm なので、

折り目の間は、(①+3cm)ー(①+0.5cm)=2.5cm です。

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色部分の面積は?(ラ・サール中学 2011年)

面積が3c㎡の正三角形を図のように3つ並べました。

点Aは辺の真ん中にあります。

黄色部分の面積は何c㎡ですか?

P4181

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P4182

△赤と△緑は相似で、相似比は2:1

CD=1とすると、正三角形の1辺は4になるので、BC=3

△青と△水色も相似で、相似比は1:2

△青の面積を①とすると、

△BCE=③、△BEF=(①+③)×2=⑧

正三角形=⑫=3c㎡ なので、

黄色部分=⑪=3×⑪/⑫=33/12=2と3/4c㎡

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残る三角形の面積は?(2015年 桐朋中学)

下の図で、四角形ABCDは長方形です。

三角形ABEの面積は19c㎡、三角形AEDの面積は13c㎡、

三角形EBCの面積は17c㎡です。

三角形DECの面積は何c㎡ですか。

4181

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図のように、Eを通る向かい合う辺に平行な線で長方形を分けると、

4182

ア+イ=19、ウ+エ=13、キ+ク=17

イ=ウ、ア=ク なので、

ウ+エ+キ+ク=13+17=30=ア+イ+エ+キ

エ+キ=30-19=11

エ+キ=オ+カ なので、

△DEC=11c㎡

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2015年4月17日 (金)

各記号に当てはまる数は?(第6回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

下の計算の□、△、●、◎はそれぞれことなる0~9の整数のどれかをあらわし、同じ記号は同じ数をあらわしています。
たとえば□△●◎は、千の位が□、百の位が△、十の位が●、一の位が◎の4けたの整数です。それぞれの記号にあてはまる数を答えなさい。

1

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□が2だとすると、△は7か8で、くり上がるので、

□=2ではなく、まず□=1が決まります。

次に△は8か9となりますが、

十の位は△=9のとき●=Oとなり、

しかも一の位の計算では△+●+◎=2にならなければならず、

1くり上がるので、条件に合いません。

このことから△=8とわかります。

一の位の計算からは、十の位へくり上がるので、

□=1、△=8より●=Oと決まります。

以上から、△+●+◎=12となり、◎=4とわかります。

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正六角形の面積の何倍?(2015年 帝京大学中学)

図のような正六角形ABCDEFがあり,辺AFの真ん中の点をMとします。

三角形CEMの面積は正六角形ABCDEFの面積の何倍ですか。

417

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正六角形の中心をOとすると、

△緑は正六角形の1/6、△黄はその1/2で1/12

4172_2

△赤は、(1/2-1/6)÷2=1/6

△CEM=1-(1/6×2+1/12+1/6)=5/12 となり、

5/12 倍になります。

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一筆書きする方法は何通り?(2015年 千葉日本大学第一中学)

下の図で、Pから出発して一筆書きする方法は何通りあるでしょうか?

P4171

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書き方は、①Pを出発してQへ、②QからPへ、③PからQへ、④QからPへ

となるので、

①は4通り、②は3通り、③は2通り、④は1通り

したがって、4×3×2×1=24通り

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2015年4月16日 (木)

頭の中だけで解けたら天才!(第5回算数オリンピック、トライアル問題より)

193人の人が横一列に並んですわっています。まず、まん中の1人が立ちあがりました。そこからは、次のルールでみんな立ったりすわったりします。

① となりの人が立ちあがってから、1秒後に、自分も立ちあがります。

② 立ちあがったら、1秒後にすわります。

③ ただし、両どなりの人が同時に立ちあがった場合は、1秒たっても自分はすわったままでいます。

(1)最初の1人が立ちあがってから8秒後に、何人が立ちあがりますか。

(2)96秒後には何人が立ちあがりますか。

Ilm06_ca07058s

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1

(1)この図で8秒後まで調べると、立っている人は2人

(2)この図から、規則性を考えると、

立っている人は2秒後に2人、4秒後に2人、8秒後に2人・・・

同じく、3秒後に4人、6秒後に4人・・・

つまり時間が2倍になるごとに、同じ人数が立っています。

そこで96秒を2分の1ずつにしていくと、

96→48→24→12→6→3

したがって96秒後に立っている人は、3秒後と同じ4人

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晴れ?曇?雨?(浦和明の星女子中学 2005年)

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明子さんが昨年の3月の天気を晴れ,曇り,雨の3種類に分けで記録したところ,

次のこをが分かりました。

416
①3月1日と3月2日は共に晴れでした。

②晴れた日の4日後は必ず晴れでした。

③3日間同じ天気は続きませんでした。

④晴れた日の前の日は、晴れか曇りでした。

⑤晴れた日の次の日が雨だった日は4日ありました。

(1)3月28日、29日、30日、31日の天気は、それぞれ次のうちのどれですか?

