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2015年3月16日 (月)

必ず勝てる戦略は?(2004年算数オリンピック、ファイナル問題より)

図のようにたて16マス×横2004マスの長方形があり、左上のマスの中にコマ(★)が置いてあります。平大君と大介君が次のルールに従ってゲームをします。

1_3

(ルール)

1.平大君が先手で始め、以後かわるがわるにコマを  動かしていく。

2.1回の順番では、たてまたは横(斜めは不可)に何マスでもコマを動かせ、最低1マスは動かさなければならない。

3.各マスは一度しか通ったり止まったりすることができない。

4.自分の順番にコマを動かせなくなった方が負けになる。

2人とも自分が勝つために最善をつくす場合、どちらか1人の方に必ず勝てる戦略があります。必ず勝てる人は平大君、大介君のどちらか、またその戦略はどんなものか、答えなさい。

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図のような形で、たて横どちらかが1でもう一方が2以上の

長方形を相手に残すようにした人が必ず勝てます。

その手順は

「相手が1マス分動かす→自分が残り全部のマス分動かす」です。

2

ここで、マス目は横がたてより長いので、

先手の平大君が常に横に進めるだけ進めば、

後手の大介君はたて方向にしか進めず、

平大君は次の番でいつも横がたてより長い

長方形の形にマスを残すことができます

(残りのマスが2つの長方形に分断される場合も同様です)。

こうして、長方形のたてと横のマスが交互に少なくなり、

最後のたてが1マスの長方形を平大君が残し、

その後は上の手順のようになって平大君が必ず勝ちます。

このように考えると、

先手は、たてのマスが多い場合はたて方向に、

横のマスが多い場合は横方向に、

進めるだけ進む戦略をくり返していけば

必ず勝てることになります。

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