２００人に１人の正答率、でも解ける５年生が！（２００６年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より）

四角形ＡＢＣＤはひし形で、ＡＥ＝ＣＦとなっている点Ｅ、Ｆはそれぞれ辺AD、CDの上にあり、ＡＦとBＥによって、このひし形はア～エの４つの部分に分けられています。三角形アの面積は四角形ウの面積より１５５ｃ㎡小さく、三角形イの面積は四角形エの面積より３１ｃ㎡小さいことがわかっているとき、三角形アの面積は何ｃ㎡ですか。

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まず、ウーア＝155ｃ㎡より、

(ウ＋イ)－(ア十イ)＝四角形ABCF－△ABE＝155 c㎡

BとＦを結ぶと、ひし形の性質より、

△赤＝△緑となるので、

四角形ABCF－△緑＝△黄＝155 c㎡

△黄の面積はひし形ABCDの半分なので、

ひし形ABCD＝155 c㎡×2＝310 c㎡

次に、エーイ＝31 c㎡より、

(エ＋ア)－(イ＋ア)＝△ＡＦＤ－△赤＝31c㎡

辺CDの上にCF＝FGとなる点Ｇを取ると、

ひし形の性質より、△赤＝△緑＝△青線、となるので、

△ＡＦＤ－△青線＝△水色＝31ｃ㎡

ここで、△緑＋△青線＋△水色＝△黄＝155c㎡なので、

△赤＝△緑＝△青線＝(155ｃ㎡－31ｃ㎡)÷2＝62ｃ㎡

△緑＝62ｃ㎡、三角形AFD＝62c㎡＋31c㎡＝93c㎡より、

CF：FD＝６２：９３＝２：３

CFの長さを2、FDの長さを３とすると、

ひし形ABCDの１辺は５となります。

Ｅを通りABに平行な線とBEがAFと交わる点を

それぞれＨ、Ｉとします。

△ＡＨＥと△AFDは相似形で、

HE＝FD×（AE/AD)＝３×２/５＝１．２

△ABIと△HEIも相似で、

EI：BI＝HE：AB＝１．２：５＝６：２５

アとイは高さが等しい三角形なので、

ア：イ＝６：２５

ア＝６２ｃ㎡×６/（６＋２５）＝１２ｃ㎡

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