(ア)晴れ、(イ)曇り、(ウ)雨、(エ)晴れか曇り、(オ)晴れか雨、

(カ)曇りか雨、(キ)晴れか曇りか雨かわからない

(2)3月の曇りの日は何日ありましたか?

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晴れと曇りを条件どおりに書き込んでみます。

4162

28日は曇り、29日と30日は晴れ、

31日は晴れ以外なので、曇りか雨です。

曇りか雨かわからない日が8日あり、そのうち4日が雨なので、

曇りの日は、7+4=11日です。

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2015年4月15日 (水)

重なった部分の面積は?(2007年算数オリンピック、トライアル問題より)

同じ大きさの2つの正方形がぴったり重なっています。いま点Pを中心に片方の正方形を回転させたら図2のようになりました。

AB=5cm,BC=13cm,CA=12cm  のとき図2の2つの正方形の重なっている部分の面積を求めなさい。

1_2

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2

点Pで回転させると、図形の対称性から、

もとの正方形からはみ出した4個の直角三角形は、

すべて合同になります。

これにより、正方形の一辺の長さは5+13+12=30cmとわかり、

正方形の面積は、30×30=900c㎡

重なっている部分の面積は、

900-5×12÷2×4=780c㎡

となります。

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横の長さは何cm?(2015年 十文字中学)

長さ3mの針金を折り曲げて、長方形をつくったところ、

縦の長さは、横の長さより10cm長くなりました。

横の長さは何cmですか?

Cocolog_oekaki_2015_04_15_08_36

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縦の長い分、10×2=20cm を引くと、4辺はすべて横と同じ長さになります。

(300-20)÷4=70cm

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どの数字を打ちまちがえた?(2015年 東京学芸大学附属世田谷中学)

2から9までの1けたの数を使って電卓でかけ算をしました。

2×3×6×8×9×7×5×2×5を計算しようと思っていましたが、

1つの数字を電卓で打ちまちがえてしまい、積が680400となりました。

どの数字を、2から9までのどの1けたの数字と打ちまちがえましたか。

Calculator168360_640

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2×2×5×5=100、

3×6×8×9×7=9072 なので、

9072が6804の何倍になったのか調べます。

9072/6804を約分していきますが、

すべての桁の和が9で割り切れるときは9の倍数なので、

分子分母を9で割って、1008/756、

さらに9で割って、112/84、

14で割って、8/6

4/3倍になっていることがわかります。

3、6、8、9、7のうち4/3で割って整数になるのは8だけなので、

8÷4/3=6

8を6と打ちまちがえました。

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2015年4月14日 (火)

9枚のカードの和は?(第10回算数オリンピック、トライアル問題より)

数字の5、9、17が書かれたカードがそれぞれ10枚ずつ合計30枚あります。 今、この30枚の中から適当に9枚のカードをとりだしてその和を計算しました。この9枚のカードの和として考えられる数は下の(ア)~(エ)のうちどれですか。記号で答えなさい。

(ア)90(イ)95(ウ)100(エ)105

Bo4

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----------------------------------------------------

5,9,17はすべて奇数なので,奇数9個の和は奇数となります。

したがって,答えは(イ)95か(エ)105です。

5をx枚,9をy枚,17をz枚として,面積図を書くと

1

(イ)95の場合,白い部分の面積の和は,

95-5×9=50 ですが

4×y+12×z=50 の条件に合うy,zは存在しません。

(エ)105の場合,白い部分の面積の和は,

105-5×9=60 で

4×y十12×z=60より,

(y,z)=(0,5),(3,4),(6,3),(9,2)

(x,y,zはすべて10以下)

x+y+z=9より,条件にあてはまるのは,

(x,y,z)=(4,0,5),(2,3,4),(0,6,3) となるので

求める答は(エ)105です。

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100になるのは?(2015年 芝浦工業大学中学)

A◎B=A×A×B×Bと計算するとします。

例えば、1◎2=1××2×2=4です。

A◎B=1 0 0 になるようなAとBの組をすべてあげてください。

ただし、2◎3と3◎2は異なるものとみなします。

Hpsd1201cs

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100=2×2×5×5 なので、

2◎5=2×2×5×5=100

5◎2=5×5×2×2=100

1◎10=1×1×10×10=100

10◎1=10×10×1×1=100

この4通り

ほかにもあるでしょうか?◎?

