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2015年3月30日 (月)

ジュニアではちょっと難しいのでは?(2004年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

7けたの整数2004□□□は2,3,4,5,6,7,8すべての倍数です。□□□に入る3けたの整数を求めなさい。

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この7けたの整数を2004ABCとします。

8の倍数であれば2,4の倍数でもあり,

2,3の倍数であれば6の倍数なので,

3,5,7,8の倍数であれば2~8までのすべての倍数です。

この整数が5と8の公倍数であることから、C=0ときまります。

4の倍数×10=4の倍数×2×5=8の倍数×5より、

3けたの整数AB0が8の倍数であるためには

2けたの整数ABが4の倍数であればよいことになります。・・・①

さらに2004ABOが3の倍数となるためには、

各位の数の和が3の倍数であればよいので、

2+0+0+4+A+B+0=6+A+Bが3の倍数、つまり、

A+Bが3の倍数であればよいことになります。・・・②

①と②の両方を満足させる2けたの整数ABは、

00,12,24,36,48,60,72,84,96の9通り、

ここまでで,2,3,4,5,6,8の倍数となる条件を

満たしているので、あとは7の倍数になればよいことになります。

2004AB0が7で割り切れるには、

2004ABが7で割り切れればよいので、

まず2004を7で割ると

2004÷7=286あまり2 なので、

これにより、3けたの整数2ABが7の倍数であればよいので、

上の9通りからその条件を満たす2けたのABを探すと

AB=24のときだけが224÷7=32で条件を満たします。

以上から7けたの整数2004□□□の下3けたの□□□は

240になります。

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