ナイトは最後にどこへいったか？（第４回算数オリンピック、ファイナル問題より）

平ちゃんは、次のようなゲームをしています。

１．図１のように、たて５ます、横５ますの盤を用意し、右下のますにナイトの駒をのせ、残りのますに歩兵の駒を24個のせる。

２．ここから出発して､歩兵を取りながらナイトを進める。

３．ナイトは、図２のように、８つの方向のいずれかに進んで歩兵を取ることができる。

平ちゃんは、24回ナイトを進めることによって、すべての歩兵を取ることができました（つまり、ナイトは同じますに２回進むことはありませんでした）。
このとき、ナイトをそれぞれの方向に何回進めたかを示したものが図３です。ただし、□に入る数字はわかっていません。

さて、ナイトは、最後にどのますに移動したのでしょうか。解答用紙の盤の中に、○印をつけて答えなさい。また、どのように考えて答えを出しましたか。図などを使って、わかりやすく説明しなさい。

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まず、図１の３つの角がすべてゴールではないと仮定します。

問題文の図３で［左へ１ます・下へ２ます］には進んでいないので、

３つの角を通過するには図IIの矢印の進み方しかないが、

これでは同じますを通ることになります。

したがって仮定は成り立たず、

３つの角のどれかが、ゴールということになります。……①

 

次に進み方が決まっているなら、どのような順序で進めても

結局同じ場所に行きつくので、

回数がわかっている分だけ進めてみます。

[右へ１ます・上へ２ます]×４

＋[右へ２ます・上へ１ます]×２

＋[左へ２ます・下へ１ます]×６

＝[右へ８ます・上へ10ます]

＋[左へ12ます・下へ６ます]

＝[左へ４ます・上へ４ます]

つまり左上の角に行きつきます。

ここがゴールでないと仮定すると、

右上の角か、左下の角になりますが、

ここから回数のわかっていない進み方（図２のＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）で

進めるのは、図IIIの斜線部分しかないので、

右上の角と左下の角には行き着けません。

したがって、左上の角に決まります。

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