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鍵が外れる数字は?(2015年 東海大学付属浦安高等学校中等部)

4つの数字をあわせるダイヤル式の鍵があります。

それぞれのダイヤルには0~9の数字が書かれています。

図1は,ダイヤルが8301となっています。

414

A~Dの数が,次の条件①~⑤をすべてみたすと,鍵がはずれます。

①AとBとCとDの和は12です。

②AとBとCの和はDに等しくなります。

③AとBの積はCとDの積と等しくなります。

④図1の状態で,すでに1つの数字はあっています。

⑤AとBとCとDはすべて異なります。

①~⑤より,鍵がはずれた時の4つの数字はいくつですか。

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----------------------------------------------------

A+B+C+D=12

A+B+C=D なので、

D+D=12 

D=6

A+B+C=6 より、

A、B、Cは、1と2と3の組み合わせになります。

A×B=C×6 なので、

C=1

AとBは2か3ですが、

④よりB=3 で、A=2となり、

4つの数字、2316 で鍵がはずれます。

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2015年4月13日 (月)

十の位と一の位の和は?(第12回算数オリンピック、トライアル問題より)

10個の連続する2けたの整数があります。これら10個の数字を小さい順にならべた後、それぞれの2けたの2つの数字の和(十の位と一の位の和)を求めると、n番目の和は必ずnの倍数になっていることがわかりました。(例えば、3番目に小さい数の十の位と一の位の和は3の倍数となっている。)
このような10個の連続する2けたの整数のうち最大の整数の十の位と一の位の数字の和を求めなさい。

Apf0107s

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----------------------------------------------------

2桁の数のそれぞれの位の和は最大で99の18

最小は10の1です。

最大の10番目は10の倍数のなので、

1~18の中で10の倍数は10しかありません。

該当する10個は、

10,11,12,13,14,15,16,17,18,19

19,20,21,22,23,24,25,26,27,28

いずれも1+9=10、2+8=10 になります。

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正三角形は何通り?(聖光学院中学 2014年)

下の図の立方体ABCD-EFGHの各辺の真ん中の点は全部で12個あります。

この12個の点から3個の点を選んで三角形をつくるとき、

正三角形になるような点の選び方は、全部で何通りありますか?

P4131

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図のような小さい正三角形が8通り、

P4132_2

図のような大きい正三角形が8通り、

P4133

全部で16通りです。

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面積と周の長さは?(湘南学園中学 2014年)

次の図は、対角鎔が10cmの長方形を、点Aの周りに45°回転させた図です。

図の斜線部分の面積と周の長さを求めなさい。

ただし、円周率は3.14とします。

413

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

斜線部分は、全体から長方形を引けばいいわけですが、

図のように、全体から長方形(直角三角形2つ分)を引くと、

黄色部分のおうぎ形になります。

4132

中心角は対角線の回転した角度ですから45°

したがって面積は、

10×10×3.14×1/8=39.25c㎡

周の長さは、

(6+8)×2+20×3.14×1/8=35.85cm

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2015年4月12日 (日)

漢字の間違いはいくつある?(第5回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

漢字のまちがいだらけの作文があります。この作文の中から一郎は47個、二郎は39個、三郎は58個のまちがいを見つけました。また、この3人が共通で見つけたまちがいの数は23個でした。この作文のまちがいはすべてこの3人が見つけたとすると、この作文には最も多い場合で何個のまちがいがありますか。

Sli068s

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----------------------------------------------------

3人が共通して見つけたまちがいが23個ということは、

一郎が見つけた47個のうち残りの47-23=24は

一郎だけが見つけたか、

一郎と二郎が見つけたか、

または一郎と三郎が見つけたかのどれかになります。

同様に、二郎が見つけた39個のうちの残りの39-23=16も

二郎だけが見つけたか、

二郎と一郎が見つけたか、

二郎と三郎が見つけたかのどれかになり、

三郎の見つけた58個の残りの58-23=35も

同じように考えることができます。

まちがいの最も多い場合は、

それぞれの残りの数が自分だけが見つけて

他の2人が見つけていなかった場合なので、

3人が共通に見つけた23個と、

その他の一郎の24個、二郎の16個、三郎の35個の和になり、

23+24+16+35=98個が最多個数です。

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□が△より大きい式は?(2015年 共立女子中学)

□,△は2つとも0よりも大きい数です。

次のア~オの式の中で,□が△よりも必ず大きいといえるものはどれですか?

