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2015年3月15日 (日)

200人に1人の正答率、でも解ける5年生が!(2006年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

四角形ABCDはひし形で、AE=CFとなっている点E、Fはそれぞれ辺AD、CDの上にあり、AFとBEによって、このひし形はア~エの4つの部分に分けられています。三角形アの面積は四角形ウの面積より155c㎡小さく、三角形イの面積は四角形エの面積より31c㎡小さいことがわかっているとき、三角形アの面積は何c㎡ですか。

2_3

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まず、ウーア=155c㎡より、

(ウ+イ)-(ア十イ)=四角形ABCF-△ABE=155 c㎡

4

BとFを結ぶと、ひし形の性質より、

△赤=△緑となるので、

四角形ABCF-△緑=△黄=155 c㎡

△黄の面積はひし形ABCDの半分なので、

ひし形ABCD=155 c㎡×2=310 c㎡

次に、エーイ=31 c㎡より、

(エ+ア)-(イ+ア)=△AFD-△赤=31c㎡

辺CDの上にCF=FGとなる点Gを取ると、

ひし形の性質より、△赤=△緑=△青線、となるので、

△AFD-△青線=△水色=31c㎡

ここで、△緑+△青線+△水色=△黄=155c㎡なので、

△赤=△緑=△青線=(155c㎡-31c㎡)÷2=62c㎡

△緑=62c㎡、三角形AFD=62c㎡+31c㎡=93c㎡より、

CF:FD=62:93=2:3

CFの長さを2、FDの長さを3とすると、

ひし形ABCDの1辺は5となります。

Eを通りABに平行な線とBEがAFと交わる点を

それぞれH、Iとします。

△AHEと△AFDは相似形で、

HE=FD×(AE/AD)=3×2/5=1.2

△ABIと△HEIも相似で、

EI:BI=HE:AB=1.2:5=6:25

アとイは高さが等しい三角形なので、

ア:イ=6:25

ア=62c㎡×6/(6+25)=12c㎡

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