必ず勝てる戦略は？（２００４年算数オリンピック、ファイナル問題より）

図のようにたて16マス×横2004マスの長方形があり、左上のマスの中にコマ（★）が置いてあります。平大君と大介君が次のルールに従ってゲームをします。

(ルール)

1.平大君が先手で始め、以後かわるがわるにコマを　　動かしていく。

２．１回の順番では、たてまたは横（斜めは不可）に何マスでもコマを動かせ、最低１マスは動かさなければならない。

3.各マスは一度しか通ったり止まったりすることができない。

4.自分の順番にコマを動かせなくなった方が負けになる。

２人とも自分が勝つために最善をつくす場合、どちらか１人の方に必ず勝てる戦略があります。必ず勝てる人は平大君、大介君のどちらか、またその戦略はどんなものか、答えなさい。

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図のような形で、たて横どちらかが１でもう一方が２以上の

長方形を相手に残すようにした人が必ず勝てます。

その手順は

「相手が１マス分動かす→自分が残り全部のマス分動かす」です。

ここで、マス目は横がたてより長いので、

先手の平大君が常に横に進めるだけ進めば、

後手の大介君はたて方向にしか進めず、

平大君は次の番でいつも横がたてより長い

長方形の形にマスを残すことができます

（残りのマスが２つの長方形に分断される場合も同様です）。

こうして、長方形のたてと横のマスが交互に少なくなり、

最後のたてが１マスの長方形を平大君が残し、

その後は上の手順のようになって平大君が必ず勝ちます。

このように考えると、

先手は、たてのマスが多い場合はたて方向に、

横のマスが多い場合は横方向に、

進めるだけ進む戦略をくり返していけば

必ず勝てることになります。

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