Ilm18_be04012s

ア、 □+△=100

イ、 □+2=△-5

ウ、 □×0.1=△÷0.1

エ、 □÷△=0.1

オ、 (1/□)÷(1/△)=2:3   

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

アは、どちらが大きいかわからないので、→×

イは、□+7=△で、必ず△が大きくなり、→×

ウは、□=△×100で、必ず□が大きくなり、→○

エは、□/△=1/10で、必ず△が大きくなり、→×

オは、△:□=2:3で、必ず□が大きくなり、→○

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かくれることのできる範囲は?(2015年 浅野中学)

A君とB君は[図4]のような1辺の長さが1mの正方形のタイルで敷き詰められた部屋の中でかくれんぼをしました。

[図4]の白い部分は床、色の塗られた部分は柱です。

ただし、A君、B君の位置は点で表し、大きさは考えないものとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

4121

(1)A君がP地点にいるとき、

   A君からB君が見つからない場所の範囲の面積は何c㎡ですか。

(2)同じ部屋で[図5]のように、斜線を引いた正方形のどこにA君がいても、

   A君からB君が見つからない場所の範囲の面積は何c㎡ですか。

4122

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)左上の柱でかくれることのできる範囲は図の黄色部分です。

4123

黄色部分は2つの台形からなっているので、

面積は、(1+2)×3÷2×2=9c㎡

4すみとも同じ面積なので、

9×4=36c㎡

(2)ひとすみで考えると、図の赤い重なった部分です。

4124

赤い部分は2つの三角形からなっているので、

面積は、1×2÷2×2=2c㎡

4すみとも同じ面積なので、

2×4=8c㎡

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2015年4月11日 (土)

シンプルですが、考え方が難しい!(2007年算数オリンピック、トライアル問題より)

長方形ABCDの面積を求めなさい。ただし長方形の中の24個の□はすべて1辺が1cmの正方形です。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2

EF、GH、IJを結ぶと、四角形が4つできます。

△緑と△黄、△黒と△水色は相似な直角三角形なので、

∠○+∠□=90゜になり、

四角形EGHFも四角形AEFDも長方形になります。

同様に、四角形GIJH、四角形IBCJも長方形です。

△赤は長方形AEFDの1/2なので、

長方形AEFD=2×4÷2×2=8c㎡

長方形IBCJ=8c㎡

長方形EGHF=長方形GIJH=5×2÷2×2=10c㎡

長方形ABCD=8×2+10×2=36c㎡

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動いた道のりは?面積は?(2015年 雙葉中学)

1辺が3cmの正三角形があります。その面積は3.89c㎡です。円周率は3.14です。

この正三角形が図のように、1辺が3cmの正六角形の辺にそって、

アの位置から矢印の向きにすべらずに回転しながら1周し、

元の位置にもどりました。

頂点Pが動いた道のりは何cmですか。

また、頂点Pのえがいた曲線で囲まれた図形の面積は何c㎡ですか。

4111

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

点Pは図のような軌跡で1周します。

4112

長さは直径6cmの円2周分なので、

6×3.14×2=37.68cm

黄色部分は正三角形が8個入っているので、

軌跡で囲まれた面積は、

3×3×3.14×2+3.89×8=87.64c㎡

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2015年4月10日 (金)

斜線細分の面積は?(2015年 逗子開成中学)

下の図のような,半径が6cm,中心角が90°のおうぎ形OABがあります。

このおうぎ形の曲線の上に点P,Qをとって、

点P,Qから辺OAに垂直になるように引いた直線と辺OAが交わる点を

それぞれR,Sとします。

三角形OPRと三角形QOSは合同な三角形であり,

三角形OPAが正三角形になるとき,斜線細分の面積を求めなさい。

ただし,円周率は3.14とします。

4101

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

下図の黄色部分は共通なので、緑部分は等しくなります。

4102

したがって、斜線部分はおうぎ形OPQと等しくなります。

角POA=60°、角OPR=角QOS=30°なので、角POQ=30°

斜線部分の面積=6×6×3.14×30/360=3×3.14=9.42c㎡

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石は何個?何番目?(2015年 実践女子学園中学)

下のように,規則的lニ石を並べていきます。

P410

①62番目には石が全部で何個ありますか?

②一番外側に並んだ石の数か192個になるのは、何番目ですか?

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

①石の数は全部で、

1番目は、2×2=4個

2番目は、3×3=9個

3番目は、4×4=16個

4番目は、5×5=25個

・・・・・・

62番目は、63×63=3969個

②外側に並んだ石の数は、

1番目は、1×4=4個

2番目は、2×4=8個

3番目は、3×4=12個

4番目は、4×4=16個

・・・・・

192÷4=48番目

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2015年4月 9日 (木)

最大何km走れるか?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

4台の全く同じ性能の車があります。どの車もタンクいっぱいに同じ量のガソリンを入れると最大12 km  走行でき、また他の車に自分の車のガソリンの一部または全部を分けて移すこともできますが、ガソリンタンクが空になった車はそこで動けなくなります。
今、この4台の車をタンクいっぱいにガソリンを入れて同じ場所から同時に出発させ、途中でおたがいにうまくガソリンを補給し合いながら4台のうちの1台がなるべく長い距離を走れるようにすると、最大何km走ることができますか。

