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2015年3月 3日 (火)

ナイトは最後にどこへいったか?(第4回算数オリンピック、ファイナル問題より)

平ちゃんは、次のようなゲームをしています。

1.図1のように、たて5ます、横5ますの盤を用意し、右下のますにナイトの駒をのせ、残りのますに歩兵の駒を24個のせる。

2.ここから出発して、歩兵を取りながらナイトを進める。

1

3.ナイトは、図2のように、8つの方向のいずれかに進んで歩兵を取ることができる。

平ちゃんは、24回ナイトを進めることによって、すべての歩兵を取ることができました(つまり、ナイトは同じますに2回進むことはありませんでした)。
このとき、ナイトをそれぞれの方向に何回進めたかを示したものが図3です。ただし、□に入る数字はわかっていません。

さて、ナイトは、最後にどのますに移動したのでしょうか。解答用紙の盤の中に、○印をつけて答えなさい。また、どのように考えて答えを出しましたか。図などを使って、わかりやすく説明しなさい。

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まず、図1の3つの角がすべてゴールではないと仮定します。

2

問題文の図3で[左へ1ます・下へ2ます]には進んでいないので、

3つの角を通過するには図IIの矢印の進み方しかないが、

これでは同じますを通ることになります。

したがって仮定は成り立たず、

3つの角のどれかが、ゴールということになります。……①

3 

次に進み方が決まっているなら、どのような順序で進めても

結局同じ場所に行きつくので、

回数がわかっている分だけ進めてみます。

[右へ1ます・上へ2ます]×4

+[右へ2ます・上へ1ます]×2

+[左へ2ます・下へ1ます]×6

=[右へ8ます・上へ10ます]

+[左へ12ます・下へ6ます]

=[左へ4ます・上へ4ます]

つまり左上の角に行きつきます。

4

ここがゴールでないと仮定すると、

右上の角か、左下の角になりますが、

ここから回数のわかっていない進み方(図2のA、B、C、D)で

進めるのは、図IIIの斜線部分しかないので、

右上の角と左下の角には行き着けません。

したがって、左上の角に決まります。

5

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