Trp1012s

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----------------------------------------------------

同時に走行する車が多いほどガソリンが早く消費されてしまうので、

最後に残す1台以外の車をなるべく早く脱落させるように、

その車に残っているガソリンを、

すべて他の車に移しかえていく方法をとります。

脱落車の残りのガソリンが他のすべての車のタンクを

ちょうどいっぱいにさせられる地点で

順に1台ずつ脱落させていくことを考えます。

1台目を脱落させる地点は、

3台残るので、脱落車のガソリンの残量が

他の車の消費済み量の3倍になる、

全車1/4を消費し、3/4残っている地点で、

12÷4=3km 進んだ地点。

2台目を脱落させる地点は、

2台残るので、脱落車のガソリンの残量が

他の車の消費済み量の2倍になる、

全車1/3を消費し、2/3残っている地点で、

12÷3=4km 進んだ地点。

3台目を脱落させる地点は、

1台残るので、脱落車のガソリンの残量が

他の車の消費済み量と同じになる、

全車1/2を消費し、1/2残っている地点で、

12÷2=6km 進んだ地点。

最後の1台は満タンで12km進むので、

合計、3+4+6+12=25km

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立体を何個組み合わせた図形に?(2015年 立教新座中学)

図は、すべて1辺が1cmの立体の展開図です。

立体を組み立てたとき、

図3の立体は、図1と図2の立体をそれぞれ何個合わせた立体になりますか。

409

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図3の立体を組み立てると、

横から見ると、

Capture_2015_04_09_08_16_17_796

下から見ると、

Capture_2015_04_09_08_16_34_609

上から見ると、

Capture_2015_04_09_08_17_22_453

三角すいと四角すいの底面を基準に数えると、

図1の立体が4つ、図2の立体が3つです。

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2015年4月 8日 (水)

できるだけ安く買うには?(2015年 昭和女子大学付属昭和中学)

1Lで9.6㎡の面積を塗ることができるペンキがあります。

1.6L入り1缶の値段は2000円で、300mL入り1缶の値段は420円です。

100㎡の壁をすべてこのペンキで塗るために1.6Lと300mLの缶を組み合わせて、

できるだけ安くペンキを買おうと思います。

(1)1.6L入りの缶を、何缶買えばよいですか。

(2)代金の合計はいくらですか。

Ilm05_cb08010s

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必要なペンキの量は、100÷9.6=10.4・・・・・L

1.6L缶の方が割安なので、できるだけ多く買うことを考えます。

10.4÷1.6=6.5 より6缶です。

1.6×6=9.6L なので、

残り、10.4・・・・-9.6=0.8・・・・・・L

300mL缶が3つ必要になります。

合計金額は、2000×6+420×3=13260円

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2015年4月 7日 (火)

何角形をいくつに分けたのか?(第7回算数オリンピック、ファイナル問題より)

ある1つの多角形を何本かの直線で切りはなし、いくつかの多角形に分けました。すると、分けてできた多角形の辺の数の合計は、もとの多角形の辺の数より13本多く、内角の合計はもとの多角形の内角の和の1.3倍になりました。もとの多角形は何角形でしたか。また、それをいくつに分けましたか。

Cocolog_oekaki_2013_10_29_10_20

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多角形を直線にそって切り分けると、

多角形が1つふえるたびに、辺の総数は、

直線が2頂点をとおる場合……2本ふえる

直線が1頂点をとおる場合……3本ふえる

直線が頂点をとおらない場合…4本ふえる

仮に4個の多角形に切り分けた場合、

多角形は3個増えますが、辺の数は最多でも4×3で、

12本しか増えません。

また8個の多角形に切り分けた場合、最少でも2×7で、

14本増えてしまいます。

したがって、切り分けられた多角形の数は5、6、7個のいずれか

一方、多角形の内角の総和は、

180゜×(辺の数一2)なので、その増加分は、

① 5個に切り分けた場合は、

180゜×(13-2×(5-1))=180゜×5

② 6個に切り分けた場合は、

180゜×(13-2×(6-1))=180゜×3

③ 7個に切り分けた場合は、

180゜×(13-2×(7-1))=180゜×1

多角形の内角の総和は180゜単位でしかふえないので、

増加して1.3倍になるには、

②の6個に切り分けた場合しかありません。

そこで、もとの多角形の内角の和は180゜×10、

そのような多角形の辺の数は10+2で、12角形。

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立体の体積は?(2015年 大宮開成中学)

図のような平行四辺形を短い方の対角線を軸として1回転させた立体の体積は

何立方cmですか。ただし、円周率は3.14とします。

4071

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回転させると図のような円すい台を2つ重ねた立体になります。

Capture_2015_04_07_07_58_13_156

真ん中の重なった部分の円の半径は、相似比より1.5cm

体積=(3×3×3.14×6÷3-1.5×1.5×3.14×3÷3)×2

=(18×3.14-2.25×3.14)×2

=15.75×3.14×2

=98.91立法cm

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2015年4月 6日 (月)

クラスの人数は?(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

カトウ、サトノ、ヒラタ、ヤマダの4人の生徒がいるクラスの出席番号は、名字の50音順(アイウエオ順)に1番からついています。クラスには同じ名字の生徒はいません。
(1)~(4)のヒントをもとにこのクラスの人数を答えてください。

(1)クラスの人数は60人以下で、ヒラタの番号は42番。

(2)カトウよリ番号の小さな生徒の数は、ヤマダより番号の大きな生徒の数と同数。

(3)カトウもヤマダも番号は3の倍数。

(4)サトノより番号の大きな生徒の数は、サトノより番号の小さな生徒の数の3倍。

Pog007s

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ヒラタの番号が42(ヒント1)で、

その後ろのヤマダの番号が3の倍数(ヒント3)だから、

クラスの人数は、42より大きい3の倍数である45人より多く、

さらに、クラスの人数は4の倍数+1(ヒント4)で、

60人以下(ヒント1)なのだから、

49人、53人、57人のどれかになります。

カトウの前とヤマダの後ろの人数が同じ(ヒント2)で、

2人の番号が3の倍数(ヒント3)なので、

クラスの人数は3の倍数-1、

先の3つの数字、49人、53人、57人のうち、

これに当てはまるのは53人だけです。

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年齢は何歳?(2015年 芝浦工業大学柏中学)

Aさん,Bさん,Cさん,Dさんの4人が,それぞれ次のように話しました。

   Aさん「私以外の3人の年齢を合わせると,103歳になる。」

   Bさん「私以外の3人の年齢を合わせると,106歳になる。」

   Cさん「私以外の3人の年齢を合わせると,109歳になる。」

   Dさん「私以外の3人の年齢を合わせると,75歳になる。」

4人の年齢はそれぞれ何歳ですか?

Pce022s

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全部たすと、1人が3回計算されています。

103+106+109+75=393

したがって、A+B+C+D=393÷3=131歳

A=131-103=28歳

B=131-106=25歳

C=131-109=22歳

D=131-75=56歳

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時間と距離は?(2015年 工学院大学附属中学)

太郎くんと花子さんは、同時にA地を出発して、B地に向かいました。

花子さんは、はじめに時速4kmで歩き、途中から時速60kmのタクシーに乗りました。

太郎くんは時速20kmの自転車で行きました。

B地へは、花子さんが太郎くんより10分早く着きました。

グラフはそのときの様子を表したものです。このとき、次の問いに答えなさい。

406

(1)花子さんは、A地を出発してから何分後にタクシーに乗りましたか。

(2)太郎くんが花子さんに追いぬかれるのはA地から何kmのところですか。

(3)A地からB地までは何kmありますか。

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----------------------------------------------------

4062

(1)A地から3kmのところなので、

ア=3km÷時速4km=3/4時間=45分

(2)45分=3/4時間で自転車は、時速20km×3/4時間=15km進みます。

花子と太郎の差は15-3=12km なので、

追いつく時間は、12km÷(60-20)=3/10時間=18分

ア~イが18分なので、スタートから45+18=1時間3分です。

エ=時速20km×1時間3分=21km

(3)10分間で自転車は、時速20km×1/6時間=10/3km進むので、

花子がB地に着いたとき、オ=10/3kmの差がついていたことになります。

エから同時にスタートして10/3kmの差がつく時間を(カ)とすると、

60×カ-20×カ=10/3

カ=10/3÷40=1/12時間=5分

15分間に自転車は、時速20km×1/4時間=5km進むので、

AB間の距離は、21+5=26kmです。

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2015年4月 5日 (日)

おじいちゃんの家までどれくらい?(2007年算数オリンピック、トライアル問題より)

下の会話は父と子が一緒に歩きながらのものです。よく読んで問いに答えてください。

子:おとうさん、ぼくたちの家からもうどのくらい歩いた?

父:そうだな、ここからおじいちゃんの家に行く途中にコンビニAがあるけど、わたしたちが今ままで家から歩いた距離は、ここからそのコンビニAまでのちょうど半分の距離だよ。

   ……父と子はそこからさらに1km歩いた……

子:もう疲れたよ、ここからおじいちゃんの家まであとどれくらいあるの?

父:がんばれもうすぐだぞ、さっき通り過ぎたコンビニAからここまでのちょうど半分の距離さ。

さて、この父と子の家からおじいちゃんの家まではどのくらいの距離ですか?

Ilm08_ba07001s

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最初の会話の地点をB地点、次の会話の地点をC地点、

家からB地点までの距離を①、

C地点からおじいちゃんの家までの距離をとすると、

家からコンビニAまでの距離は③、

コンビニAからおじいちゃんの家までの距離はとして、

線分図に表すと、次のようになります。

1_2

②+=1kmで、

家からおじいちゃんの家までの距離が③+なので、

求める距離は、1÷2×3=1.5km

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2015年4月 3日 (金)

60点以上は何人か?(第10回算数オリンピック、ファイナル問題より)

ある年の算数オリンピックの決勝戦で、全参加者の得点の合計は8640点て、80点以上は1位92点、2位85点、3位は81点の3人だけで、最低点は25点でした。この決勝大会ではそれぞれの得点において同点の人は3人までしかいませんでした。この大会で60点以上は上位3人を含めて少なくとも何人いるといえますか。

Sev065s

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25~79点の人の合計点は8640-(92+85+81)=8382点

25~79点の各得点がすべて3人ずついたときの合計点は

(25+79)×(79-25+1)÷2×3=8580点

超過分8580-8382=198(点)なので、

198点分だけ25~79点のうちから、

どこかの得点の人数を減らしていきますが、

「60点以上の人は少なくとも何人か?」との問題の主旨から、

60点以上の人を最大に減らすには、

198÷60=3あまり18、より、

60点以上の人を最大3人減らせます。

(例:68点の人を2人、62点の人を1人減らす、・・・など)

このことから、60点以上の人は80点以上の3人を合わせて、

少なくとも、

(79-60+1)×3-3+3=60人いるといえます。

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長方形の面積は?(2015年 春日部共栄中学)

図のように、形も大きさも同じ3つの長方形を並べました。

この長方形1つの面積は何c㎡ですか?

P4031

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図のように真ん中の黄色部分の四角形は正方形になります。

P4032

この正方形の1辺の長さを□とすると、

3+□=(12-□)÷2 なので、

2×(3+□)=12-□

6+2×□=12-□

3×□=6

□=2cm

長方形の面積=2×(3+2)=10c㎡

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正方形の面積の何倍?(2015年 鎌倉学園中学)

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図のような正方形ABCDがあります。

辺BCを2等分する点をEとするとき、

斜線部分の面積は、正方形ABCDの面積の何倍ですか。

4031

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図の△赤と△黄は相似で、相似比は2:1 です。

4032

AF:FE=2:1 なので、△緑:△黄の面積比も2:1

△(緑+黄)は正方形の1/4 なので、

△緑は正方形の 1/4×2/3=1/6

△ABGは正方形の1/4 なので、

△斜線は正方形の1/4-1/6=1/12

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2015年4月 2日 (木)

ピラミッドの影をなくすには?(2005年算数オリンピック、トライアル問題より)

図のようなピラミッドの模型があります。底面は1辺20cmの正方形で、ピラミッドの高さは15cmです。底面の辺BCの延長上、BF=40cmの点Fの真上に光源Pがあります。ピラミッドの影をなくすにはPの高さhを何cm以上にすればよいですか。

2_2

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真上から見た図1より、ピラミッドの頂点Aの影が、

辺CD上にきたとき、初めて影がなくなります。

この点をGとします。

このとき、BCの真ん中の点をMとすると、

AM⊥BCで、

FC:MC=60cm:10cm=6:1

3_2 

頂点Aの真下の点をHとすると、

このときの様子を横から見たのが図2です。

FG:HG=FC:MC=6:1より、

△PFGは△AHGと相似で、相似比は6:1です。

したがって、PF=h=AH×6=15×6=90cm

90cm以上の高さが必要です。

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赤玉は何個?(2015年 三輪田学園中学)

赤、黄、緑の3色の玉が合わせて1 6 0個あります。

赤玉と黄玉の個数の比は3:5で、

緑玉の個数は赤玉の個数の2倍より6個多くあります。

赤玉は何個ありますか。

Figures386706_640

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赤:黄:緑=③:⑤:(③×2+6) なので、

③+⑤+⑥=160-6=154個です。

154÷⑭=11個・・・・・・① ですから、

赤玉=11×③=33個 です。

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かかった時間の比は?(2015年 聖光学院中学)

一定の速さで流れる川の上流にあるP地点と下流にあるQ地点の間を,

静水時の速さの比が4:3である船A,Bで往復することを考えます。

聖さんは船Aに乗ってP地点からQ地点に行き,船Bに乗ってQ地点からP地点に戻りました。

光さんは船Bに乗ってP地点からQ地点に行き,船Aに乗ってQ地点からP地点に戻りました。

船Aの静水時の速さと川の旅れの速さの比が8:1であるとき,

聖さんが往復するのにかかった時間と光さんが往復するのにかかった時間の比を

最も簡単な整数比で答えなさい。

ただし,鉛を乗り換えるのにかかった時間は考えないものとします。

Cdm052s

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速さの比は、A:B=4:3=8:6 なので、流れの速さは 1 です。

聖さんはP→QまでAなので、速さは8+1=9

Q→PまでBなので、速さは6-1=5

光さんはP→QまでBなので、速さは6+1=7

Q→PまでAなので、速さは8-1=7

PQ間のキョリを1とすると、

聖さんのかかった時間は、1/9+1/5=14/45

光さんのかかった時間は、1/7+1/7=2/7

かかった時間の比は、

聖:光=14/45:2/7=98/315:90/315=98:90=49:45

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2015年4月 1日 (水)

いっぱいになる時間は?(第5回算数オリンピック、トライアル問題より)

雨がザーザーと同じようにま上からふっています。(図1)のような直方体の入れものをおくと、1時間で雨水がちょうどいっぱいになりました。下のア~オのそれぞれの入れものが雨水でちょうどいっぱいになるにはどれだけの時間がかかりますか?
(斜線の面がま上に向かってひらいている部分です。)

1_3

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斜線の面に対して、雨は1時間に10cmたまる量で降っています。

その面積は関係ないので、

アは1時間、イは3時間、オは2時間です。

問題はウとエですが、

ウは10×10の面に対し、

右に出っ張った部分を下にくっつけると、

深さが30cmになり、3時間になります。

エは下に出っ張った部分の面を10×20と考えると、

深さは10÷2=5cmになり、

全体の深さは15cmで、1.5時間になります。

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子どもは全部で何人?(2015年 女子学院中学)

お楽しみ会で子どもにりんご、みかん、かきの8種類のくだものを配ったら、

次の①~⑧のようになりました。

①全員がくだものを少なくとも1種類はもらいました。
②りんごとみかんだけをもらった人は9人います。
③りんごとみかんをもらった人は16人います。
④みかんとかきをもらった人は11人います。
⑤くだものをちょうど2種類もらった人は21人います。
⑥りんごだけをもらった人の数は、かきだけをもらった人の数の2倍です。
⑦りんごをもらわなかった人の数は、かきをもらわなかった人の数の半分です。
⑧みかんをもらわなかった人の数と、かきをもらわなかった人の数は同じです。

Ilm03_bc03001s

(1)3種類のくだものをもらった人は何人ですか?

(2)みかんをもらった人は何人ですか?

(3)子どもは全部で何人ですか?

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----------------------------------------------------

図のようにA~Gまで記号で分けて、①~⑧まで式で表してみます。

P401

②→B=9

③→B+G=16

④→D+G=11

⑤→B+D+F=21

⑥→A=2×E

⑦→C+D+E=1/2×(A+B+C)

⑧→A+E+F=A+B+C

(1)3種類のくだものをもらった人はGなので、

G=16-9=7人

(2)④より D=11-7=4人

⑤より F=21-(9+4)=8人

⑧より E+F=B+C なので、

E+8=C+9 → E=C+1・・・・・⑨

⑦より 2×(C+D+E)=A+B+C

2×(C+4+C+1)=2×E+9+C=2×(C+1)+C+9=3×C+11

4×C+10=3×C+11

C=1人

E=2人

A=4人

みかんをもらった人=B+C+D+G=9+1+4+7=21人

(3)

A+B+C+D+E+F+G=35人

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玉並びの規則性は?(2015年 十文字中学)

下の図のように白玉と黒玉が規則的に並んでいます。

401_3

(1)白玉が15個使われているのは何番目ですか。

(2)白玉と黒玉を合わせて121個の玉が使われているのは何番目ですか。

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----------------------------------------------------

(1)白玉の増え方は、

1番目→1、2番目→3、3番目→6、4番目→10、・・・・・

1番目から2番目は2個増え、

2番目から3番目は3個増え、

3番目から4番目は4個増え、

4番目から5番目は5個増えるので、10+5=15個になるので、

5番目です。

(2)

1番目の合計は1個

2番目の合計は、1+3=2×2=4個

3番目の合計は、1+3+5=3×3=9個

4番目の合計は、1+3+5+7=4×4=16個

○番目×○番目=使われている玉の数になるので、

121個は、11×11 なので、

11番目です。

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